Transition Matrix: ไม่ต่อเนื่อง -> เวลาต่อเนื่อง

ฉันมีรหัสที่สอดคล้องกับ Tauchen (1986) (Python เทียบเท่าของนี้ ) ซึ่งสร้างประมาณโดยสิ้นเชิงของกระบวนการ AR (1) โดยสิ้นเชิงเวลา

ตัวอย่างเช่นถ้าคุณตั้งค่าขนาดกริดเป็น 3 จะให้เวกเตอร์ของประสิทธิผล

[A_1, A_2, A_3,]

และเมทริกซ์ของความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนแปลง

A_11, A_12, A_13
A_21, A_22, A_23
A_31, A_32, A_33

แถวที่iคอลัมน์jให้ความน่าจะเป็นในการเปลี่ยนจากiเป็นjและเป็นที่พอใจว่าผลรวมของแต่ละแถวมีค่าประมาณหนึ่งแถว

ฉันสงสัยว่าฉันจะสามารถเปลี่ยนสิ่งนี้ให้เทียบเท่ากับช่วงเวลาต่อเนื่องของเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงได้อย่างไร ชุดของความน่าจะเป็นปัวซองที่ควบคุมอัตราการไหลระหว่างรัฐ

ทั้งหมดที่ฉันจำได้ในเรื่องนี้คือเราสามารถหาค่าประมาณความน่าจะเป็นแบบปัวซงเชิงเส้นได้

P r o b (i \to j) = lim_{Δ \to 0} \exp (- λ_{i j} Δ) \approx 1 - λ_{i j} Δ

$Prob(i \to j) = \lim_{\Delta\to0} \exp(-\lambda_{ij}\Delta) \approx 1-\lambda_{ij}\Delta$

แต่ฉันไม่เห็นว่าจะช่วยให้ฉันเปลี่ยนเมทริกซ์เดิมนั้นเป็น $\lambda$ s ได้อย่างไร ... ฉันรอคอยคำแนะนำใด ๆ

computation stochastic-processes

— FooBar
แหล่งที่มา

สมมติว่าคือเมทริกซ์ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของปัวซองโดยที่สำหรับหมายถึงอัตราที่สถานะเปลี่ยนสถานะเป็นและให้อัตรา ที่ stateเปลี่ยนไปเป็นสถานะอื่นทั้งหมด แต่ละแถวของเป็น 0 $B$ $n\times n$ $B_{ij}\geq 0$ $i\neq j$ $i$ $j$ $B_{ii}\leq 0$ $i$ $B$

ถ้าหมายถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เวลา , โดยนิยามของเรามี ODE เรารู้ว่าคำตอบของ ODE แบบนี้เป็นอย่างไร: , ที่เป็นชี้แจงเมทริกซ์ของบาทดังนั้นถ้าเราต้องการเพื่อสร้างการเปลี่ยนแปลงมาร์คอฟแมทริกซ์หลังจากเราจะต้องมี a $p(t)$ $t$ $B$

\dot{p} (t) = B p (t)

$\dot{p}(t) = Bp(t)$

p (t) = e^{B t} p (0)

$p(t)=e^{Bt}p(0)$

e^{B t}

$e^{Bt}$

B t

$Bt$

B

$B$

A

$A$

t = 1

$t=1$

e^{B} = A

$e^B=A$

ในหลักการที่จะได้รับเราต้องกลับเมทริกซ์ชี้แจงการลอการิทึมเมทริกซ์ของ ปัญหาคือว่าแต่ละเมทริกซ์มีลอการิทึมเมทริกซ์จำนวนมาก - ลอการิทึมในหนึ่งมิติที่ซับซ้อนมีสาขาหลายอย่างมากมายและนี้จะประกอบเมื่อเรากำลังพูดถึงการฝึกอบรมในพื้นที่มิติ ลอการิทึมส่วนใหญ่จะไม่น่าพอใจเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงของปัวซอง: บางทีมันอาจจะไม่เป็นจริงหรือรายการจะไม่มีสัญญาณที่ถูกต้อง แต่เป็นไปได้ว่าจะมีมากกว่าหนึ่งคนในบางกรณีมี Poissonมากกว่าหนึ่งที่สอดคล้องกับ Markovเช่นเดียวกับในบางกรณีที่ไม่มี Poisson $B$ $A$ $n$ $B$ $A$ $B$ สอดคล้องกับ มันยุ่ง $A$

โชคดีที่มีสถานการณ์ที่ชีวิตค่อนข้างง่ายและมันเกือบจะแน่นอนรวมถึงกรณีของคุณเอง: เมื่อทุกค่าลักษณะเฉพาะของเป็นบวก $A$ reals ในกรณีนี้มีลอการิทึมเพียงเดียวเท่านั้นที่จะเป็นจริงและมันง่ายในการคำนวณ: คุณเพียงแค่ตัดเมทริกซ์เป็นและนำลอการิทึมจริงของค่าลักษณะเฉพาะ, รับที่{ii}) แน่นอนคุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ด้วยตัวคุณเอง: ถ้าคุณใช้คำสั่งใน Matlab (สมมุติงูใหญ่เกินไป) มันจะทำให้คุณได้อย่างแม่นยำนี้B $A$ $A=V\Sigma V^{-1}$ $B=V\Omega V^{-1}$ $\omega_{ii} = \log(\sigma_{ii})$ $\text{logm}(A)$ $B$

