นักวิจัยก่อนหน้านี้ล้มเหลวในการตรวจจับมือร้อนเพียงเพราะการเข้าใจผิดทางสถิติหรือไม่?

แฟนบอล / ผู้เล่นบาสเก็ตบอลหลายคนเชื่อว่าการตีลูกหลายนัดติดต่อกันนัดต่อไปมีแนวโน้มที่จะเข้ามามากขึ้นบางครั้งเรียกว่ามือร้อน

เริ่มต้น (ฉันคิดว่า) กับGilovich, Mallone และ Tversky (1985)มันเป็น "แสดง" ว่าจริง ๆ แล้วมันเป็นการเข้าใจผิด แม้ว่าจะมีหลายนัดติดต่อกันนัดต่อไปก็ไม่น่าจะเป็นไปได้มากไปกว่าค่าเฉลี่ยการยิงของคุณที่จะเป็นตัวกำหนด

Miller และ Sanjurjo (2015)ยืนยันว่ามือที่ร้อนแรงมีอยู่จริงและนักวิจัยก่อนหน้านี้เพิ่งตกเป็นเหยื่อของการเข้าใจผิดทางสถิติที่ค่อนข้างพื้นฐาน เหตุผลของพวกเขาคืออะไรเช่นนี้:

พลิกเหรียญสี่ครั้ง คำนวณความน่าจะเป็นที่ H ตาม H เพื่อให้ตัวอย่าง: HHTT มีความน่าจะเป็น 1/2, HTHT จะมีความน่าจะเป็น 0/2, TTHH จะมีความน่าจะเป็น0/1 1/1 และทั้ง TTTT และ TTTH จะเป็น NA

Punchline ของ Miller และ Sanjurjo คือค่าคาดหวังของความน่าจะเป็นนี้ไม่ใช่ 0.5 แต่ but0.4 และข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นจากนักวิจัยก่อนหน้านี้คือการสันนิษฐานอย่างไม่ถูกต้องว่าค่าคาดหวังของความน่าจะเป็นนี้คือ 0.5 ดังนั้นหากตัวอย่างเช่นนักวิจัยก่อนหน้านี้ทำการทดลองการพลิกเหรียญข้างต้นและพบความน่าจะเป็นเฉลี่ยที่จะบอกว่า 0.497 พวกเขาสรุปอย่างไม่ถูกต้องว่าไม่มีหลักฐานของมือร้อน (ไม่แตกต่างจาก 0.5) จริง ๆ แล้วมี หลักฐานที่แข็งแกร่งของมือร้อน (แตกต่างจาก 0.4)

คำถามของฉันคือ: มิลเลอร์และซันจูโจถูกต้องหรือไม่ว่านักวิจัยคนก่อนหน้านี้ไม่สามารถตรวจจับมือที่ร้อนแรงเพียงเพราะความผิดพลาดนี้หรือไม่? ฉันอ่านบทความนี้เพียงหนึ่งหรือสองเรื่องเท่านั้นดังนั้นฉันต้องการได้รับการยืนยันจากคนที่นี่ซึ่งอาจรู้จักวรรณกรรมนี้ดีกว่า ดูเหมือนว่าข้อผิดพลาดโง่ที่น่าประหลาดใจที่ยืนยันมาเป็นเวลาสามทศวรรษหรือนานกว่านั้น

(คำตอบนี้ถูกเขียนใหม่ทั้งหมดเพื่อความชัดเจนและอ่านง่ายขึ้นในเดือนกรกฎาคม 2017)

พลิกเหรียญ 100 ครั้งติดต่อกัน

ตรวจสอบการพลิกทันทีหลังจากมีสามหาง ให้P ( H | 3 T )จะมีสัดส่วนของเหรียญพลิกหลังแนวสามหางในแถวที่มีหัวในแต่ละ ในทำนองเดียวกันให้P ( H | 3 H )จะมีสัดส่วนของเหรียญพลิกหลังแนวของสามหัวในแถวที่มีหัวในแต่ละ ( ตัวอย่างที่ด้านล่างของคำตอบนี้ )$\hat{p}(H|3T)$$\hat{p}(H|3H)$

ให้ )$x:=\hat{p}(H|3H)-\hat{p}(H|3T)$

หากการโยนเหรียญเป็นแบบ iid ให้ "ชัด" ในหลาย ๆ วนการโยนเหรียญ 100 ครั้ง

(1) ที่คาดว่าจะเกิดขึ้นได้บ่อยเท่าที่x < 0$x>0$$x<0$

(2) 0$E(X)=0$

เราสร้างการโยนเหรียญ 100 ล้านครั้งและรับผลลัพธ์สองรายการต่อไปนี้:

