เรามีประชากรของผู้คนที่มีอายุแตกต่างกัน $ a $, เวลาถูกทำดัชนีด้วย $ t $ มีอัตราที่ผู้คนเสียชีวิตคือ $ d (a, t) $ เพื่อความง่ายไม่สนใจการเกิด ฉันต้องการคำนวณวิวัฒนาการของการกระจายตัวของยุคสมัยเมื่อเวลาผ่านไป

แสดงถึงมวลของคนที่อายุต่ำกว่า $ a $ โดย $ F (a, t) $

$$ F (a, t) = \ int_0 ^ {a} m (\ tilde a, t) d \ tilde a $$

ท้ายที่สุดฉันอยู่หลังสมการของ Kolmogorov นั่นคือทางออกสำหรับ

$$ \ partial_t F (a, t) $$

แนวทางของฉัน ให้ $ f (a, t) $ แสดงถึงความหนาแน่นของผู้คนที่อายุ $ a $ และเวลาในจุด $ t $ ฉันจะเริ่มต้นด้วยการประมาณเวลาแบบไม่ต่อเนื่องและให้ $ \ Delta $ ไปที่ศูนย์ ในแต่ละจุดที่ไม่ต่อเนื่อง

$$ f (a + \ Delta, t + \ Delta) = (1-P (a, t)) f (a, t) $$

โดยที่ $ P (a, t) $ เป็นอะนาล็อกเวลาไม่ต่อเนื่องของ $ d (a, t) $ ขณะที่ฉันจะให้ $ \ Delta \ ถึง 0 $ ฉันสามารถประมาณ $ 1-P $ กับ $ 1- \ Delta d) $:

$$ f (a + \ Delta, t + \ Delta) = (1- \ Delta d (a, t)) f (a, t) \\ \ frac {f (a + \ Delta, t + \ Delta) -f (a, t)} {\ Delta} = -d (a, t)) f (a, t) \\ (\ partial_t + \ partial_a) f (a, t) = \ lim _ {\ Delta \ to 0} \ frac {f (a + \ Delta, t + \ Delta) -f (a, t)} {\ Delta} = - d (a, t)) f (a, t) \\ $$

ฉันสามารถรวมทั้งสองด้านได้ด้วย และรับ

$$ \ partial_t F (t, a) = - f (t, a) - \ int q (t, a) f (t, a) da \\ \ partial_t F (t, a) = - \ partial_a F (t, a) - \ int q (t, a) \ partial_a F (t, a) da $$

ฉันรู้ว่า $ \ partial_a q (t, a) = q (t, a) (1-q (t, a)) $ อย่างไรก็ตามนั่นไม่ได้ช่วยฉันในการแก้อินทิกรัล อาจมีอีกมุมมองหนึ่งที่จะแก้ไขปัญหานี้หรือไม่? หรือฉันคิดถึงอะไรบางอย่าง?

นี่คือการคาดเดาที่ดีที่สุดของฉัน ฉันไม่ได้ตรวจสอบอย่างละเอียดถี่ถ้วนว่าสิ่งนี้ถูกต้องหรือเปล่า

วิวัฒนาการของความหนาแน่นของประชากร

ฉันเข้าใจรูปแบบดังต่อไปนี้ $ f (ทีก) $ คือความหนาแน่นของคนอายุ $ a $ ในเวลา $ t $ สมมติว่าในเวลา $ t = 0 $ ความหนาแน่นของประชากรคือ $ f_0 (a) $ ในการสร้างแบบจำลองกระบวนการชราภาพเช่นเดียวกับอัตรามรณะความหนาแน่น $ f $ จะต้องมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขที่คุณได้รับ ดังนั้น $ m $ ต้องเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วนดังต่อไปนี้ $$ \ frac {\ partial f} {\ partial t} + \ frac {\ partial f} {\ partial a} + d (a, t) f (a, t) = 0 $$ และเงื่อนไขเริ่มต้น $$ f (a, 0) = f_0 (a) $$ ฉันเชื่อว่า PDE ของแบบฟอร์มนี้สามารถมีวิธีแก้ปัญหาที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาขึ้นอยู่กับรูปแบบการทำงานที่เลือกไว้สำหรับ $ d $ นี่คือบางกรณี

กรณีที่ 1: อัตราการตายคงที่ $ d (a, t) = d_0 $

สมมติว่าอัตราการตายคงที่ $ d (a, t) = d_0 $ จากนั้น (ใช้ Mathematica)

DSolve[
 {D[f[a, t], t] + D[f[a, t], a] + d0 f[a, t] == 0, 
  f[a, 0] ==  f0[a]},
 f[a, t], {a, t}]

ผลลัพธ์ใน

{{f[a, t] -> E^(-a d0 + d0 (a - t)) f0[a - t]}}

อย่างที่เราเห็นนี่เป็นวิธีแก้ปัญหาง่ายๆ $$ f (a, t) = \ exp \ {- a d_0 + d_0 (a-t) \} \ cdot f_0 (a-t) $$ กรณีที่ 2: บันทึกการตาย, $ d (a, t) = \ log (a + 1) $

ที่นี่เรามี

DSolve[
 {D[f[a, t], t] + D[f[a, t], a] + Log[a+1] f[a, t] == 0, 
  f[a, 0] ==  f0[a]},
 f[a, t], {a, t}]

ซึ่งส่งผลให้

{{f[a, t] -> (1 + a)^(-1 - a) E^t (1 + a - t)^(1 + a - t) f0[a - t]}}

นี่ยังเป็นวิธีแก้ปัญหาง่ายๆ $$ f (a, t) = (1 + a) ^ {- a-1} e ^ t (1 + a-t) ^ {1 + a-t} \ cdot f_0 (a-t) $$

กรณีที่ 3: กรณีทั่วไป

สำหรับกรณีที่เรายังไม่ได้ระบุ $ d (a, t) $,

DSolve[
 {D[f[a, t], t] + D[f[a, t], a] + d[a, t] f[a, t] == 0, 
  f[a, 0] ==  f0[a]},
 f[a, t], {a, t}]

ให้เรา (ใน TeXForm เพื่อความชัดเจน)

$$ \ begin {align *} \ left \ {\ left \ {f (a, t) \ to \\    \ text {f0} (a-t) \ cdot \\    \ exp \ left (\ int_1 ^ a    -d (K [1], K [1] -a + t) \, dK [1] - \ int_1 ^ {a-t} -d (K [1], K [1] -a + t) \,    DK [1] \ ขวา) \ ขวา \} \ ขวา \} \ end {จัด *} $$