การค้นหาฟังก์ชั่นความต้องการใช้ฟังก์ชัน min (x, y)

ฉันสับสนเกี่ยวกับประเด็นเฉพาะเกี่ยวกับการค้นหาฟังก์ชันอุปสงค์ ปัญหาทั้งหมดในชุดฝึกที่ฉันกำลังทำอยู่นั้นเกี่ยวข้องกับการใช้วิธีการคูณแบบลากรองจ์ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะใช้กับปัญหานี้ได้ที่นี่หรือไม่

การตั้งค่าปัญหา

พิจารณาของผู้บริโภคที่มีฟังก์ชั่นยูทิลิตี้x, สมมติว่าเราจะได้รับความมั่งคั่งWและราคาp_x = 1 p_y = \ frac {1} {2}$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

งานของฉัน

ยังไม่มากที่จะทำ ทั้งหมดที่ฉันไม่ได้ถูกจัดตั้งขึ้นเป็นข้อ จำกัด งบประมาณ$w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$Y

ความสับสนของฉัน

ผมก็พร้อมจะติดตั้งสมการคูณลากรองจ์เมื่อจู่ ๆ ฉันตระหนักว่าฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ของฉันเป็น$\min$ฟังก์ชั่น ตอนแรกฉันคิดว่าฟังก์ชั่นนี้ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ ตอนนี้ฉันคิดว่ามันไม่แตกต่างกัน แต่มันก็แตกต่างบางส่วน ฉันยังไม่แน่ใจ

เดาของฉัน

ฉันคิดว่าใช่$\min$นั้นสามารถเปลี่ยนแปลงได้บางส่วนตามหัวข้อนี้

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

แต่ฉันสงสัยว่าคำตอบของฉันจะต้องมีส่วนประกอบเป็นชิ้น ๆ หรืออะไรบางอย่าง

คำถามของฉัน

ตัวคูณลากรองจ์มีผลบังคับใช้ที่นี่หรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะนิยามลากรองจ์ในแง่มุมอย่างที่ฉันคิดว่าฉันจะต้องทำอย่างไร ถ้ามันไม่แตกต่างกันหนึ่งจะได้รับฟังก์ชั่นความต้องการได้รับฟังก์ชั่นหรือ ?$\min$$\max$

ไม่คุณไม่ควรใช้ตัวคูณ Lagrange ที่นี่ แต่คิดเรื่องเสียง สมมติว่า , พูดรูปธรรม<Y Let \จากนั้น ดังนั้นผู้บริโภคสามารถลดการบริโภคที่ดีของเธอ 2 ได้โดยไม่ต้องแย่ลง ในทางกลับกันสำหรับเราจะมีดังนั้นผู้บริโภคน่าจะดีกว่า โดยการลดการบริโภคของสินค้าที่สองและการใช้จ่ายเงินที่เป็นอิสระในสินค้าแรก ที่เหมาะสมในการให้ผู้บริโภคไม่สามารถปรับปรุงเพื่อให้ optimality ต้อง yเป็นที่ชัดเจนว่าผู้บริโภคปรับปรุงตาม$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$45 °เรย์ ดังนั้นคุณสามารถใช้เป็นเงื่อนไขการเพิ่มประสิทธิภาพเพื่อทดแทนข้อ จำกัด งบประมาณของคุณและตัวคูณบายพาสลากรองจ์$x=y$