(I) ที่เกิดขึ้นประมาณได้บ่อยเท่าที่เป็นx < 0$x>0$$x<0$

(II) ( ˉ xคือค่าเฉลี่ยของxทั่วทั้งล้านลำดับ)$\bar{x} \approx 0$$\bar{x}$$x$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าการโยนเหรียญเป็นจริงแน่นอนและไม่มีหลักฐานว่ามือร้อน นี่คือสิ่งที่ GVT (1985) ทำ (แต่ด้วยภาพบาสเก็ตบอลแทนการโยนเหรียญ) และนี่คือวิธีที่พวกเขาสรุปว่ามือที่ร้อนแรงไม่มีอยู่จริง

Punchline: น่าตกใจ (1) และ (2) ไม่ถูกต้อง หากการโยนเหรียญเป็น iid ก็ควรเป็นเช่นนั้น

(แก้ไข 1 ครั้ง) เกิดขึ้นเพียงประมาณ 37% ของเวลาในขณะที่x < 0เกิดขึ้นประมาณ 60% ของเวลา (ในส่วนที่เหลือ 3% ของเวลาทั้งx = 0หรือxไม่ได้ถูกกำหนด - อย่างใดอย่างหนึ่งเนื่องจากไม่มีช่วงของ 3H หรือไม่มีแนวของ 3T ใน 100 flips)$x>0$$x<0$$x=0$$x$

(2-แก้ไข) 0.08$E(X) \approx -0.08$

สัญชาตญาณที่เกี่ยวข้อง (หรือเคาน์เตอร์ - ปรีชา) มีความคล้ายคลึงกับคนอื่น ๆ ที่มีชื่อเสียงในปริศนาความน่าจะเป็น: ปริศนาที่ห้องโถงปัญหาสอง - เด็กชายปัญหาและหลักการของการเลือก จำกัด (ในสะพานเกมไพ่) คำตอบนี้มีความยาวเพียงพอแล้วดังนั้นฉันจะข้ามคำอธิบายของสัญชาตญาณนี้

ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้ (I) และ (II) ที่ได้รับจาก GVT (1985) จึงเป็นหลักฐานที่แข็งแกร่งในการสนับสนุนมือที่ร้อนแรง นี่คือสิ่งที่ Miller และ Sanjurjo (2015) แสดงให้เห็น

การวิเคราะห์เพิ่มเติมของตาราง GVT ของ 4

หลายคน (เช่น @scerwin ด้านล่าง) มี - โดยไม่ต้องสนใจที่จะอ่าน GVT (1985) - แสดงความไม่เชื่อว่า "นักสถิติที่ผ่านการฝึกอบรมจะเคย" ใช้ค่าเฉลี่ยโดยเฉลี่ยในบริบทนี้

แต่นั่นคือสิ่งที่ GVT (1985) ทำในตารางที่ 4 ดูตารางที่ 4 คอลัมน์ 2-4 และ 5-6 แถวล่าง พวกเขาพบว่าเฉลี่ยทั่วทั้ง 26 ผู้เล่น

และ P (H|1H)≈0.48,$\hat{p}(H|1M) \approx 0.47$$\hat{p}(H|1H) \approx 0.48$

และ P (H|2H)≈0.49,$\hat{p}(H|2M) \approx 0.47$$\hat{p}(H|2H) \approx 0.49$

และ P (H|3H)≈0.49$\hat{p}(H|3M) \approx 0.45$$\hat{p}(H|3H) \approx 0.49$

จริงๆแล้วมันเป็นกรณีที่สำหรับแต่ละ , เฉลี่ยP ( H | k H ) > P ( H | k M ) แต่ข้อโต้แย้งของ GVT นั้นดูเหมือนว่าสิ่งเหล่านี้ไม่ได้มีนัยสำคัญทางสถิติดังนั้นสิ่งเหล่านี้จึงไม่ได้เป็นหลักฐานสนับสนุนมือที่ร้อนแรง ตกลงพอพอ$k=1,2,3$$\hat{p}(H|kH)>\hat{p}(H|kM)$

แต่ถ้าแทนที่จะใช้ค่าเฉลี่ย (การเคลื่อนไหวพิจารณาโดยไม่น่าเชื่อโดยบางคน) เราทำการวิเคราะห์ซ้ำและรวมกันในผู้เล่น 26 คน (100 นัดสำหรับแต่ละครั้งโดยมีข้อยกเว้นบางอย่าง) เราจะได้รับตารางค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักดังต่อไปนี้

Any                     1175/2515 = 0.4672

3 misses in a row       161/400 = 0.4025
3 hits in a row         179/313 = 0.5719

2 misses in a row       315/719 = 0.4381
2 hits in a row         316/581 = 0.5439        

1 miss in a row         592/1317 = 0.4495
1 hit in a row          581/1150 = 0.5052

ยกตัวอย่างเช่นตารางบอกว่ามีผู้เล่นทั้งหมด 26 นัดที่ 2,515 คนซึ่ง 1,175 หรือ 46.72% ถูกสร้างขึ้น

และจาก 400 กรณีที่ผู้เล่นพลาด 3 ในแถว 161 หรือ 40.25% ตามมาด้วยการโจมตีทันที และจากอินสแตนซ์ 313 ที่ผู้เล่นตี 3 ในแถว 179 หรือ 57.19% ถูกตามด้วยการโจมตีทันที

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักข้างต้นดูเหมือนจะเป็นหลักฐานที่แข็งแกร่งในความโปรดปรานของมือร้อน

โปรดจำไว้ว่าการตั้งค่าการทดสอบการยิงเพื่อให้ผู้เล่นแต่ละคนถูกยิงจากที่ได้รับการพิจารณาว่าเขา / เธอสามารถทำประมาณ 50% ของภาพของเขา / เธอ

(หมายเหตุ: "น่าประหลาดใจ" มากพอในตารางที่ 1 สำหรับการวิเคราะห์ที่คล้ายกันมากกับการยิงในเกมของ Sixers, GVT แทนที่จะนำเสนอค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักดังนั้นทำไมพวกเขาไม่ทำแบบเดียวกันกับตารางที่ 4 ฉันเดาว่าพวกเขา แน่นอนคำนวณค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักสำหรับตารางที่ 4 - ตัวเลขที่ฉันนำเสนอข้างต้นไม่ชอบสิ่งที่พวกเขาเห็นและเลือกที่จะปราบปรามพวกเขาพฤติกรรมแบบนี้น่าเสียดายสำหรับหลักสูตรในสถาบันการศึกษา)

ตัวอย่าง : บอกว่าเรามีลำดับ (เฉพาะพลิก # 4- # 6 มีหางที่เหลืออีก 97 พลิกเป็นหัวหน้าทั้งหมด) แล้วP ( H | 3 T ) = 1 / 1 = 1เพราะมีเพียง 1 แนวที่สามหางและพลิกทันทีหลังจากที่แนวที่เป็นหัว$HHHTTTHHHHH…H$$\hat{p}(H|3T)=1/1=1$

และP ( H | 3 H ) = 91 / 92 ≈ 0.989เพราะมี 92 ลายเส้นสามหัวและ 91 ของผู้ที่ 92 ลายเส้นพลิกทันทีหลังจากที่เป็นหัว$\hat{p}(H|3H)=91/92 \approx 0.989$

PS GVT's (1985) ตารางที่ 4 มีข้อผิดพลาดหลายประการ ฉันพบข้อผิดพลาดในการปัดเศษอย่างน้อยสองข้อ และสำหรับผู้เล่น 10 ค่า parenthetical ในคอลัมน์ 4 และ 6 จะไม่รวมกันน้อยกว่าหนึ่งในคอลัมน์ 5 (ตรงกันข้ามกับบันทึกย่อที่ด้านล่าง) ฉันติดต่อ Gilovich (Tversky ตายแล้วและฉันไม่แน่ใจว่า Vallone) แต่น่าเสียดายที่เขาไม่ได้มีฉากฮิตและคิดถึงดั้งเดิมอีกต่อไป ตารางที่ 4 คือทั้งหมดที่เรามี

(ข้อจำกัดความรับผิดชอบ: ฉันไม่รู้วรรณกรรมนี้) สำหรับฉันดูเหมือนว่า Miller และ Sanjurjo มีการวิจารณ์ที่ถูกต้องเกี่ยวกับมาตรการทางสถิติที่เฉพาะเจาะจง ฉันไม่รู้ว่าสิ่งนี้ควรถูกพิจารณาว่าเป็นโมฆะงานก่อนหน้านี้ทั้งหมดในเอฟเฟ็กต์มือร้อนเนื่องจากพวกเขามุ่งเน้นเฉพาะมาตรการนี้เท่านั้น

ตัววัดเป็น

$M$$\mathbb{E} M > 0$$\mathbb{E} M = 0$

$\mathbb{E} M < 0$$M$

$M$

ทั้งสองเอกสารไม่มีความชัดเจนเพียงพอเกี่ยวกับการใช้งานสถิติดังนั้นในคำตอบนี้ฉันจะพยายามชี้แจง

Gilovich, Mallone และ Tversky (1985)ในบทคัดย่อของพวกเขากำหนด "ผลมือร้อน" ดังนี้:

" ผู้เล่นบาสเก็ตบอลและแฟน ๆ ต่างก็มีแนวโน้มที่จะเชื่อว่าโอกาสของผู้เล่นในการตีช็อตนั้นยิ่งใหญ่กว่าการติดตามช็อตก่อนหน้านี้ "

$k$$H_k$$k$$M_k$

สำหรับความกะทัดรัดนั้นเป็นที่เข้าใจกันว่าช็อตที่มีปัญหานั้นเป็นช็อตที่ตามหลังการยิงต่อเนื่องหรือการพลาด สิ่งเหล่านี้คือความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขทางทฤษฎี (เช่นค่าคงที่) ไม่ใช่ความถี่เชิงประจักษ์เชิงเงื่อนไข

$\hat P(H \mid H_k) ,\; \hat P(H\mid M_k)$

$P(H)$

$T\equiv \hat P(H \mid H_k) - \hat P(H\mid M_k)$

$T$

$T$

ดังนั้นหากมีปัญหากับ Gilovich et al กระดาษมันไม่ได้นิยามของมือร้อนมันไม่ได้เป็นสูตรของสมมติฐาน - มันไม่ใช่การเลือกของสถิติที่จะใช้: มันเป็นความถูกต้องของค่าวิกฤตที่ใช้ในการดำเนินการทดสอบ ( และโดยปริยายการกระจายสมมุติฐาน) ถ้าแน่นอนแน่นอนการแจกแจงตัวอย่างเล็ก ๆ (ภายใต้สมมติฐานว่าง) จะเห็นได้ชัดว่าไม่อยู่กึ่งกลางที่ศูนย์และไม่สมมาตร

ในกรณีเช่นนี้สิ่งที่มักจะได้รับจากการจำลองค่าวิกฤตพิเศษเพื่อดำเนินการทดสอบ (จำตัวอย่างเช่นค่าวิกฤตพิเศษสำหรับการทดสอบ Dickey-Fuller สำหรับหน่วยราก) ฉันไม่เห็นวิธีการดังกล่าวในกระดาษ Miller-Sanjurjo - แทนพวกเขาดำเนินการ "หมายถึงการปรับอคติ" และพบว่าหลังจากการปรับนี้ข้อสรุปจากการทดสอบกลับด้าน ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นวิธีที่จะไป

$200$$n=100$$p=0.5$
$T_3 = \hat P(H \mid H_3) - \hat P(H\mid M_3)$$-0.0807$$-0.072$$62.5\%$ของค่าที่เป็นลบ ฮิสโทแกรมเชิงประจักษ์คือ

ในมุมมองของฉัน Miller และ Sanjurjo เพียงคำนวณความถี่สัมพัทธ์ในตารางที่ 1 อย่างไม่ถูกต้อง ตารางของพวกเขาแสดงอยู่ด้านล่างพร้อมกับเพิ่มคอลัมน์ใหม่สองคอลัมน์ซึ่งนับจำนวนขององค์ประกอบ HH และ HT ที่เกิดขึ้นในแต่ละลำดับของการโยนเหรียญ 4 ครั้ง ในการรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขที่ต้องการ p (H | H) จะต้องรวมจำนวนเหล่านี้ N (HH) และ N (HT) แล้วหารดังแสดงด้านล่าง การทำเช่นนี้จะให้ p (H | H) = 0.5 ตามที่คาดไว้ ด้วยเหตุผลบางอย่าง Miller และ Sanjurjo คำนวณความถี่สัมพัทธ์สำหรับแต่ละลำดับก่อนแล้วจึงหาค่าเฉลี่ยของลำดับ นั่นเป็นเพียงความผิด

