ระบบของสมการเชิงอนุพันธ์การประมูลราคาแรกแบบไม่สมมาตร

ฉันกำลังทำงานที่มีปัญหาในหนังสือประมูลทฤษฎีของฉันเกี่ยวกับการประมูลราคาสองครั้งแรกที่ไม่สมมาตร สมมติว่าผู้ประมูลมีความเสี่ยงที่เป็นกลาง คำชี้แจงปัญหามีดังนี้:

สมมติว่าผู้ชนะการประมูล $1$ ของค่า $X_{1}$ จะมีการกระจายไปตาม $F_{1}(x) = \frac{1}{4}(x-1)^{2}$ มากกว่า $[1, 3]$ และมูลค่าของผู้เสนอราคา $2$ จะถูกกระจายตาม $\text{exp}(\frac{2}{3}x - 2)$ ในช่วง $[0, 3]$ ]แสดงว่า $\beta_{1}(x) = x - 1$ และ $\beta_{2}(x) = \frac{2}{3}x$ เป็นกลยุทธ์การเสนอราคาแบบสมดุลในการประมูลราคาครั้งแรก

ฉันพยายามที่จะทำงานใน deriving $\beta_{1}$ และ $\beta_{2}$ 2น่าเสียดายที่ความรู้เกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ของฉันไม่ค่อยแข็งแกร่งนัก บางคนจะสามารถตรวจสอบงานของฉันอีกครั้งและแจ้งให้ฉันทราบหากฉันมีข้อผิดพลาดเชิงตรรกะหรือไม่ ฉันได้รับฟังก์ชั่นการเสนอราคาที่ถูกต้อง แต่ฉันไม่มั่นใจว่างานของฉันจะสมบูรณ์

ก่อนอื่นสมมติว่าฟังก์ชั่นการเสนอราคาสมดุล $\beta_{1} : [1, 3] \to \mathbb{R}_{+}, \beta_{2} : [0, 3] \to \mathbb{R}_{+}$ จะเพิ่มขึ้นอย่างมากและแตกต่างกัน กำหนด $g_{1}(x) = \beta_{1}^{-1}(x)$ และ $g_{2}(x) = \beta_{2}^{-1}(x)$ )

เครื่องเล่นกับการประเมินมูลค่าเท่านั้นที่สามารถแตกต่างกันไปเสนอราคาของเขาดังนั้นเขาจึงพยายามที่จะหาสิ่งที่ดีที่สุดที่ได้รับการเสนอราคาจากปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพด้านล่าง $i$ $v$

max_{b} F_{- i} (g_{- i} (b)) \cdot (v - b)

$\max_{b} F_{-i}(g_{-i}(b)) \cdot (v - b)$

เราพิจารณาเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรก:

F_{- i} (g_{- i} (b)) = \frac{f_{- i} (g_{- i} (b))}{β_{- i}^{'} (g_{- i} (b))} \cdot (v - b)

$F_{-i}(g_{-i}(b)) = \dfrac{f_{-i}(g_{-i}(b))}{\beta_{-i}^{\prime}(g_{-i}(b))} \cdot (v-b)$

ที่สมดุล(ข) ใช้สิ่งนี้และสังเกตเรา มี: $v = g_{i}(b)$ $\dfrac{1}{\beta_{-i}^{\prime}(g_{-i}(b))} = (g_{-i}(b))^{\prime}$

(g_{- i} (b))^{'} = \frac{F_{- i} (g_{- i} (b))}{f_{- i} (g_{- i} (b))} \cdot \frac{1}{g_{i} (b) - b}

$(g_{-i}(b))^{\prime} = \dfrac{F_{-i}(g_{-i}(b))}{f_{-i}(g_{-i}(b))} \cdot \dfrac{1}{g_{i}(b) - b}$

เมื่อเสียบอันเราจะได้รับ: $F_{i}$

g_{2}^{'} (b) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{g_{1} (b) - b}

$g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{g_{1}(b) - b}$

และ:

g_{1}^{'} (b) = \frac{1}{2} \cdot \frac{g_{1} (b) - 1}{g_{2} (b) - b}

$g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{g_{2}(b) - b}$

ที่สมดุลเราได้(3) โดยเหตุผลของแต่ละบุคคล0 $\beta_{1}(3) = \beta_{2}(3)$ $\beta_{2}(0) = 0 \implies g_{2}(0) = 0$

ในขณะที่ฉันสามารถใช้คำแถลงปัญหาได้อย่างชัดเจนว่าเพื่อสรุปว่าฉันไม่ทราบวิธีปรับเงื่อนไขขอบเขตนี้อย่างอิสระ ไม่มีใครมีข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่? $\beta_{1}(x) = x - 1$ $g_{1}(0) = 1$

