ช่วยทำความเข้าใจตัวคูณลากรองจ์หรือไม่

ฉันกำลังพยายามทำความเข้าใจกับตัวคูณแบบลากรองจ์และใช้ปัญหาตัวอย่างที่ฉันพบทางออนไลน์

ปัญหาการตั้งค่า:

พิจารณาของผู้บริโภคที่มีฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ที่(0,1) สมมติว่าผู้บริโภคมีความมั่งคั่งและราคาp_y) นั่นคือทั้งหมดที่เราได้รับ$u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$$\alpha \in (0,1)$$w$$p =(p_x,p_y)$

งานที่ฉันทำ:

จากนั้นผมก็กำหนดสมการ จำกัด งบประมาณ:yp_y ฉันยังกำหนด Lagrangian ที่เกี่ยวข้องสำหรับปัญหาการทำให้เกิดประโยชน์สูงสุดของผู้บริโภค: .$w = xp_x + yp_y$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

คำถามของฉัน:

สมการนี้อนุญาตให้ฉันทำอะไร แม้ว่าฉันจะตั้งค่าให้กับสูตรในหน้าของ Wikipedia บนตัวคูณแบบ Lagrangian แต่ฉันก็ไม่รู้ว่าจุดประสงค์ของสมการนี้คืออะไร เช่นฉันไม่เข้าใจว่าสมการตามที่กำหนดให้ฉันกำหนดวิธีเพิ่มฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของฉันได้อย่างไร

หมายเหตุ: ฉันคุ้นเคยกับแคลคูลัสหลายตัวแปรและลากรองจ์ ( ) ในวิชาฟิสิกส์ แต่วิธีนี้เป็นวิธีใหม่สำหรับฉัน$L = T -V$

ฟังก์ชั่นการเพิ่มประสิทธิภาพที่มีข้อ จำกัด ช่วยเพิ่มหรือลดวัตถุประสงค์ให้มีข้อ จำกัด อย่างน้อยหนึ่งข้อ เมื่อฉันเข้าใจแล้วตัวคูณแบบลากรองจ์จะแปลงปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบ จำกัด (I) เป็นปัญหาการปรับให้เหมาะสมแบบไม่ จำกัด (II) ซึ่งค่าการควบคุมที่ดีที่สุดสำหรับปัญหา II นั้นเป็นค่าการควบคุมที่ดีที่สุดสำหรับปัญหา II ด้วยเช่นกัน ปัญหา I และ II ใช้ค่าที่ดีที่สุดเหมือนกัน เคล็ดลับเป็นวิธีที่ชาญฉลาดในการวางข้อ จำกัด ลงในฟังก์ชันวัตถุประสงค์โดยตรงแทนที่จะใช้แยกกัน

ผมเห็นด้วยกับการนำเสนอของปัญหาสูงสุดของผู้บริโภค: -w)$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

ทีนี้เราหาอนุพันธ์ย่อยบางส่วนเทียบกับ x a y, ตั้งมันให้เท่ากับศูนย์, แล้วแก้หา x * และ y *

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$ ( 1)

การกู้คืนสมการ จำกัด งบประมาณโดยการบางส่วนอนุพันธ์0$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$ ( 2)

ตอนนี้เรามีสมการสองสมการและสองนิรนาม (x, y) และสามารถแก้หา x * และ y *

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

$\rightarrow \alpha = xp_x/w$ (ผลลัพธ์ 1)

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$ (ผลลัพธ์ 2)

ผลลัพธ์ที่ 1 และ 2 จากการแบ่งปันค่าใช้จ่ายคงที่ที่มีชื่อเสียงสำหรับฟังก์ชัน Cobb-Douglas และฟังก์ชันการผลิต ซึ่งสามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจนสำหรับ x * และ y *:และซึ่งเป็นค่าที่ดีที่สุดสำหรับทั้ง Lagrangian และปัญหาดั้งเดิมy ∗ = ( 1 - α ) w / p $x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

