การวิเคราะห์เสถียรภาพและมิติของระบบควบคุมแบบไดนามิก

ฉันมีปัญหาการควบคุมที่ดีที่สุดที่ฉันมีสองการควบคุมและตัวแปรสถานะหนึ่ง

$$ max \ int_ {0} ^ {\ infty} \ left (u \ left (c \ right) -P_ {M} M \ right) e ^ {- \ rho t} dt \ tag {1} $$

โดยที่ $ P_ {M} $ คือราคาต่อหน่วยของกิจกรรมลดคาร์บอน ($ CO_2 $ ลดบรรยากาศ) และ M M $ เป็นตัวแปรควบคุม

ตัวแปรสถานะคือ

$$ \ dot {S} = R \ left (S \ ขวา) -c + \ eta \ left (M \ ขวา) \ แท็ก {2} $$

โดยที่ $ S $ คือคุณภาพสิ่งแวดล้อม $ c $ คือการบริโภค $ R (S) $ คือการฟื้นฟูสภาพแวดล้อม (เช่นฟังก์ชั่นการผลิตในรูปแบบที่มีการสะสมทุน) และ $ \ eta (M) $ เป็นฟังก์ชั่น ซึ่งควรจะเพิ่มขึ้นและฟังก์ชั่นเว้า ฟังก์ชั่นนี้มีส่วนช่วยในการเพิ่มคุณภาพสิ่งแวดล้อม

ฉันเขียนมิลโตเนียน

$$ \ mathcal {H} u = \ left (c \ ขวา) -P_ {M} M + \ แลมบ์ดา \ ซ้าย [r \ left (S \ ขวา) -c + \ eta \ left (M \ ขวา) \ ขวา] $ $

FOC คือ;

$$ u_ {C} = \ แลมบ์ดา \ แท็ก {3} $$

\ แท็ก $$ P_ {M} = \ แลมบ์ดา \ eta_ {M} \ left (M \ ขวา) {4} $$

$$ \ dot {\ แลมบ์ดา} = \ โร \ lambda- \ แลมบ์ดา \ left (R_ {S} \ left (S \ ขวา) \ ขวา) \ แท็ก {5} $$

ดังนั้นในรุ่นนี้ฉันมี 2 ตัวแปรควบคุมบริโภค $ c $ และลด $ M $ และตัวแปรรัฐ $ S $

ฉันมีข้อสงสัยเกี่ยวกับการเขียน Jacobian Matrix ถ้าฉันไม่ได้มีตัวแปรควบคุมที่สอง $ M $ ฉันจะเขียนระบบอนุพันธ์สองมิติที่ $ \ dot {c} $ และ $ \ dot {S} $ มีตัวแปรควบคุมตัวที่สอง $ M $ ฉันไม่แน่ใจว่าฉันสามารถอธิบายพลวัตทั้งหมดของเศรษฐกิจด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สองแบบได้หรือไม่

เมื่อฉันพยายามที่จะเห็นการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรควบคุม $ M $ พร้อมกับสมการที่แตกต่าง $ (4) $ ตามเวลาที่ฉันมี

$$ \ frac {\ dot {\ แลมบ์ดา}} {\ แลมบ์ดา} + \ frac {\ eta_ {MM}} {\ eta_ {M}} \ dot {M} = 0 \ แท็ก {6} $$

ตามสมการ $ (6) $ พลวัตของการลดคาร์บอน $ M $ ถูกแทนด้วยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรราคา

ในกรณีนี้ฉันสามารถแสดงการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่อธิบายถึงเศรษฐกิจนี้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์เพียงสองแบบคือ $ \ dot {c} $ และ $ \ dot {S} $?

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับคำแนะนำและคำแนะนำ

สร้างความแตกต่าง $ (3) $ เมื่อเทียบกับเวลา

$$ u_ {cc} \ dot c = \ dot \ lambda \ หมายถึง \ frac {u_ {cc}} {u_c} \ dot c = \ frac {\ dot \ lambda} {\ lambda} $$

เราได้รับ $ 6 ($)

$$ \ dot M = - \ frac {\ eta_M} {\ eta_ {MM}} \ frac {u_ {cc}} {u_c} \ dot c $$

ดังนั้นจุดคงที่ของ $ M $ จะเกิดขึ้นภายใต้เงื่อนไขเดียวกันกับที่จุดคงที่ของ $ c $ จะ นอกจากนี้วิวัฒนาการเวลาที่เหมาะสมของ $ M $ คือค่าเชิงเส้นที่ปรับขนาดของวิวัฒนาการที่ดีที่สุดของ $ c $ ดังนั้นจึงปรากฏว่าทุกด้านถูกจับถ้าคุณ "เพิกเฉย" ตัวแปร $ M $

อย่างเป็นทางการอีกเล็กน้อยเนื่องจากตัวแปรการตัดสินใจทั้งสองของคุณขึ้นอยู่เชิงเส้นตรงหมายความว่าระบบ $ 3 \ times 3 $ Jacobian ของระบบจะเป็นเอกพจน์ ณ จุดคงที่ คุณจะได้รับ eigenvalue สองเท่าและหนึ่งอันและคุณควรจะสามารถแสดงให้เห็นว่ามีคุณสมบัติความเสถียร (หรือสิ่งที่จำเป็นสำหรับความคิดความมั่นคงที่ต้องการถือ) ในสถานการณ์เช่นนี้ เนื่องจากการมีอยู่ของรากที่สองจึงต้องใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันเล็กน้อย