แอปพลิเคชั่น / ภาพรวมของทฤษฎีบทของ Debreu

ฉันอยากจะรู้ว่าทฤษฎีบทสุดท้ายในกระดาษของ Debreu "ตัวแทนทางเศรษฐกิจเพื่อนบ้าน" (La Decision 171 (1969) 1969: 85-90; พิมพ์ซ้ำใน G. Debreu เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์: ยี่สิบเอกสารของ Gerard Debreu (1986), pp. 173 -178) มีการใช้งาน:

ทฤษฎีบท. สำหรับพื้นที่ทอพอโลยี$M$ และพื้นที่เมตริก $H$, ปล่อย $\varphi$ เป็นแผนที่การตั้งค่าจาก $M$ ถึง $H$ ที่มีขนาดกะทัดรัด (เช่น $\varphi(e)$ กะทัดรัดสำหรับทุกคน $e \in M$) และต่อเนื่อง เพิ่มเติมสำหรับแต่ละ$e \in M$ ปล่อย $\lesssim_e$เป็น preorder รวมเช่นที่ตั้งปิด จากนั้นทำแผนที่ตั้งมูลค่าจากเพื่อที่$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

มีขนาดกะทัดรัดที่มีมูลค่าและบนครึ่งต่อเนื่อง

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทมีลักษณะคล้ายกับทฤษฎีบทสูงสุดของ Berge ที่รู้จักกันดี ก่อนคำแถลงของทฤษฎีบท Debreu เขียนว่ากรณีพิเศษของมัน "ถูกนำมาใช้ซ้ำ ๆ ในทฤษฎีสมดุลทางเศรษฐกิจและทฤษฎีเกม" แต่ไม่มีการอ้างอิงใด ๆ ; ในกระดาษเองมันถูกใช้เพื่อพิสูจน์ hemi- ความต่อเนื่องของการติดต่อความต้องการสำหรับตัวแทนในเศรษฐกิจการแลกเปลี่ยน

ฉันสนใจเป็นพิเศษไม่ว่าจะมีการใช้งานล่าสุดหรือข้อสรุปทั่วไปของทฤษฎีนี้หรือไม่เช่นการแมปที่ไม่ได้มีขนาดกะทัดรัด

คำถาม:อะไรคือตัวอย่างที่ดีของและ / หรือการอ้างอิงสำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทข้างต้น? มีการพูดคุยกับการแมปที่ไม่ได้มีขนาดกะทัดรัดหรือไม่?

ผลลัพธ์นี้เป็นทฤษฎีบทสูงสุดของ Berge หากมีฟังก์ชั่นต่อเนื่องเช่นนั้นถ้าหากว่าใครจะได้ผลลัพธ์โดยตรง จากทฤษฎีบทสูงสุดของ Berge หากมีขนาดกะทัดรัดในตัวเครื่องเนื่องจากเป็นกรณีที่ดังนั้นจึงสามารถพบฟังก์ชั่นดังกล่าวได้เสมอซึ่งตามมาจากทฤษฎีบทที่ 1 ใน Mas-Colell บนการเป็นตัวแทนอย่างต่อเนื่อง (อย่างน้อยถ้าสามารถเปลี่ยนแปลงได้ฉันไม่แน่ใจในจุดนั้น) เพิ่มเติมเกี่ยวกับ "ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ร่วมกันอย่างต่อเนื่อง" สามารถพบได้ในบทที่ 8 ของการเป็นตัวแทนของลำดับการตั้งค่า$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$ปี 1995 โดย Bridges & Mehta

ตอนนี้ Debreu ไม่ได้ผลลัพธ์เช่นนั้นดังนั้นเขาจึงทำงานกับความสัมพันธ์ที่ชอบและทำซ้ำทฤษฎีบทสูงสุดของ Berge (การวางนัยทั่วไปเป็นเรื่องตรงไปตรงมาทางคณิตศาสตร์) ทำไมเขาถึงทำอย่างนั้น? เพื่อให้เข้าใจว่าเราจำเป็นต้องเข้าใจประเด็นของ Debreu ซึ่งกำลังค้นหาโทโพโลยีเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบที่ชอบซึ่งมีคุณสมบัติ nioce และทำให้พฤติกรรมทางเศรษฐกิจต่อเนื่อง ความต้องการผลดังกล่าวมาจากวรรณกรรมทางเศรษฐศาสตร์ที่มีตัวแทนอย่างต่อเนื่อง

หมายความว่าเศรษฐกิจตัวแทนต่อเนื่องคือขีด จำกัด ของลำดับของ eonomies ที่ จำกัด ? คำตอบหนึ่งก็คือการกระจายตัวในลักษณะของตัวแทนมาบรรจบกับการกระจายตัวของลักษณะเศรษฐกิจแบบต่อเนื่องดังนั้นแนวคิดของการบรรจบกันก็คือการบรรจบกันในการกระจาย เพื่อให้แนวคิดนี้ทำงานได้เราจำเป็นต้องจัดระเบียบคุณลักษณะของตัวแทน ตอนนี้ตัวแทนก็มีลักษณะโดยการบริจาคและการตั้งค่าของเธอ (และในรูปแบบทั่วไปมากขึ้นโดยชุดการบริโภคของเธอ) มีโทโพโลยีธรรมชาติสำหรับเอ็นดาวเม้นท์, โทโพโลยีแบบยุคลิด แต่มันไม่ตรงไปตรงมาสำหรับการตั้งค่าโทโพโลยีและนั่นคือสิ่งที่ Debreu ทำในบทความของเขา การแสดงออกของวิธีการกระจายนี้สามารถพบได้ใน Hildenbrand 1974 หลักและสมดุลของเศรษฐกิจที่มีขนาดใหญ่

ตอนนี้มีหลายกรณีที่ใครอยากจะใช้ทฤษฎีบทของ Berge สำหรับตัวเลือกที่ไม่กระชับ สิ่งนี้มีความสำคัญเมื่อศึกษาเศรษฐกิจด้วยมิติสินค้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งการปิดและ จำกัด ไม่ได้บ่งบอกถึงความกะทัดรัด วิธีหนึ่งในการจัดการกับปัญหานี้คือการหาชุดขนาดกะทัดรัดเพื่อให้การติดต่อนั้นกระชับและไม่คุ้มค่าเมื่อ จำกัด ชุดนี้ มีขนาดใหญ่มากเทคนิควรรณกรรม "เกมทั่ว ๆ ไป" หรือ "เศรษฐกิจแบบนามธรรม" (โดยทั่วไปคือเกมที่ใช้กลยุทธ์ขึ้นอยู่กับการกระทำของคนอื่น ๆ ในพื้นที่ปกติ) และพวกเขามักจะมีข้อตกลงทั่วไป - ไม่ใช่ทฤษฎีของ Berge หากคุณสามารถอ่านหนังสือเล่มนี้ได้ให้ตรวจสอบบทที่ 4 ของ Xian-Zhi Yuan 1999 ทฤษฎี KKM และแอปพลิเคชันในการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้น. อย่างไรก็ตามความประทับใจของฉันคือผลลัพธ์เหล่านี้พิสูจน์แล้วว่าไม่มีประโยชน์ในการประยุกต์ใช้ทางเศรษฐกิจ เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของวอลรัสเชียนสมดุลในแบบจำลองที่มีช่องว่างมิติสินค้าไม่มีที่สิ้นสุดหนึ่งมักจะใช้วิธีการต่าง ๆ