ส่วนขยายของสมดุลของแนชกับเกมที่มีกลยุทธ์ไม่สิ้นสุด

ในหนังสือเรียน Jehle และ Reny (ซึ่งฉันควรเพิ่มฉันยังไม่ได้อ่านส่วนที่น่าสนใจ) ทฤษฎีที่ระบุว่ามีแนชดุล (ผสม) เสมอในเกมรูปแบบกลยุทธ์ที่แน่นอนได้รับการพิสูจน์แล้ว หนังสือสันนิษฐานว่าผู้เล่นทุกคนมีจำนวนแอ็คชั่นเท่ากัน แต่ก็ไม่ยากที่จะจินตนาการว่ากรณีนี้จะขยายไปถึงกรณีที่ไม่เป็นจริง

สิ่งที่ฉันสนใจคือว่ามีส่วนขยายของเกมนี้หรือไม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่อาจมีตัวเลือกไม่สิ้นสุด ยกตัวอย่างเช่นไม่มีความสมดุลในเกมที่ผู้เล่นชนะโดยเลือกจำนวนสูงสุด แต่ถ้าเรามีเกมเดียวกัน แต่จำนวนต้องอยู่ในช่วง (หรือช่วงเวลาใดก็ได้) ที่มีขอบเขตบน) ฟังก์ชันตอบสนองที่ดีที่สุดคือ "ลู่เข้าหากัน" ในทำนองเดียวกันฉันก็ยังสงสัยว่าจะต้องมีฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายและอุปสงค์ที่ "ประพฤติดี" ในรูปแบบการแข่งขันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ "ดี" $[0, 100]$

เช่นนี้ฉันมีสองคำถาม:

มีการตั้งค่าที่กำหนดไว้อย่างดีใด ๆ ซึ่งเกมที่มีตัวเลือกกลยุทธ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะมีความสมดุลของแนชหรือไม่?
การอ่านที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้จะเป็นอย่างไร

game-theory reference-request

คำตอบ:

ใช่มีการตั้งค่าดังกล่าว ผลที่ได้ก็คือ

หากพื้นที่กลยุทธ์ของผู้เล่นแต่ละคนคือ

นูนออก

กะทัดรัด

และหากการจ่ายเงินอย่างต่อเนื่องมีอยู่อย่างน้อยหนึ่งสมดุลของแนช (อาจเป็นในกลยุทธ์ที่หลากหลาย)

สิ่งนี้ยังคงอยู่แม้ว่าชุดของการกระทำที่เป็นไปได้จะไม่มีที่สิ้นสุดนับไม่ถ้วน หากมีการสันนิษฐานว่าการจ่ายเงินตอบแทนนั้นเป็นควาสิคอฟนั้นก็จะมีการตอบสนองที่ดีที่สุดแม้ว่าเราจะ จำกัด ความสนใจในกลยุทธ์ที่บริสุทธิ์เพื่อให้เรารับประกันว่าจะมีความสมดุลอย่างน้อยหนึ่งกลยุทธ์

ฉันเชื่อว่าการอ้างอิงดั้งเดิมที่นี่คือ

IL Glicksberg " การวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมของทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Kakutani ด้วยการประยุกต์ใช้กับจุดสมดุลของแนช " กิจการของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน , 3 (1): 170–174, 1952

แม้ว่าการรักษาในกระดาษของ Glicksberg ดูเหมือนจะไม่สามารถเข้าถึงได้มาก ที่ดีเริ่มต้นการอ้างอิงมีโอกาสมากขึ้นที่จะเป็นส่วนที่ 1.3 ของหนังสือ Fudenberg & Tirole ของ "ทฤษฎีเกม"

— แพร่หลาย
แหล่งที่มา

การ "ปิดและ จำกัด " หมายถึง "นูนและกะทัดรัด" หรือไม่ ฉันสามารถจินตนาการได้ว่าภูมิภาคที่ถูกปิดและล้อมรอบอยู่พูดที่จะไม่นูนออกมา

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

ไม่คำพูดปิดและขอบเขตถูกอ้างอิงถึงความเป็นปึกแผ่น: คำจำกัดความของชุดกะทัดรัดเป็นสิ่งหนึ่งที่ทั้งปิดและล้อมรอบ

— แพร่หลาย

ถูกต้องขอโทษฉันอ่านผิดตำแหน่งของ "และ"

ในความเป็นจริงกระดาษที่ยกมา Glicksberg ดำเนินงานอย่างชัดเจนในบริบทที่ลักษณะของความเป็นปึกแผ่นนั้นไม่เป็นความจริงในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานการปิดและล้อมรอบด้วยบรรทัดฐานนั้นหมายถึงความอ่อนแอแบบกะทัดรัดเท่านั้น

— Michael

@densep ในเกมจับคู่ pennies การกระทำที่พร้อมใช้งานจะไม่ต่อเนื่องและเกมจึงมีพื้นที่กลยุทธ์ที่ไม่นูนดังนั้นเงื่อนไขแรกในคำสั่งด้านบนล้มเหลว

— แพร่หลาย

ในขณะที่ยังมีความจำเป็นต้องใช้ความกะทัดรัดและนูน แต่ข้อตกลงอ้างอิงต่อไปนี้เกี่ยวกับการมีอยู่ในเกมเวกเตอร์สเปซที่มีความไม่ต่อเนื่องบางประเภท

Reny, P. (1999) "ในการดำรงอยู่ของกลยุทธ์แนชและสมดุลในเกมที่ไม่ต่อเนื่อง", Econometrica 67, 1029-1056

— Adamski
แหล่งที่มา