การจัดสรรอย่างยุติธรรมและมีประสิทธิภาพของ“ สินค้าสำหรับครอบครัว”

8

พิจารณาการแลกเปลี่ยนทางเศรษฐกิจด้วยสินค้าสองรายการเช่นเครื่องเรือน (x) และอุปกรณ์ไฟฟ้า (y) สิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับสินค้าเหล่านี้คือเมื่อครอบครัวเป็นเจ้าของมัดสมาชิกทุกคนในครอบครัวจะเพลิดเพลินกับชุดเดียวกัน (มันเป็น "สโมสรที่ดี" แต่สำหรับครอบครัวเท่านั้น)

มีสองครอบครัว ในแต่ละตระกูลมีสมาชิกที่แตกต่างกันและมีความพึงพอใจที่แตกต่างกันมากกว่าชุดข้อมูล สมมติว่าการตั้งค่าทั้งหมดเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากและนูนอย่างเคร่งครัด

การจัดสรรคือคู่ของบันเดิล $(x_1,y_1)$ สำหรับครอบครัว 1 และ $(x_2,y_2)$ สำหรับครอบครัว 2

การจัดสรรจะเรียกว่าอิจฉาฟรีถ้า:

สมาชิกทุกคนในครอบครัว 1 เชื่อว่า $(x_1,y_1)$ เป็นอย่างน้อยก็ดี $(x_2,y_2)$ ;
สมาชิกทุกคนในครอบครัว 2 เชื่อว่า $(x_2,y_2)$ เป็นอย่างน้อยดีเท่า $(x_1,y_1)$ )

การจัดสรรถูกเรียกว่าPareto-efficientถ้าไม่มีการจัดสรรบันเดิลอื่นให้กับครอบครัวเช่นว่าสมาชิกทุกคนในครอบครัวทุกคนชอบอย่างอ่อนแอและอย่างน้อยหนึ่งสมาชิกของครอบครัวหนึ่งชอบอย่างเคร่งครัด

การจัดสรรความอิจฉาที่ไม่มีประสิทธิภาพของ Pareto มีเงื่อนไขใดบ้าง

หากแต่ละครอบครัวมีสมาชิกเพียงคนเดียวการจัดสรรความอิจฉาริษยาอย่างมีประสิทธิภาพก็ไม่เกิดขึ้น นี้เป็นที่มีชื่อเสียงทฤษฎีบทของ Varian ทฤษฎีบทนี้ได้รับการสรุปจากบุคคลสู่ครอบครัวหรือไม่?

— Erel Segal-Halevi
แหล่งที่มา

คำจำกัดความที่แข็งแกร่งมากของความอิจฉา ใครจะเดาว่าคุณจะรวมการตั้งค่าก่อนแล้วอ้างว่าไม่มีความอิจฉาตามการตั้งค่ารวม

— Giskard

@denesp แน่นอนฉันคิดเกี่ยวกับความชอบรวมเช่นใช้ฟังก์ชั่นสวัสดิการสังคม แต่การเลือกฟังก์ชั่นดังกล่าวทุกครั้งจะเป็นการสุ่มและไม่มีแรงจูงใจเพียงพอ

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi คุณต้องการให้เราสมมติว่ายูทิลิตี้ของสมาชิกแต่ละคนของแต่ละครอบครัวเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในปริมาณของ

และ

ครอบครัวของพวกเขาได้รับ? ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันมีเงื่อนไขที่ไม่น่าพอใจอย่างมากสำหรับคุณที่มีการจัดสรร Pareto ที่มีประสิทธิภาพไม่มีอิจฉา: สมมติว่าสำหรับแต่ละครอบครัวสมาชิกแต่ละคนในครอบครัวนั้นมีความชอบเหมือนกัน ... : P

x

$x$

y

$y$

— Shane

@Shane monotonicity ที่อ่อนแอดูเหมือนว่าสมมติฐานที่สมเหตุสมผล หากในแต่ละครอบครัวสมาชิกทุกคนมีความชอบเหมือนกันดังนั้นแต่ละครอบครัวก็เหมือนเป็นตัวแทนเพียงคนเดียวดังนั้นเราจึงกลับไปที่การตั้งค่ามาตรฐาน ...

