แสดงให้เห็นว่ารูปแบบการตลาดมีการเก็งกำไรและอธิบาย martingales

นี่คือแบบฝึกหัดที่ฉันเข้ามาในขณะที่เรียนรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ทางการเงิน

การออกกำลังกาย:

พิจารณาขอบเขตพื้นที่ตัวอย่าง$\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}$และให้$\mathbb P$เป็นตัวชี้วัดความน่าจะเป็นเช่นนั้น$\mathbb P[\{\omega_1\}] > 0$สำหรับทุก$i=1,2,3$ 3 เรากำหนดตลาดการเงินในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งประกอบด้วยพื้นที่ความน่าจะเป็น$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb P)$ด้วย$\mathcal{F} := 2^\Omega$และหลักทรัพย์$\bar{S} = (S^0,S^1,S^2)$ซึ่งประกอบด้วยการรักษาความปลอดภัยเป็นศูนย์ความเสี่ยง$S^0$และสองหลักทรัพย์$S^1,S^2$ที่มีความเสี่ยง ค่าของพวกเขาในเวลา$t=0$ได้รับจากเวกเตอร์

$$\bar{S}_0 = \begin{pmatrix} 1\\2\\7 \end{pmatrix}$$ ในขณะที่ค่าของพวกเขาในเวลา$t=1$ขึ้นอยู่กับสถานการณ์$\omega_1,\omega_2$หรือ$\omega_3$เกิดขึ้นจะได้รับจากเวกเตอร์ $$\bar{S}_1(\omega_1) = \begin{pmatrix} 1\\3\\9\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_2) = \begin{pmatrix} 1\\1\\5\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_3) = \begin{pmatrix} 1\\5\\10 \end{pmatrix}$$ (a) แสดงว่าตลาดการเงินนี้มีการเก็งกำไร

$S_1^2(\omega_3) = 13$

ความพยายาม:

(a)เรามีกระบวนการคุณค่าที่กำหนดไว้เป็น:

$$V_t = V_t^\bar{\xi} = \bar{\xi}\cdot \bar{S}_t = \sum_{i=0}^d \xi_t^i\cdot \bar{S}_t^i, \quad t \in \{0,1\}$$

$\xi = (\xi^0, \xi) \in \mathbb R^{d+1}$$\xi^i$$S^i$$[0,1], i \in \{0,1,\dots,d\}$

ตอนนี้ฉันก็รู้ว่าเพื่อให้เห็นว่าตลาดมีการเก็งกำไรฉันต้องแสดงสิ่งต่อไปนี้:

$$V_0 \leq 0, \quad \mathbb P(V1 \geq 0) = 1, \quad \mathbb P(V_1 > 0) > 0$$

$S$$V_t$$\xi$$\xi$

$\xi$

สำหรับ(b)แสดงว่าไม่มีการเก็งกำไรคล้ายกับ(a)เนื่องจากฉันเพิ่งจะแสดงให้เห็นว่าหนึ่งในเงื่อนไขเหล่านี้จะไม่ถือ แล้วเรื่องของ Martingale ล่ะ? มันเป็นสารทางคณิตศาสตร์ที่เราไม่เคยได้รับถ้าเป็นไปได้ฉันจะขอบคุณการทำอย่างละเอียด