การคาดคะเนสถานะคงที่จากคุณสมบัติการ จำกัด

คำถามเกี่ยวข้องกับหัวข้อนี้ ฉันต้องการได้รับสถานะคงที่ที่เป็นเอกลักษณ์สำหรับปัญหาการควบคุมที่ดีที่สุด

พิจารณาโปรแกรมต่อไปนี้ โดยที่หมายถึงการตั้งค่าเวลาคือค่าและฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ เป็นตัวแปรสถานะและตัวควบคุม รัฐถูกควบคุมโดยcdot) สมการแฮมิลตัน - จาโคปี - เบลล์แมนอ่าน

\begin{aligned} V (x_{0}) := max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} F (x (t), u (t)) d t \\ s . t . & \dot{x} (t) = f (x (t), u (t)) \\ x (0) = x_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &V(x_0) := \max_u \int^\infty_0 e^{-\rho t}F(x(t),u(t))dt\\ s.t.~&\dot x(t)=f(x(t),u(t))\\ &x(0) = x_0 \end{align}$

ρ > 0

$\rho > 0$

V (\cdot)

$V(\cdot)$

F (\cdot)

$F(\cdot)$

x \in X

$x\in X$

u \in U = [0, 1]

$u\in U=[0,1]$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

\begin{aligned} ρ V (x) = max_{u} [F (x, u) + V^{'} (x) f (x, u)], \forall t \in [0, \infty) \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x)=\max_u [F(x,u) + V'(x)f(x,u)],\quad \forall t\in[0,\infty) \end{align}$

ทีนี้ทึกทักเอาว่าการควบคุมการป้อนกลับถูกกำหนดโดย

\begin{aligned} u (x) = \frac{1}{1 + V^{'} (x)} = \arg max_{u} [F (x, u) + V^{'} (x) f (x, u)], \forall x \in X . \end{aligned}

$\begin{align} u(x) = \frac{1}{1+V'(x)} = \arg\max_u [F(x,u) + V'(x)f(x,u)],\quad \forall x\in X. \end{align}$

สมมติว่ามีจุดคงที่ที่และเราสามารถได้รับการเป็นตัวแทนทางเลือกสำหรับการควบคุมที่ดีที่สุดในจุดคงที่ด้วย $x = \tilde x$

\begin{aligned} u (\tilde{x}) = \frac{ρ + u^{'} (\tilde{x})}{ρ + u^{'} (\tilde{x}) + 1} . \end{aligned}

$\begin{align} u(\tilde x) = \frac{\rho + u'(\tilde x)}{\rho + u'(\tilde x) + 1}. \end{align}$

สมมติว่านอกจากนี้ HJB ในจุดคงที่จะได้รับโดย start

\begin{aligned} ρ V (x) = \ln (\frac{1}{1 + V^{'} (x)}) + 1 - \frac{1}{1 + V^{'} (x)} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(x)=\ln\left(\frac{1}{1+V'(x)}\right) + 1 - \frac{1}{1+V'(x)}. \end{align}$

หาก approches ศูนย์เราจะต้องมี\ ในทางตรงกันข้ามถ้า Approches เราต้องมีโดยนิยามของฟังก์ชันตามตัวอักษรและอีกครั้ง1 สรุปเรามีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ในสมดุล $\rho\to 0$ $V'(\tilde x) = 0 \Rightarrow u(\tilde x) = 1 \Rightarrow u'(\tilde x) = \infty$ $\rho\to\infty$ $V(\tilde x) = 0$ $V'(\tilde x) = 0 \Rightarrow u(\tilde x) = 1$

\begin{aligned} lim_{ρ \to 0} u (\tilde{x}) = lim_{ρ \to \infty} u (\tilde{x}) = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{\rho\to 0} u(\tilde x)=\lim_{\rho\to\infty} u(\tilde x) = 1. \end{align}$

นั่นคือสิ่งที่ขัดแย้งกับ

\begin{aligned} \frac{\partial u (\tilde{x})}{\partial ρ} = \frac{1}{(ρ + u^{'} (\tilde{x}) + 1)^{2}} > 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial u(\tilde x)}{\partial \rho}=\frac{1}{(\rho + u'(\tilde x) + 1)^2} > 0 \end{align}$