— Erel Segal-Halevi

สิ่งที่เกี่ยวกับกรณีที่

และ

? ถ้าสมมุติว่าคำพูดเหลวไหลอ่อนแอแล้วนี่จะต้องเป็นพาเรโตและปราศจากความอิจฉา จากตรงนั้นเราอาจทำการเปลี่ยนแปลง epsilon เล็กน้อยบ้างไหม?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune Cavalry

2

ตอนนี้ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับความเท่าเทียมกันของ relabeling และประโยชน์ของ anwer นี้ - ดูความคิดเห็นด้านล่าง

นี่คือจุดเริ่มต้นของคำตอบและความพยายามที่จะแสดงให้เห็นถึงความแข็งแกร่งของสมมติฐานที่จำเป็นจะต้องมีการรับประกันการดำรงอยู่

$i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

$i$ $j$

u_{i} = x_{i} + ε y_{i} and u_{j} = ε x_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

นี่คือเหตุผลที่คุณต้องมีข้อสันนิษฐานบางอย่างเกี่ยวกับความคล้ายคลึงกันในครอบครัว (อย่างน้อยก็ใช้หลักฐานของ Varian) ความรู้สึกของฉันคือถ้าคุณให้ความแตกต่างเล็ก ๆ น้อย ๆ โดยพลการในการตั้งค่าระหว่างสมาชิกในครอบครัวฉันสามารถสร้างตัวอย่างรอบที่ไม่มี CEEI ที่พวกเขาเลือกการจัดสรรเดียวกัน อย่างน้อยที่สุดคุณก็ไม่สามารถใช้หลักฐานของ Varian ได้

สองคำถาม:

คุณเห็นด้วยหรือไม่ว่าการปฏิรูปปัญหาของฉันเทียบเท่ากับคุณอย่างเป็นทางการหรือไม่?
คุณสามารถคิดถึงข้อสันนิษฐานที่อ่อนแอกว่าสมมติความเป็นเนื้อเดียวกันในครอบครัวที่ฉันสามารถลองทำให้เป็นโมฆะกับตัวอย่างเคาน์เตอร์ได้หรือไม่?

ภาคผนวก:โปรดจำไว้ว่าในความสมดุลของการแข่งขันอัตราการแทนที่ของตัวแทนแต่ละราย (MRS) เท่ากับอัตราส่วนราคา ที่นี่ตัวแทนของฉันมี MRS ที่คงที่และแตกต่างกันดังนั้นจึงไม่มีความสมดุลในการแข่งขันกับอัตราส่วนราคาที่เท่ากับ MRS ของทั้งคู่ หากตัวแทนแต่ละรายมี MRS ที่แตกต่างกันไปบางทีพวกเขาอาจจะมีค่าเท่ากันในอัตราส่วนราคาสมดุล ดังนั้นบางทีคุณอาจหนีไปกับความคิดเรื่องความเหมือนกันของความชอบครอบครัว แต่คุณต้องให้มันเป็นเนื้อเดียวกันในพื้นที่ด้วยดุลยภาพการแข่งขันซึ่งเป็นสิ่งที่คุณพยายามพิสูจน์ว่ามีอยู่จริงดังนั้นมันจะเป็นวงกลมสักหน่อย

หมายเหตุสำคัญ:ดังที่ได้กล่าวไปแล้วก่อนหน้านี้ฉันสมมติว่าวิธีเดียวที่จะพิสูจน์การมีอยู่คือวิธีที่ Varian ทำผ่าน CEEI อาจมีเทคนิคการพิสูจน์อื่น ๆ ที่แก้ไขปัญหาเหล่านี้ แต่ฉันไม่สงสัย