นี่คือสัญชาตญาณไม่ใช่เพื่อความเข้มงวดและถือว่าเรารู้วิธีที่คุณต้องการเบี่ยงเบนจากข้อ จำกัด ที่นี่มันง่าย คุณต้องการจะติดลบดังนั้นเราจึงวิงวอนขอ Lagrange วินัยให้คุณใช้จ่ายมากกว่ามากขึ้น คิดถึงปัญหาในขั้นตอนต่อไปนี้:$w$

1. คุณต้องการออกไปข้างนอกและทานพิซซ่า ( ) และเบียร์ ( ) และขอให้ผู้ปกครองของคุณยืมบัตรเครดิต$x$$y$
2. พ่อแม่ของคุณรู้จักคุณดังนั้นด้วยบัตรเครดิตคุณจะได้รับคำเตือนดังต่อไปนี้: ถ้าคุณใช้จ่ายมากกว่าเราจะปล่อยให้เพื่อนบ้านของเรานาย Lagrange ทุบตีมือของคุณส่งมอบความเจ็บปวดที่คุ้มค่าต่อหน่วยดอลลาร์$w$$\lambda$
3. ดูที่ลากรองจ์ ตอนนี้มันเป็นค่าปรับของคุณแล้วในฐานะที่เป็นหน้าที่ของพิซซ่า ( ), เบียร์ ( ) และความเจ็บปวด ( ) จากมุมมองของคุณคุณเพียงแค่เพิ่มสิ่งนี้ให้กับ (ซึ่งหมายความว่าโดยเฉพาะว่าถ้ามีขนาดเล็กมากเกินงบประมาณของคุณอย่างไม่มีการลดคุณจะได้รับ slaps จาก Mr. Lagrange เล็กน้อย)Y λ ⋅ ( x พีx + y ที่P Y - W ) λ $x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. จากจุดที่พ่อแม่ของคุณในมุมมองของพวกเขาต้องการที่จะปรับไปยังหมายเลขที่ทำให้คุณสมัครใจเลือกที่จะใช้จ่ายได้อย่างแม่นยำออกจากนาย Lagrange ที่อ่าว (การเลือกสูงกว่าจะทำให้คุณไม่ได้สัดส่วนคุณสามารถปรับการตีความตามนั้น)w $\lambda$$w$$\lambda$
5. แน่นอนว่าคุณจะต้องเลือกระดับที่คุณไม่สนใจระหว่างการมีและไม่มีการบริโภคและการลงโทษเพิ่มเติม ดังนั้นการตีความราคาเงา:คือ (แม่นยำยิ่งขึ้น: คำสั่งซื้อครั้งแรก) เท่าไหร่ที่คุณยินดีจ่าย - ในหน่วยเดียวกับวัตถุประสงค์การทำงานของคุณ! เพื่อให้งบประมาณของคุณเพิ่มขึ้น$\lambda$

สำหรับคำแนะนำในการเปลี่ยนเครื่องหมายบนข้อ จำกัด : แน่นอนว่ามันใช้งานได้ในเชิงคณิตศาสตร์ แต่ฉันแทบจะไม่เคยใช้มันเพื่อวัตถุประสงค์ในการสอน ปล่อยให้เป็นอย่างที่มันเป็นทำให้เกิดข้อ จำกัด (ซึ่งคุณไม่ชอบจะช่วยลดอรรถประโยชน์ของคุณ) เท่ากับภาษี (ซึ่งคุณไม่ชอบด้วยเหตุผลเดียวกัน) . จากมุมมองทางเศรษฐกิจคุณจะได้รับความคิดเกี่ยวกับข้อ จำกัด ที่ถูกนำมาใช้โดยภาษีและนั่นคือคำแนะนำในการสร้างแบบจำลองเช่นการสร้างแบบจำลองด้านภาษีภายใน Pigouvian internalizing (ลบที่ไม่พึงประสงค์) ภายนอก$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

