การเติบโตแบบสุ่มในเวลาต่อเนื่อง

วรรณกรรม: ดูช้าง (1988)สำหรับส่วนทางทฤษฎีและAchdou et al. (2015)สำหรับส่วนที่เป็นตัวเลขตามลำดับ

แบบ

พิจารณาปัญหาการเติบโตที่ดีที่สุดแบบสุ่มต่อไปนี้ในรูปแบบต่อหัว

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$ everthing เป็นมาตรฐานยกเว้น

d z

$dz$ ซึ่งเป็นการเพิ่มขึ้นของกระบวนการ Wiener มาตรฐานคือ

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$ )

อัตราการเติบโตของประชากรมีค่าเฉลี่ย

n

$n$ และความแปรปรวน

σ^{2}

$\sigma^2$ 2

โซลูชันการวิเคราะห์

เราเข้าใจเทคโนโลยี Cobb-Douglas

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

และยูทิลิตี้ CRRA ตั้งสมการ Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB-e)

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

เงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรก (FOC) อ่าน โดยที่หมายถึงฟังก์ชั่นนโยบาย

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

เปลี่ยน FOC เป็น HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

เราคาดเดารูปแบบการทำงานของด้วย ( Posch (2009, eq. 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

ที่ไหน คงที่ อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของถูกกำหนดโดย $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

HJB-e อ่านแล้ว

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

maximized HJB-E เป็นความจริง IFF เงื่อนไขต่อไปนี้ถือ

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Resubstitute เป็นซึ่งในที่สุดก็ให้ฟังก์ชันค่าจริง $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

$v$ $\sigma$

ดังนั้นฟังก์ชั่นค่าที่กำหนดขึ้นและสุ่มสุ่มต้องเหมือนกัน จากนั้นฟังก์ชั่นนโยบายจะได้รับโดยทันที (ใช้ FOC และฟังก์ชันอนุพันธ์ของค่า)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

$\sigma$

การประมาณเชิงตัวเลข

$\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

$\sigma$ $\sigma$ ?

— ไม่รู้เรื่องรู้ราว
แหล่งที่มา

สิ่งที่รบกวนฉันที่นี่คือเงื่อนไข "iff" แรกหลังจากที่คุณเขียน "การขยาย HJB-e ให้เป็นจริงถ้ามีเงื่อนไขต่อไปนี้เก็บไว้": นี่เป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ต้องเก็บไว้ระหว่างพารามิเตอร์ทั้งหมดของพารามิเตอร์ การเติบโตของประชากรผลผลิตของเงินทุนและความผันผวน ฉันสงสัยว่า: เราสามารถทำงานกับฟังก์ชันที่เดาได้ซึ่งความถูกต้องขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่แคบมาก ๆ ของพารามิเตอร์หรือไม่?

— Alecos Papadopoulos

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$ ถือ ฉันสงสัยว่า: มีกฎบางอย่างเมื่อคาดเดาไม่อนุญาตให้ใช้ฟังก์ชันหรือไม่ ฉันหมายถึงเรามีความสนใจในการหาทางออกที่แท้จริงและภายใต้เงื่อนไขบางอย่างที่เราได้รับทางออกที่แท้จริง ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่รบกวนจิตใจคุณที่นี่จากมุมมองทางทฤษฎี? แน่นอนว่ามันอาจ จำกัด งานเชิงประจักษ์ แต่นั่นไม่ใช่ประเด็นที่นี่ เราสนใจที่จะแก้ปัญหา HJBe และสามารถทำได้ ถ้าเป็นประสบการณ์นิยม (1/2)

— ไร้เดียงสา

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

ความคิดเห็นเพิ่มเติม:

ควรมีผู้ดำเนินการที่คาดหวังในคำสั่งของปัญหามิฉะนั้นปัญหาไม่เหมาะสม

$\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

$\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$ ซึ่งในกรณีปัญหาที่กำหนดอาจจะไม่ดีถูกวาง สิ่งที่เป็นจริงคือฟังก์ชัน stochastic value ใช้รูปแบบที่กำหนดเฉพาะในกรณีที่มีข้อ จำกัด ของพารามิเตอร์

$\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

ข้อ จำกัด สามารถเขียนเป็น

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

$(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ )ดังนั้นฟังก์ชั่นค่าจึงเป็นอิสระจาก $\sigma$ .

ว่าฟังก์ชั่นค่าเป็นอิสระจาก $\sigma$ เป็นสิ่งประดิษฐ์ของข้อ จำกัด และทางเลือกของ CRRA $u$ . ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป

— ไมเคิล
แหล่งที่มา