$i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{i} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ หากสิ่งนี้ไม่เป็นจริงจะมีการปรับปรุง Pareto ความสมดุลในการแข่งขันเป็นหลักเท่ากับ MRS ผ่านอัตราส่วนราคา แต่คุณยังจำเป็นต้องถือเอา MRS เหล่านี้เพื่อหาการจัดสรร Pareto ที่มีประสิทธิภาพ ฉันคิดว่าข้อ จำกัด ของครอบครัวจะทำให้เรื่องนี้ยากมาก - มันไม่ยากที่จะเกิดขึ้นกับสภาพแวดล้อมและข้อ จำกัด เกี่ยวกับครอบครัวเช่นที่ไม่มีความสมดุลที่มีประสิทธิภาพของพาเรโต้ที่จะบรรลุข้อ จำกัด เหล่านั้น ไม่ว่าในกรณีใด ๆ นี่อาจเป็นอีกก้าวหนึ่งของคำตอบ: ลืมเรื่องความอิจฉา ก่อนอื่นให้ลองตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความชอบ (และอาจเป็นข้อ จำกัด เกี่ยวกับครอบครัว) ที่รับประกันการมีอยู่ของการจัดสรรที่มีประสิทธิภาพของพาเรโตที่ตอบสนองข้อ จำกัด ของครอบครัว จากนั้นกังวลเกี่ยวกับความอิจฉา

— เชน
แหล่งที่มา

1

u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

1

ฉันพบในเอกสารต้นฉบับของ Varian: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751พิสูจน์การมีอยู่ของการจัดสรร PEEF ซึ่งไม่พึ่งพา CEEI และใช้ได้แม้ในสถานการณ์ที่ CEEI ไม่มีอยู่ (การตั้งค่าไม่ได้ นูนอย่างเคร่งครัด) จนถึงตอนนี้ฉันยังไม่สามารถเข้าใจหลักฐานเหล่านี้ได้ แต่อาจเกี่ยวข้องกัน

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi ในตัวอย่างของคุณการจัดสรรใด ๆ ที่ตัวแทนทั้งสองได้รับปริมาณที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัดของสินค้าทั้งสองคือ Pareto ไม่มีประสิทธิภาพใช่ไหม? ฉันพยายามเข้าใจช่วงของคุณ แม้ว่าโดยทั่วไปฉันเห็นด้วยกับคุณ ฉันได้เพิ่มส่วนเพิ่มเติมในการพิสูจน์ PEEFs โดยตรง (ไม่มี CEEI) ฉันไม่คิดว่าคุณจะพอใจโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แต่มันเป็นเรื่องที่ชัดเจนสำหรับฉันในตอนนี้

— เชน

1

[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ ไม่ใช่ 2 ตอนนี้ฉันตั้งคำถามถึงความเท่าเทียมกันของการติดฉลากใหม่ ครอบครัวไม่ได้เป็นเพียงข้อ จำกัด (ในที่คนต้องแบ่งปันสินค้าเดียวกัน) พวกเขายังได้รับประโยชน์ในสินค้าที่สาธารณะ / ร่วมกันภายในครอบครัว

— เชน

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{i} (x_{u}, y_{u}) = a_{i} x_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (x_{v}, y_{v}) = b_{j} x_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

สมมติว่าเวกเตอร์บริจาคทั้งหมดของและคือomega_Y) $X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

สำหรับการใด ๆกำหนด{2} $\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

ตรวจสอบว่าถ้าแล้วและคือ Pareto การจัดสรรฟรีที่มีประสิทธิภาพและในทางกลับกันถ้า , จากนั้นและคือ Pareto ที่มีประสิทธิภาพฟรี การจัดสรร $\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Amit
แหล่งที่มา

ความหมายของข้อกำหนดคืออะไร .?

min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

— Erel Segal-Halevi

สมาชิกทุกคนในครอบครัวคุณมี MRS ที่สูงขึ้นจากนั้นสมาชิกทุกคนในครอบครัว V.