การใช้ตัวคูณ Lgrange เพื่อปรับฟังก์ชั่นให้เหมาะสมภายใต้ข้อ จำกัด นั้นเป็นเทคนิคที่มีประโยชน์แม้ว่าท้ายที่สุดจะให้ข้อมูลเชิงลึกและข้อมูลเพิ่มเติม ติดกับกรณีของข้อ จำกัด ความเท่าเทียมกันปัญหา

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

แน่นอนสามารถเปลี่ยนเป็นปัญหาที่ไม่ จำกัด โดยการทดแทนโดยตรง:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

แต่โดยทั่วไปการทดแทนโดยตรงสามารถสร้างนิพจน์ที่ยุ่งยาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัญหาเชิงพลวัต) ซึ่งความผิดพลาดเชิงพีชคณิตจะทำให้ง่ายขึ้น ดังนั้นวิธีการลากรองจ์จึงมีข้อได้เปรียบตรงนี้ ยิ่งไปกว่านั้นตัวคูณลากรองจ์มีการตีความทางเศรษฐกิจที่มีความหมาย ในวิธีการนี้เรากำหนดตัวแปรใหม่พูดและเราได้สร้าง "ฟังก์ชันลากรองจ์"$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

ครั้งแรกที่ทราบว่าคือเทียบเท่าเพื่อเนื่องจากส่วนที่เพิ่มไปทางขวาเป็นเหมือนศูนย์ ตอนนี้เราเพิ่มลากรองจ์ให้มากที่สุดโดยคำนึงถึงตัวแปรสองตัวและเราจะได้รับเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรก$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

เมื่อเทียบกับสิ่งนี้จะให้ความสัมพันธ์พื้นฐานอย่างรวดเร็ว$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

ความสัมพันธ์ที่ดีที่สุดนี้พร้อมกับข้อ จำกัด ด้านงบประมาณจัดให้มีระบบสมการสองระบบในสองนิรนามและจัดหาวิธีแก้ปัญหาเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ภายนอก (พารามิเตอร์ยูทิลิตี้ราคาและความมั่งคั่งให้ )$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

ในการกำหนดค่าของให้คูณเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกตลอดและตามลำดับจากนั้นหาผลรวมของแต่ละด้านเพื่อรับ$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

ด้วยยูทิลิตี้ที่เป็นเนื้อเดียวกันในระดับหนึ่งเนื่องจากเป็นกรณีที่มีฟังก์ชั่น Cobb-Douglas เรามีสิ่งนั้น

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

และที่มัดที่เหมาะสมเรามี

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

และนี่คือวิธีคูณ Lagrange ได้รับการตีความหมายทางเศรษฐกิจ: ค่าของมันคือยูทิลิตี้ที่มากมาย ตอนนี้ในบริบทของยูทิลิตี้ตามลำดับยูทิลิตี้ส่วนเพิ่มนั้นไม่ได้มีความหมายจริงๆ (ดูการอภิปรายที่นี่ด้วย ) แต่ขั้นตอนข้างต้นสามารถนำไปใช้กับปัญหาการลดต้นทุนซึ่งตัวคูณลากรองจ์สะท้อนให้เห็นถึงการเพิ่มขึ้นของต้นทุนรวมโดยการเพิ่มจำนวนเล็กน้อยที่ผลิตในปริมาณและดังนั้นจึงเป็นต้นทุนส่วนเพิ่ม

ฉันขอแนะนำให้คุณดำเนินการตามวรรคคำตอบนี้เพื่อให้แน่ใจว่าคุณได้รับแต่ละคำตอบหรือคุณจะสับสน คุณอาจต้องการเพิกเฉยในภายหลังหากไม่จำเป็นสำหรับวัตถุประสงค์ของคุณ

แนวคิดหลักที่ได้ยินก็คือว่าถ้าประเด็นนั้นเป็นเงื่อนไขทั้งหมดสุดโต่งกว่ามันจำเป็นต้องเป็นจุดหยุดนิ่งของลากรองจ์เช่นจุดนี้อนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของลากรองจ์นั้นเป็นศูนย์ ในการแก้ปัญหาคุณควรระบุจุดที่อยู่กับที่ทั้งหมดและหาจุดสูงสุดในจุดนั้น

อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปสูตรนี้ไม่น่าเชื่อถือเนื่องจากอาจมีค่าสูงสุด โดยปกติคุณอาจตรวจสอบว่ามีอยู่กับทฤษฎีบท Weierstrass มันต้องการนิยายที่ต่อเนื่องและเซตนั้นกะทัดรัดซึ่งเป็นกรณีนี้ โดยทั่วไปก็หมายความว่าคุณต้องตรวจสอบจุดเขตแดนใด ๆ ของชุดในคำถามจุดและจุด0$x= 0$$y = 0$

ในกรณีนี้สมการของคุณไม่เพียงพอสำหรับการแก้ปัญหาเนื่องจากชุดที่คุณกำลังพิจารณานั้นถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันมากกว่าความเท่าเทียมกัน คุณอาจชี้ให้เห็นว่าฟังก์ชั่นเป็นโมโนโทนในและดังนั้นค่าสูงสุดจะอยู่ที่ขอบเขตบนขวา นอกจากนี้ยูทิลิตี้คือ 0 ถ้าหรือในขณะที่มีจุดที่เป็นไปได้ที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดดังนั้นค่าสูงสุดจะไม่สามารถบรรลุที่ขอบเขตด้านซ้ายหรือด้านล่าง จากนั้นวิธีการนี้เป็นธรรมอย่างสมบูรณ์$x$$y$$x = 0$$y=0$

ในอนาคตคุณควรทราบว่าปัญหาหากประเภทดังกล่าวควรได้รับการแก้ไขโดยทั่วไปโดยใช้ทฤษฎีบทของ Kuhn-Tucker และฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับมันหลังจากที่คุณเข้าใจเนื้อหานี้

ดังที่คนอื่น ๆ ได้กล่าวเอาไว้สาระสำคัญของวิธีการลากรองจ์คือการแปลงปัญหาที่มีข้อ จำกัด - Extremum ให้อยู่ในรูปแบบที่สามารถใช้ FOC ของปัญหาที่เกิดจาก extremum ได้ฟรี ในการตั้งค่าของคุณคุณเปลี่ยนปัญหาที่ไม่ จำกัด ( ) เป็น:$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

หากคุณคิดว่าข้อ จำกัด จะได้พบกัน, ที่อยู่, ที่แล้วระยะสุดท้ายจะหายไปเป็นอิสระจากค่าของเพื่อให้จะเหมือนกับยูเคล็ดลับคือการรักษาเป็นตัวแปรทางเลือกเพิ่มเติมทำให้การเพิ่มแลมบ์ดา) ตั้งแต่เงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกสำหรับคือ$xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ เราสามารถมั่นใจได้ในความพึงพอใจของข้อ จำกัด และการหายตัวไปของ\$\lambda$

สำหรับการตีความของ (ตัวคูณลากรองจ์) ในแง่เศรษฐกิจกว้างมันเป็นราคาเงาของข้อ จำกัด ที่ในการตั้งค่าของคุณที่มีข้อ จำกัด ด้านงบประมาณเท่านั้นราคาเงาคือต้นทุนค่าเสียโอกาสของข้อ จำกัด งบประมาณนั่นคืออรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มของเงินงบประมาณ (รายได้)$\lambda_i$$i$

อีกวิธีในการดูคือวัดความไวของต่อการเปลี่ยนแปลงในข้อ จำกัด (งบประมาณ) ในความเป็นจริงสามารถพิสูจน์ได้ว่า$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

ขอให้สังเกตว่าสำหรับการตีความนี้เพื่อให้ความรู้สึกที่คุณจะต้องแสดงความ จำกัด เป็น , ไม่เป็น (เช่นคุณเขียนกับการตั้งค่าของคุณ) w - ( x p x + y p y ) ( x p x + y p y ) - $\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$