เส้นอุปสงค์จากโมเดล logit

เป็นไปได้ไหมที่จะได้รับเส้นอุปสงค์จากโมเดลพหุนามแบบไม่ต่อเนื่องแบบเลือกไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่นโมเดล logit จะให้โอกาสในการซื้อสินค้าแต่ละรายการ แต่ฉันสามารถแปลมันเป็นเส้นอุปสงค์ได้ไหม

supply-and-demand

— หยานซ่ง
แหล่งที่มา

เราไม่สามารถรับ "ความต้องการ" ได้ตามปกติเนื่องจากความต้องการเป็นตัวแปรสุ่ม "ดีที่สุด" ที่เราทำได้คืออันดับแรกเพื่อให้ได้รับความคาดหวังตามเงื่อนไขของความต้องการส่วนบุคคล (เงื่อนไขกับตัวแปรที่กำหนดความน่าจะเป็นที่ผู้บริโภคจะต้องการ / ซื้อ)
ให้สถานการณ์ที่ผู้บริโภคจะตัดสินใจซื้อหรือไม่ซื้อเดียว (สำหรับความเรียบง่าย) รายการของที่ดี เราสามารถสร้างโมเดลเฟรมเวิร์กยูทิลิตี้พื้นฐานนี้ได้ $A$

u_{i} (A) = α p_{i} + x_{i}^{'} β + e_{i}

$u_i(A) = \alpha p_i+\mathbf x_i'\beta +e_i$

เมื่อแสดงถึงผู้บริโภคคือราคาที่ดีต้องเผชิญกับผู้บริโภค , มีตัวแปรอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับคดีและเป็นตัวแทนของ "สุ่ม" ชอบช็อกสันนิษฐานว่าพูดตามมาตรฐานกระจายโลจิสติกส์ เงื่อนไขใน 's ผู้บริโภคจะเรียกร้อง / ซื้อ , ถ้า (ตามแบบแผน) ดังนั้นเราสามารถจำลองความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในการซื้อโดย $i$ $p_i$ $i$ $\mathbf x_i$ $e_i$ $x$ $q^d_i=1$ $u_i(A)>0$

E (Q_{ผม}^{d} = 1 | พี, x_{ผม}) = Λ (α {พี}_{ผม} + x_{ผม}^{'} β)

$E(q_i^d =1\mid p, \mathbf x_i) = \Lambda(\alpha p_i+\mathbf x_i'\beta)$

จากนั้นความคาดหวังตามเงื่อนไขของความต้องการของตลาดคือ

Q_{d} = Σ_{ผม = 1}^{n} Q_{ผม}^{d} = Σ_{ผม = 1}^{n} Λ (α {พี}_{ผม} + x_{ผม}^{'} β)

$Q_d = \sum_{i=1}^nq^d_i = \sum_{i=1}^n\Lambda(\alpha p_i+\mathbf x_i'\beta)$

นี่เป็นตัวแปรสุ่มและมีพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก ที่จะได้รับบางสิ่งบางอย่างหนึ่งมิติให้ตัวอย่างของขนาดบนและในการทำธุรกรรมที่เกี่ยวข้อง (และอื่น ๆ ) หนึ่งสามารถประมาณการ $n$ $\mathbf x_i$ $p_i$ พูดโดยโอกาสสูงสุด จากนั้นเราจะได้แนวคิด "เส้นโค้งความต้องการของตลาดโดยเฉลี่ย" โดยใช้ค่าเฉลี่ยตัวอย่างของเป็น $\hat \alpha, \; \hat \beta$ $x$

{\hat{Q}}_{d} (พี; \bar{x}) = Σ_{ผม = 1}^{n} Λ (\hat{α} พี + {\bar{x}}^{'} \hat{β}) = n \cdot Λ (\hat{α} พี + {\bar{x}}^{'} \hat{β})

$\hat Q_d(p\,; \mathbf {\bar x}) = \sum_{i=1}^n\Lambda(\hat \alpha p+ \mathbf {\bar x'}\hat \beta) = n\cdot \Lambda(\hat \alpha p+ \mathbf {\bar x'}\hat \beta)$

ที่นี่ราคาไม่ได้จัดทำดัชนีอีกต่อไปและเราเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้เส้นโค้ง $p$

เป็นตัวอย่างตัวเลขของเล่นสมมติมีผู้บริโภคที่และ 2จากนั้น $100$ ${\bar x'}\hat \beta =1$ $\hat \alpha = -2$ จะดูเหมือน $\hat Q_d(p\,; \mathbf {\bar x_i})$

เข้าสู่ระบบหลายทาง

ใน logit พหุนามที่เราตรวจสอบทางเลือกที่จะซื้อ "นี้หรือนี้หรือนี้" (ทางเลือกพิเศษร่วมกัน ) เราจบลงด้วย (หลังการฟื้นฟูตามปกติ) $k=1,..,K$

\hat{E} (Q_{ผม k}^{d} | {พี}_{ผม k}, x_{ผม k}) = \frac{ประสบการณ์ {\hat{α} {พี}_{ผม k} + x_{ผม k}^{'} \hat{β}}}{1 + Σ_{k = 2}^{K} ประสบการณ์ {\hat{α} {พี}_{ผม k} + x_{ผม k}^{'} \hat{β}}}

$\hat E(q^d_{ik} \mid p_{ik}, \mathbf x_{ik}) = \frac {\exp\{\hat \alpha p_{ik} + \mathbf x'_{ik}\hat \beta\}}{1+\sum_{k=2}^K\exp\{\hat \alpha p_{ik} + \mathbf x'_{ik}\hat \beta\}}$

$K$ $1$

{\hat{Q}}_{d}^{(1)} ({พี}_{1}) = \frac{n \cdot ประสบการณ์ {\hat{α} {พี}_{1} + {\bar{x}}_{1}^{'} \hat{β}}}{1 + Σ_{k = 2}^{K} ประสบการณ์ {\hat{α} {\bar{พี}}_{k} + {\bar{x}}_{k}^{'} \hat{β}}}

$\hat Q^{(1)}_d(p_1) = \frac {n\cdot \exp\{\hat \alpha p_1 + \mathbf {\bar x}_{1}'\hat \beta\}}{1 + \sum_{k=2}^{K}\exp\{\hat \alpha \bar p_{k} + \mathbf {\bar x}_k'\hat \beta\}}$

โปรดทราบว่าที่นี่เราต้องเฉลี่ยราคาของสินค้าอื่น ๆ ด้วย

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

มันเป็นคำตอบที่ดี ถ้าฉันขยาย binary logit ไปยัง logom แบบมัลติโนเมียลฉันก็แค่ต้องรวมความน่าจะเป็นของการซื้อสินค้าแต่ละอย่างจากตัวอย่างทั้งหมด ฉันยกเลิกการติดตั้งอย่างถูกต้องหรือไม่

— Yan Song

@YanSong คุณใช้ logom หลายคนเพื่อเป็นทางเลือกในรูปแบบตัวเลือกพิเศษร่วมกันหรือไม่?

— Alecos Papadopoulos

ใช่. ฉันต้องการเชื่อมโยงกับกราฟความต้องการมาตรฐานเพื่ออธิบายวิธีการคำนวณส่วนเกินของผู้บริโภค

— Yan Song

@ YanSong ฉันได้ขยายคำตอบเพื่อให้ครอบคลุมการบันทึกหลายส่วน

— Alecos Papadopoulos

ฉันหวังว่าคำตอบนี้จะได้รับ upvotes ที่สมควรได้รับ

— แพร่หลาย