— Amit

ฉันคิดว่าสำหรับ 2 ครอบครัวและการตั้งค่าเชิงเส้นความต้องการนี้สามารถลบออกได้ ฉันต้องทำงานกับรายละเอียดเลย

— Erel Segal-Halevi

ฉันคิดว่ามันจะเป็นการยากที่จะลบข้อกำหนดนี้เพราะเราต้องการให้การจัดสรรอิจฉาฟรี เงื่อนไขอาจไม่ดูเรียบร้อยแม้ว่าจะผ่อนคลาย แต่ผลลัพธ์นี้เก็บไว้สำหรับฟังก์ชันยูทิลิตี้ระดับใหญ่ขึ้น เป็นความคิดที่ดีที่จะขยายผลลัพธ์เพื่อรวมการตั้งค่าประเภทอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น: เวอร์ชันของเวอร์ชันนั้นสามารถพิสูจน์ได้สำหรับค่ากำหนดของ Cobb Douglas

— Amit

1

สมมติว่าการตั้งค่าของตัวแทนทั้งหมดในทุกครอบครัวเป็นเสียงเดียวและนูน (สมมติฐานมาตรฐานของทฤษฎีผู้บริโภค)

จากนั้นมีการจัดสรรความอิจฉาริษยาฟรี Pareto ที่มีประสิทธิภาพเสมอเมื่อมีสองครอบครัว อย่างไรก็ตามมันอาจไม่มีอยู่เมื่อมีสามครอบครัวขึ้นไป

หลักฐานและตัวอย่างสามารถพบได้ในกระดาษทำงานนี้

— Erel Segal-Halevi
แหล่งที่มา

-2

คำแถลงปัญหาดูเหมือนจะบ่งบอกว่า X และ Y ไม่สามารถทดแทนได้ (อุปกรณ์ไฟฟ้าไม่สามารถใช้เป็นเฟอร์นิเจอร์ภายในบ้าน)

การจัดสรรความอิจฉาที่ไม่มีประสิทธิภาพ Pareto มีอยู่เมื่อ:

สำหรับตัวแทนอย่างน้อยหนึ่งคนมีสินค้าอย่างน้อยหนึ่งรายการที่มียูทิลิตี้ติดลบหรือเติมเต็มและตัวแทนสามารถเลือกที่จะไม่ใช้

ตัวอย่าง:

เอเจนต์ A และ B อยู่ในตระกูล F1
ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ของตัวแทนคือ:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

ฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ของตัวแทน B คือ:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

ตัวแทน C และ D อยู่ในครอบครัว 2
Agent C มีฟังก์ชั่นยูทิลิตี้:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

Agent D มีฟังก์ชันยูทิลิตี้:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

สารละลาย:

ชอบ F1 (X1, Y1) และตัวแทน A จะเลือกที่จะไม่บริโภคอะไรที่ดี

F2 ชอบ (X2, Y2) และตัวแทน C เลือกที่จะไม่บริโภคอะไรที่ดี

สิ่งเหล่านี้เป็นข้อโต้แย้งเชิงความหมายจริงๆและไม่มีความสมดุลที่มีความหมายโดยไม่มีการสันนิษฐาน

— DJ Sims
แหล่งที่มา

คุณอาจทำให้งบของคุณแม่นยำยิ่งขึ้น? ตัวอย่างเช่น "การเติมเต็มเชิงลบ" คืออะไร และโปรดเสนอข้อโต้แย้งฮิวริสติกอย่างน้อยที่สุดที่สนับสนุนข้อเรียกร้องหากไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างเต็มที่เพื่อให้เราสามารถเข้าใจเหตุผลของคุณ

— เชน

ดูจากฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ของคุณเช่น Agent A และ B ใส่ใจกับการบริโภคของครอบครัวอื่นหรือไม่? และฉันไม่ได้ทำตามแนวคิด "เลือกที่จะไม่บริโภค" คุณกำลังสมมติว่าเป็นสมาชิกของครอบครัว 1 สามารถเลือกที่จะกินได้ทุกที่ใน ?

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

— เชน

แก้ไขคำตอบ คุณแก้ไขในจุดที่สอง หากเอเจนต์จำเป็นต้องใช้ดังนั้นอาร์กิวเมนต์จะไม่มีผล

— DJ Sims