แม้ว่าจะมีเงื่อนไขขอบเขตนี้แล้วก็ตามฉันก็ทราบว่า:

g_{2}^{'} (0) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1 - 0} = \frac{3}{2}

$g_{2}^{\prime}(0) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{1 - 0} = \dfrac{3}{2}$

จากที่นี่ฉันสามารถโบกมือของฉันและเดาว่าซึ่งจะหมายถึง . ฉันไม่แน่ใจว่าจะได้รับอย่างเป็นทางการแม้ว่านี้ ใครจะมีความเข้าใจอย่างถ่องแท้ในเรื่องนี้? $g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2}$ $g_{2}(b) = \dfrac{3}{2}b$

เมื่อฉันมีฉันสามารถเสียบเข้ากับเพื่อรับ: $g_{2}(b) = \dfrac{3}{2}b$ $g_{1}^{\prime}(b)$

g_{1}^{'} (b) = \frac{1}{2} \cdot \frac{g_{1} (b) - 1}{\frac{3}{2} b - b} = \frac{g_{1} (b) - 1}{b}

$g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{\dfrac{3}{2}b - b} = \dfrac{g_{1}(b) - 1}{b}$

ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งซึ่งคำตอบคือ:

$g_{1}(b) = b + 1 \implies \beta_{1}(v) = v - 1$ 1

และเรามีวี $\beta_{2}(v) = \dfrac{2}{3}v$

งานของฉันเป็นคลื่นเล็กน้อย ฉันขอขอบคุณเป็นอย่างยิ่งที่ช่วยในการเสริมรายละเอียด ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความช่วยเหลือ!

game-theory auctions

— ml0105
แหล่งที่มา

ทำไมคุณกำลังพยายามที่จะได้รับมาและ ? ดูเหมือนว่าคุณจะถูกขอให้แสดงให้เห็นว่ากลยุทธ์เหล่านี้เป็นดุลยภาพเท่านั้น (นั่นคือไม่มีการเบี่ยงเบนใด ๆ ที่ทำกำไรได้) ไม่ใช่ว่าดุลนี้มีลักษณะเฉพาะ

β_{1}

$\beta_1$

β_{2}

$\beta_2$

— Oliv

ความสนใจด้านวิชาการ ฉันต้องการที่จะรู้วิธีการแก้ปัญหาโดยไม่ต้องรู้เบื้องต้น ฉันไม่ได้พยายามที่จะแสดงความเป็นตัวของตัวเอง

— ml0105

มันไม่ได้ตอบคำถามของคุณอย่างสมบูรณ์ แต่วิธีที่จะได้รับการแก้ปัญหาบางอย่างโดยไม่ทราบว่าพวกเขาคือ "เดาและตรวจสอบ" โดยการตั้งค่ารูปแบบการทำงานบางอย่าง ตัวอย่างเช่นคุณสามารถสมมติว่าและและแก้หาค่าของสัมประสิทธิ์ที่ตอบสนองระบบสมการเชิงอนุพันธ์ของคุณ ไม่มีวิธีทั่วไปในการค้นหาวิธีแก้ไขทั้งหมด ตัวอย่างเช่นคุณสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันของสมการแรกของคุณแล้วเสียบมันเข้าไปในวินาทีเพื่อให้ได้สมการในเท่านั้น

g_{1} (b) = α b + β

$g_1(b)=\alpha b + \beta$

g_{2} (b) = γ b + δ

$g_2(b)=\gamma b + \delta$

g_{1}

$g_1$

g_{2}^{'}

$g_2'$

g_{2}

$g_2$

— Oliv

ขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือของคุณ! นั่นดูเหมือนความคิดที่มีแนวโน้ม! ฉันจะไปเล่นกับมันบ้าง ในการขุดดูเหมือนว่าคู่การกระจายเรียนนี้มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดซึ่งได้รับมาจากศาสตราจารย์แฮร์ริสันเฉิง การอ้างอิงในบทความนี้สำหรับคลาส C2 ( repository.cmu.edu/cgi/… ) ชี้ไปที่การโต้ตอบส่วนตัวกับเฉิง ฉันส่งอีเมลเฉิงเพื่อดูว่าเขาสามารถส่งรากศัพท์มาให้ฉันได้ไหม

— ml0105

ฉันทำตามคำแนะนำของ Oliv ซึ่งค่อนข้างมีผล ดังนั้นเราจึงมีสมการเชิงอนุพันธ์:

g_{1}^{'} (b) = \frac{1}{2} \cdot \frac{g_{1} (b) - 1}{g_{2} (b) - b}

$g_{1}^{\prime}(b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{g_{1}(b) - 1}{g_{2}(b) - b}$

และ:

g_{2}^{'} (b) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{g_{1} (b) - b}

$g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{g_{1}(b) - b}$

ด้วยเงื่อนไขขอบเขตและโดยที่คือราคาเสนอสูงสุด . $g_{2}(0) = 0$ $g_{1}(\overline{b}) = g_{2}(\overline{b}) = 3$ $\overline{b}$

ตอนนี้เราเดาว่าและ\ การประยุกต์ใช้อัตราผลตอบแทนที่0 $g_{1}(b) = \alpha b + \gamma$ $g_{2}(b) = \delta b + \lambda$ $g_{2}(b) = 0$ $\lambda = 0$

ถัดไปฉันแทนที่เป็นเพื่อรับ: $g_{1}(b)$ $g_{2}^{\prime}(b)$

g_{2}^{'} (b) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(α - 1) b + γ}

$g_{2}^{\prime}(b) = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{(\alpha - 1)b + \gamma}$

การรวมให้ผลตอบแทน $g_{2}^{\prime}(b)$

g_{2} (b) = \frac{3}{2 (α - 1)} l n ((α - 1) b + γ)

$g_{2}(b) = \dfrac{3}{2(\alpha - 1)} ln( (\alpha - 1)b + \gamma)$

เราทราบไม่มีการบูรณาการอย่างต่อเนื่องเมื่อเป็นเดลต้าข ตอนนี้เราใช้อีกครั้งสรุปว่า0 และเพื่อให้1 ดังนั้น1 $g_{2}(b) = \delta b$ $g_{2}(0) = 0$ $ln( \gamma) = 0$ $\gamma = 1$ $g_{1}(b) = \alpha b + 1$

ตอนนี้เราแก้ปัญหา:

g_{2} (\bar{b}) = 3 = \frac{3}{2 (α - 1)} l n ((α - 1) \bar{b} + γ)

$g_{2}(\overline{b}) = 3 = \dfrac{3}{2(\alpha - 1)} ln( (\alpha - 1)\overline{b} + \gamma)$

จากนี้และสังเกตว่าเราได้รับ: $g_{1}(\overline{b}) = 3 = \alpha \overline{b} + 1$

e^{2 (α - 1)} = 3 - \bar{b} ⟹ \bar{b} = 3 - e^{2 (α - 1)}

$e^{2(\alpha - 1)} = 3 - \overline{b} \implies \overline{b} = 3 - e^{2(\alpha - 1)}$

การเสียบเข้ากับให้ผลตอบแทน: $g_{1}(b)$

g_{1} (\bar{b}) = α (3 - e^{2 (α - 1)}) + 1 = 3

$g_{1}(\overline{b}) = \alpha(3 - e^{2(\alpha - 1)}) + 1 = 3$

ซึ่งหมายถึงว่าการแก้ปัญหา1 ดังนั้น2 $\alpha = 1$ $\overline{b} = 2$

ดังนั้น{2} $\delta = \dfrac{3}{2}$

ดังนั้น ; และหมายถึงตามต้องการ $g_{1}(b) = b + 1 \implies \beta_{1}(v) = v - 1$ $g_{2}(b) = \dfrac{3}{2}b$ $\beta_{2}(v) = \dfrac{2}{3}v$

— ml0105
แหล่งที่มา

คุณสามารถรับผลลัพธ์ของคุณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น (โดยไม่ต้องรวม) โดยรับและดังนั้น . ตั้งแต่นี้จะต้องเป็นจริงสำหรับทุกนี้อัตราผลตอบแทนและ 3 จากนั้นคุณสามารถทำเช่นเดียวกันกับสมการอื่นและแก้ค่าทั้งหมดของด้วยวิธีนั้น

g_{2}^{'} (b) = δ

$g_2'(b)=\delta$

δ = \frac{3}{2} \frac{1}{(α - 1) b + γ}

$\delta = \frac{3}{2} \frac{1}{(\alpha-1)b+\gamma}$

b

$b$

α = 1

$\alpha=1$

2 δ γ = 3

$2 \delta \gamma =3$

α, γ, δ, β

$\alpha,\gamma,\delta,\beta$

— Oliv

นั่นเป็นวิธีที่เรียบร้อย! ขอขอบคุณที่ชี้ว่า :-)

— ml0105

ยินดีต้อนรับคุณ! โปรดอย่าลังเลที่จะรายงานที่นี่หากคุณพบวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไป

— Oliv

จะทำ. หวังว่าศาสตราจารย์เฉิงจะกลับมาหาฉัน การอ้างถึงกรณีทั่วไปเท่านั้นคือการโต้ตอบส่วนตัวกับเขา

— ml0105