Sequence     Subsequences       N(HH) N(HT)    p(H|H)
TTTT  ->  TT.. , .TT. , ..TT      0     0        -  
TTTH  ->  TT.. , .TT. , ..TH      0     0        -  
TTHT  ->  TT.. , .TH. , ..HT      0     1       0.0 
THTT  ->  TH.. , .HT. , ..TT      0     1       0.0 
HTTT  ->  HT.. , .TT. , ..TT      0     1       0.0 
TTHH  ->  TT.. , .TH. , ..HH      1     0       1.0 
THTH  ->  TH.. , .HT. , ..TH      0     1       0.0 
THHT  ->  TH.. , .HH. , ..HT      1     1       0.5 
HTTH  ->  HT.. , .TT. , ..TH      0     1       0.0 
HTHT  ->  HT.. , .TH. , ..HT      0     2       0.0 
HHTT  ->  HH.. , .HT. , ..TT      1     1       0.5 
THHH  ->  TH.. , .HH. , ..HH      2     0       1.0 
HTHH  ->  HT.. , .TH. , ..HH      1     1       0.5 
HHTH  ->  HH.. , .HT. , ..TH      1     1       0.5 
HHHT  ->  HH.. , .HH. , ..HT      2     1       0.66
HHHH  ->  HH.. , .HH. , ..HH      3     0       1.0 
                                 --    --       ----
                                 12    12       0.40
                            p(H|H)=N(HH)/N(H*)
                                  =12/(12+12)
                                  =0.5

ในลำดับที่สังเกตใด ๆ เงื่อนไขสุดท้ายคือ "หายไป" ในแง่ที่ว่าไม่มีค่าหลังจากนั้น ผู้เขียนจัดการกับเรื่องนี้โดยเพียงแค่ไม่สนใจกรณีที่เกิดขึ้นโดยบอกว่าพวกเขาไม่ได้กำหนด หากซีรีย์สั้นตัวเลือกนี้จะมีผลกระทบที่ชัดเจนกับการคำนวณ รูปที่ 1 เป็นตัวอย่างที่ดีของความคิดนี้

ฉันจะเปลี่ยนความคิดเห็นที่ฉันทำไว้เป็นคำตอบและอ้างคำตอบสำหรับคำถามเดิมคือเอกสารต้นฉบับนั้นถูกต้อง ผู้เขียนบทความในปี 2015 มีการจัดลำดับที่ควรจะมีเหตุผลในการวิเคราะห์ตามที่ฉันอธิบายในความคิดเห็นและดังนั้นจึงแนะนำอคติที่สนับสนุนการเรียกร้องของพวกเขา โลกทำงานได้ตามที่ควร

ภาคผนวกในการตอบสนองต่อความคิดเห็น: เรามองไปที่ตารางที่ 1 ในกระดาษ เราเห็นว่าเราทิ้งค่า 4 ค่าจากคอลัมน์สุดท้ายดังนั้นเพื่อให้ได้ผลต่างที่คาดหวังเราจะเฉลี่ยมากกว่า 12 จาก 16 ลำดับเท่านั้น ถ้าเราดูความน่าจะเป็นเหล่านี้เป็นความถี่และเราบอกว่าสำหรับบรรทัดแรก TTTT ความถี่ที่หัวต่อหัวคืออะไรแล้วก็มีเหตุผลเกิดขึ้นเสมอและเราควรใส่ 1 ลงใน p (H, H ) คอลัมน์ไม่ใช่เส้นประ เราทำอย่างนั้นกับอีกสามซีเควนซ์ที่เราโยนออกมาและเราสรุปค่าที่คาดหวังของความแตกต่างคือ 0 ไม่ใช่ -.33 เราไม่สามารถทิ้งข้อมูลเช่นนั้นเมื่อมีการตีความข้อมูลที่ชัดเจนแบบตรรกะ

โปรดทราบว่าเพื่อให้การดริฟท์หายไปเราต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่ถูกต้องซึ่งไม่ได้ทำในกระดาษ ความน่าจะเป็นในตารางถูกอ้างว่าเป็น "ความน่าจะเป็นที่หัวจะตามหลังหาง และเราเห็นว่าสำหรับแถว TTTH เราควรเชื่อว่าความน่าจะเป็น 1/3 มันไม่ใช่. มีสี่ทอยในแถวและหนึ่งในสี่ทอยในแถวนั้นคือเหตุการณ์ "หัวตามหลังหาง" ความน่าจะเป็นคือ 1/4 ดังนั้นคำนวณความน่าจะเป็นอย่างถูกต้องและใช้แถวทั้งหมดแล้วคุณจะได้คำตอบที่ได้รับการยอมรับเป็นเวลา 30 ปี