การรวมอินทิกรัลที่แน่นอนภายในอินทิกรัล จำกัด - Crossposted จาก MathSE

คำถามนี้ถูกโพสต์ข้ามจาก MathSE: ลิงก์

ฉันมีสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้จากบทความวารสาร: , ซึ่งเป็นแบบบูรณาการระหว่าง T และตัน t is time และ T คือจุดเวลาเทอร์มินัล (scaler) ฟังก์ชั่นจะถูกกำหนดโดยนัยในเวลา (t)
$\dot{g}(t) - \delta(t)g(t) = -H(t) --- (1)$

วิธีแก้ปัญหาที่ฉันมี (จากบทความเดียวกันไม่มีขั้นตอนที่แสดง) คือ:

$g(t) = g(T)e^{-\int_t^T \delta(u) du} + \int_t^T H(u)e^{-\int_t^u \delta(s) ds} du --- (2)$

ผมเข้าใจว่าการแก้ปัญหาจะได้รับโดยใช้ปัจจัยการบูรณาการ:du} ซึ่งหมายความว่าในขั้นตอนสุดท้ายของการแก้ปัญหาฉันจะมีบางสิ่งเช่น
$IF = e^{\int_t^T \delta(u) du}$
$g(t) = g(T)e^{-\int_t^T \delta(u)du} + e^{-\int_t^T \delta(u) du} \int_t^T H(u) e^{\int_u^T \delta(s)ds} du --- (3)$

ถ้า (3) ให้ (2) มันจะต้องเป็นจริง

$e^{-\int_t^T \delta(u) du} \int_t^T H(u) e^{\int_u^T \delta(s)ds} du = \int_t^T H(u) e^{-\int_t^u \delta(s)ds} du --- (4)$

ด้วยความเข้าใจว่าคุณถือเป็นจุดเวลาในอนาคตที่สัมพันธ์กับ t

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือเหตุผลที่แน่นอนว่าทำไม (4) ถูกต้อง จากความเข้าใจของฉันหนึ่งคำอธิบายที่เป็นไปได้อาจเป็นได้ว่าเทอมแรกทางซ้ายมือของ 4 คือฟังก์ชันของ t ซึ่งก็คือเหตุผลที่ว่าทำไมมันจึงสามารถรวมอยู่ในอินทิกรัลของเทอมที่สองทางซ้ายมือ ระหว่างสองค่าของ t คือ t และ T แต่ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นวิธีที่ถูกต้องในการอธิบายเรื่องนี้หรือไม่

มีทฤษฎี / ผลลัพธ์ที่สนับสนุน / ทำให้วิธีคิดของฉันเป็นโมฆะและมีวิธีในการอธิบาย (4) หรือไม่?

กระดาษในคำถามคือรูปแบบของความต้องการสำหรับยืนยาวและมูลค่าของส่วนขยายของชีวิต สมการและการแก้ปัญหามีหมายเลข (17) และ (18) ตามลำดับ ฉันกำลังนำเสนอผู้ที่นี่โดยไม่มีเงื่อนไขพิเศษบางอย่าง

ชี้แจงเกี่ยวกับตัวเลขในคำถาม :

ตัวเลข (1) - (4) ในคำถามเป็นของฉัน (1) ในคำถามเป็นรุ่นที่ง่ายกว่าของ (17) ในกระดาษและ (2) ในคำถามคือรุ่นที่เรียบง่ายของ (18) ในกระดาษ