เป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด monoton ขัดแย้งกับผลลัพธ์ก่อนหน้าของเรา อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าเราอาจแก้ไขปัญหานี้ได้โดยการสังเกต

\begin{aligned} lim_{u^{'} (\tilde{x}) \to \infty} \frac{\partial u (\tilde{x})}{\partial ρ} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \lim_{u'(\tilde x)\to\infty}\frac{\partial u(\tilde x)}{\partial \rho}= 0 \end{align}$

ดังนั้นในที่สุดเราสามารถคาดเดาได้ว่าเราต้องอยู่ในจุดคงที่เช่นนั้น $u'(\tilde x) = \infty \Rightarrow u(\tilde x) = 1$

\begin{aligned} ρ V (\tilde{x}) = \ln (1) + 1 - 1 \Leftrightarrow V (\tilde{x}) = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \rho V(\tilde x)=\ln(1) + 1 - 1 \Leftrightarrow V(\tilde x) = 0. \end{align}$

mathematical-economics dynamic-programming steady-state

— ไม่รู้เรื่องรู้ราว
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณจะมาถึงสีหน้าของ

\frac{\partial u (\tilde{x})}{\partial ρ}

$\frac{\partial u(\tilde x)}{\partial \rho}$

— Alecos Papadopoulos

คุณถูก. ฉันคิดว่ามันควรอ่าน:ที่สัญญาณไม่ได้กำหนดและการโต้แย้งของฉันมีข้อบกพร่อง

\partial u (\tilde{x}) / \partial ρ = (1 + \partial u^{'} (\tilde{x}) / \partial ρ) / (ρ + u^{'} (\tilde{x}) + 1)^{2}

$\partial u(\tilde x)/\partial \rho = (1+\partial u'(\tilde x)/\partial \rho)/(\rho + u'(\tilde x) + 1)^2$

— clueless

เราจะดำเนินการต่อไปอย่างไร ฉันควรโพสต์สิ่งนี้เป็นคำตอบ "ผลลบ" เพื่อไม่ให้โพสต์ยังคงอยู่ในคิวที่ยังไม่ได้ตอบหรือคุณจะแก้ไขคำถามอย่างใดอย่างหนึ่งหรือไม่?

— Alecos Papadopoulos

อาจเป็นผลลบทำให้ฉันไม่รู้ว่าจะแก้ไขปัญหาอย่างไร ฉันคิดว่าฉันได้พบวิธีที่แตกต่างเพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็น equlibrium ที่เสถียรที่เกี่ยวข้องกับค่าสูงสุดเนื่องจากตามหลักการเบี่ยงเบน shot เดียวไม่มีแรงจูงใจที่จะเบี่ยงเบนจากกลยุทธ์เฉพาะนั้น อย่างไรก็ตามการตั้งค่าเริ่มต้นของฉันเกี่ยวข้องกับตัวแทนสองรายซึ่งแตกต่างจากที่เสนอไว้ที่นี่

u (\tilde{x}) = 1

$u(\tilde x) = 1$

— clueless

การอัพเกรดการแลกเปลี่ยนความคิดเห็นจุดวิกฤติในคำถามคือนิพจน์

\begin{aligned} \frac{\partial u (\tilde{x})}{\partial ρ} = \frac{1}{(ρ + u^{'} (\tilde{x}) + 1)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial u(\tilde x)}{\partial \rho}=\frac{1}{(\rho + u'(\tilde x) + 1)^2} \end{align}$

ซึ่งผิดพลาดเพราะจาก

\begin{aligned} u (\tilde{x}) = \frac{ρ + u^{'} (\tilde{x})}{ρ + u^{'} (\tilde{x}) + 1} . \end{aligned}

$\begin{align} u(\tilde x) = \frac{\rho + u'(\tilde x)}{\rho + u'(\tilde x) + 1}. \end{align}$

เราได้รับ

\begin{aligned} \frac{\partial u (\tilde{x})}{\partial ρ} = \frac{1 + \partial u^{'} (\tilde{x}) / \partial ρ}{(ρ + u^{'} (\tilde{x}) + 1)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial u(\tilde x)}{\partial \rho}=\frac{1+\partial u'(\tilde x)/\partial \rho}{(\rho + u'(\tilde x) + 1)^2} \end{align}$

OP ตั้งข้อสังเกตว่าสัญลักษณ์ของไม่แน่นอนและไม่สามารถพูดได้ว่าเพิ่มขึ้นซ้ำซากจำเจซึ่งเป็นสิ่งที่ ขับรถปักหมุดของรัฐที่มั่นคง $\partial u'(\tilde x)/\partial \rho$ $\partial u(\tilde x)/\partial \rho$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา