ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้อะไรจะเทียบเท่ากับฟังก์ชั่นเสริม?

เรียกใช้ฟังก์ชันยูทิลิตี้สารเติมแต่งถ้ามีฟังก์ชั่นที่มีอยู่ดังกล่าวว่า: $u(x,y)$ u ( x , y ) = v x ( x ) + v y ( y $v_x,v_y$

พิจารณาฟังก์ชันUมันไม่ได้เป็นสารเติมแต่ง แต่สามารถแปลงได้โดยใช้ positive-monotonic-transformation (PMT) ไปยังฟังก์ชัน:และฟังก์ชันเป็นสารเติมแต่งคุณ′ ( x , y ) = บันทึกu ( x , y ) = บันทึกx + บันทึกy คุณ$u(x,y)=xy$$u'(x,y)=\log u(x,y) = \log{x}+\log{y}$$u'$

คำถามของฉันคือ: เงื่อนไขใดในฟังก์ชั่นรับประกันได้ว่ามันสามารถเปลี่ยนได้โดยใช้ PMT เพื่อฟังก์ชั่นเสริม?$u(x,y)$

คือถ้าฉันเห็นฟังก์ชั่นฉันจะรู้ได้อย่างไรว่ามันแสดงถึงความสัมพันธ์ที่ชอบซึ่งสามารถแสดงด้วยฟังก์ชันยูทิลิตี้เพิ่มเติม$u(x,y)$

Ted Bergstrom มีหมายเหตุการบรรยายเกี่ยวกับการตั้งค่าแบบแยกได้ที่ดูเหมือนจะมีสิ่งที่คุณกำลังมองหา ตัวอย่างเช่น:

เมื่อใดที่การกำหนดลักษณะแยกกันอย่างเสริมได้

เงื่อนไขที่จำเป็นและมีประโยชน์ที่สุดสำหรับการกำหนดลักษณะที่จะแยกออกจากกันได้คือชุดย่อยทุกชุดของสินค้าทั้งหมดจะแยกกันไม่ออก หลักฐานที่ฉันรู้เกี่ยวกับข้อเสนอนี้ค่อนข้างละเอียดกว่าที่เหมาะสมในที่นี้ ทฤษฎีบทนี้สามารถพบได้ทั่วไปในบทความโดย Gerard Debreu (วิธีการทางโทโพโลยีในยูทิลิตี้สำคัญ) กระดาษของ Debreu น่าจะเป็นคำตอบทั่วไปที่น่าพอใจสำหรับปัญหานี้ หลักฐานอื่น ๆ สามารถพบได้ใน (รากฐานของการวัด) และ (ทฤษฎียูทิลิตี้สำหรับการตัดสินใจ)

ถ้าหาก (ถ้าและ( y 1 , z 2 ) R ( z 1 , x 2 ) , แล้ว( x 1 , z 2 ) R ( z 1 , y 2 ) ) จากนั้นด้วยฟังก์ชั่นที่ดีสองฟังก์ชั่นตัวแปรจะแยกกันได้ ดังนั้นแยกกันไม่ออก additively นี่คือทฤษฏี Debreu$(x1, x2)R(y1, y2)$$(y1, z2)R(z1, x2)$$(x1, z2)R(z1, y2)$