ปรีชาอยู่เบื้องหลังความเสี่ยงพรีเมี่ยม

ในการบรรยายที่ 20ของเศรษฐศาสตร์จุลภาคของ MIT มีการเสนอสถานการณ์ที่การเดิมพัน 50/50 อาจทำให้สูญเสีย$ 100 หรือได้รับ$ 125 โดยมีความมั่งคั่งเริ่มต้นที่$ 100 โดยมีการระบุว่าบุคคลนั้นยินดีที่จะประกันตัวเองสำหรับ$ 43.75 (ความแตกต่างระหว่าง$ 100 และ$ 56.25) สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้คืออะไร?

ขอบคุณล่วงหน้า!

ชื่อสำหรับจำนวนเงินที่ $ 56.25 เป็นเทียบเท่าแน่นอน

ยูทิลิตี้ที่คาดหวังสำหรับบุคคลจากการเดิมพันจะถูกคำนวณดังนี้: สมมติว่าแต่ละคนสามารถจ่ายเงินจำนวนเพื่อให้เธอ สามารถหลีกเลี่ยงการเดิมพัน (ซึ่งนำไปสู่ยูทิลิตี้ที่คาดหวัง ) อะไรคือจำนวนเงินสูงสุดเธอเต็มใจที่จะจ่าย? เธอจะจ่ายให้ถึงจุดที่เธอไม่สนใจระหว่างการรับและไม่เดิมพันx75

$$E[U]=\frac12U(100+125)+\frac12U(100-100)=75$$ $x$$75$$x$

หากเธอจะเดิมพันยูทิลิตี้ที่คาดไว้คือ75หากเธอต้องจ่ายเงินยูทิลิตี้ของเธอเป็นx) เราต้องการให้เธอเป็นไม่แยแสเพื่อให้Uอ่านหนังสือออกจากโค้งสีฟ้าในกราฟของคุณ (เส้นโค้งอธิบาย ) เราจะเห็นว่า ซึ่งหมายความว่าหรือxU ( 100 - x ) U ( 100 - x ) = 75 U U ( 56.25 ) = 75 100 - x = 56.25 x = $75$$U(100-x)$$U(100-x)=75$$U$

$$U(56.25)=75$$ $100-x=56.25$$x=43.75$

ดังนั้นเราสามารถตีความ 43.75 เป็นจำนวนเงินสูงสุดที่แต่ละคนเต็มใจจ่ายเพื่อหลีกเลี่ยงการเดิมพัน (เสี่ยง)

มีการพิมพ์ผิดในรูปที่แนะนำความสับสนในคำตอบก่อนหน้านี้ซึ่งเป็นพื้นเป็นที่ไม่ถูกต้อง

ขึ้นอยู่กับตัวเลขและตัวเลขของยูทิลิตีดังกล่าวว่าดังนั้น 7.5

$$u=\sqrt{x},$$ $$E[u]=\frac{1}{2} u(100+125) + \frac{1}{2} u(100−100)= \frac{1}{2} u(225) =\frac{1}{2} \sqrt{225} = 7.5$$

ตามคำจำกัดความของความเสี่ยง (R) จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

$$E(u) = u(100 - R)$$ $$\Leftrightarrow 7.5 = \sqrt{100 - R}$$ $$\Leftrightarrow (7.5)^2 = 100 - R$$ $$\boxed{\Leftrightarrow R = 43.75}.$$

ขอให้สังเกตว่าการเดิมพันนี้ดีกว่า "เกมยุติธรรม" เพราะกำไรที่คาดหวังไม่เป็นศูนย์ แต่เป็นบวก (0.5 ∗ 125 + 0.5 ∗ (- 100) = 12.50.5 ∗ 125 + 0.5 ∗ (- 100) = 12.5) ดังนั้นแม้จะมีการเดิมพันที่ดีมากนี้ตัวแทนความเสี่ยงความเกลียดชังที่โดดเด่นด้วยฟังก์ชั่นยูทิลิตี้เว้าของเธอ ( ) พร้อมที่จะจ่ายเกือบครึ่งหนึ่งของความมั่งคั่งเริ่มต้นของเธอเพื่อหลีกเลี่ยงความเสี่ยง$u = \sqrt{x}$