ให้นี้สิ่งที่คุณต้องทำคือตรวจสอบว่ามันเป็นเมทริกซ์ปัวซอง ความต้องการแรกที่แถวผลรวมทั้งหมดเป็นศูนย์จะได้รับความพึงพอใจโดยอัตโนมัติเนื่องจากการสร้าง ** ข้อกำหนดที่สองที่องค์ประกอบแนวทแยงนั้นเป็นลบและองค์ประกอบนอกแนวทแยงมุมเป็นบวกไม่ถืออยู่เสมอ (ฉันคิดว่า ) แต่มันง่ายสำหรับคุณที่จะตรวจสอบ $B$ $B$

หากต้องการดูสิ่งนี้ในทางปฏิบัติฉันจะพิจารณาสำหรับกระบวนการมาร์คอฟ 3 สถานะที่คล้ายกับ AR ที่แยกส่วน (1) ตอนนี้ถ้าฉันพิมพ์ลงใน Matlab ฉัน รับ นี่คือเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงปัวซองที่ถูกต้องเนื่องจากเราสามารถตรวจสอบได้ง่ายว่า ผลรวมของแถวเป็นศูนย์และมีเครื่องหมายถูก - นี่คือคำตอบของเรา $A$

A = (\begin{matrix} 0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix}0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5\end{pmatrix}$

B = logm (A)

$B=\text{logm}(A)$

B = (\begin{matrix} - 0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & - 0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & - 0.86 \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix}-0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & -0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & -0.86\end{pmatrix}$

กรณีที่มีค่าลักษณะเฉพาะในเชิงบวกเป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากมันครอบคลุมทุกกรณีที่ไม่มีพฤติกรรมการแกว่งในโซ่มาร์คอฟ (ซึ่งจะต้องมีค่าลักษณะเชิงลบหรือเชิงซ้อนที่ซับซ้อน) สันนิษฐานว่าเป็น AR (1)

มากกว่าปกติคำสั่งบน Matlab จะทำให้เราเงินต้นลอการิทึมเมทริกซ์อะนาล็อกของลอการิทึมเกลาหลักที่ใช้ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดที่จะมีส่วนจินตภาพระหว่างและ\ปัญหาคือว่านี้ไม่จำเป็นต้องลอการิทึมที่เราต้องการและโดยมองไปที่เราอาจจะพลาด Poissonที่ไม่สร้าง (นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมค่าลักษณะเฉพาะเชิงบวกที่เราไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับเรื่องนี้ก็ดีมาก) ถึงกระนั้นแม้ในกรณีอื่น ๆ เหล่านี้มันก็ไม่สามารถทำร้ายและลองดูว่ามันใช้งานได้หรือไม่ $\text{logm}$ $-\pi$ $\pi$ $B$ $A$

โดยวิธีการที่มีปัญหาในการมองเห็นว่ามีนี้ที่สร้างบางมาร์คอฟแมทริกซ์ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง มันถูกเรียกว่าปัญหา embeddability : ดูที่ภาพรวมบางส่วนและการอ้างอิงในบทความการสำรวจครั้งนี้ที่ยอดเยี่ยมโดยเดวีส์ ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญด้านเทคนิคของปัญหา แต่; คำตอบนี้ขึ้นอยู่กับประสบการณ์แฮ็คและสัญชาตญาณของตัวเอง $B$ $A$

ฉันรู้สึกผูกพันที่จะต้องปิดความคิดเห็นที่สองของ ecksc และบอกว่าอาจมีวิธีที่ดีกว่าและตรงกว่ามากขึ้นในการแปลง AR ที่เหมาะสม (1) ลงในกระบวนการเวลาต่อเนื่องที่ จำกัด - แทนที่จะใช้เมทริกซ์ที่ได้รับผ่านวิธี Tauchen และ ทำให้มันต่อเนื่อง แต่ฉันเองก็ไม่รู้ว่าทางไหนดีกว่ากัน!

** คำอธิบาย (แม้ว่าฉันสนิม): มีที่ไม่ซ้ำกัน Perron-Frobenius eigenvalue 1 และตั้งแต่เป็นสุ่มวิคเตอร์ทางขวาของ eigenvalue นี้เป็นหน่วยเวกเตอร์อีนี่ยังคงเป็นไอเก็นเวกเตอร์ที่ถูกต้องตอนนี้มีค่าไอเคิลเป็น 0 เมื่อเรานำลอการิทึมเมทริกซ์ $A$ $A$ $e$

— ในนามแข็ง
แหล่งที่มา

ไม่สามารถแสดงความคิดเห็นหรือฉันจะขอรายละเอียดเพิ่มเติมก่อน หากคุณพยายามแปลงกระบวนการ AR (1) ที่เหมาะกับอนุกรมเวลาแบบแยกเป็นกระบวนการเวลาต่อเนื่องฉันพบทรัพยากรที่เกี่ยวข้องที่นี่ในหน้า 4

การคำนวณมีไว้สำหรับการประมาณค่าสัมประสิทธิ์ของกระบวนการ CAR (2) จากกระบวนการ AR (2) แต่แน่นอนว่าคุณสามารถแทนที่ 0 สำหรับสัมประสิทธิ์ที่สองเพื่อรับการแปลงของคุณ

หากคุณพยายามแปลง Markov Chain แบบไม่ต่อเนื่องเป็นเวลาต่อเนื่องมันจะซับซ้อนมากขึ้นและฉันจะต้องอ่านเพิ่มเติมก่อนจึงจะสามารถให้ความช่วยเหลือเพิ่มเติมได้ :) ในเวลานั้นนี่คือเนื้อหาการอ่านที่ดีที่ฉันพบเกี่ยวกับ Markov Chains ที่ต่อเนื่อง

— ecksc
แหล่งที่มา