คุณเห็นภาพความถี่เชิงลบในโดเมนเวลาได้อย่างไร

ในด้านการประมวลผลสัญญาณดิจิตอลฉันได้เห็นคนใช้คำพูด

สัญญาณที่ซับซ้อนและความถี่เชิงลบ สำหรับเช่น ใน FFT Spectrum

มันมีความหมายที่สำคัญจริงๆในโดเมนเวลาหรือเป็นเพียงส่วนหนึ่งของสมมาตรทางคณิตศาสตร์

คุณเห็นภาพความถี่เชิงลบในโดเมนเวลาได้อย่างไร

FFT ทำงานโดยการรักษาสัญญาณเป็น 2 มิติด้วยส่วนจริงและจินตภาพ จำวงกลมหน่วยได้หรือไม่ ความถี่เชิงบวกคือเมื่อเฟสเซอร์หมุนทวนเข็มนาฬิกาและความถี่เชิงลบคือเมื่อเฟสเซอร์หมุนตามเข็มนาฬิกา

หากคุณทิ้งส่วนจินตภาพของสัญญาณความแตกต่างระหว่างความถี่บวกและลบจะหายไป

ตัวอย่าง ( แหล่งที่มา ):

ถ้าคุณจะพล็อตส่วนจินตภาพของสัญญาณคุณจะได้ไซนัสอีกอันหนึ่งเฟสจะเปลี่ยนไปตามส่วนที่แท้จริง สังเกตว่าถ้าเฟสเซอร์หมุนไปทางอื่นสัญญาณด้านบนจะเหมือนกันทุกประการ แต่ความสัมพันธ์เฟสของส่วนจินตภาพกับส่วนจริงจะแตกต่างกัน โดยการทิ้งส่วนจินตภาพของสัญญาณคุณไม่มีทางรู้ว่าความถี่นั้นเป็นบวกหรือลบ

ในโดเมนเวลาความถี่เชิงลบจะถูกแสดงด้วยการกลับเฟส

สำหรับคลื่นโคไซน์มันไม่ได้สร้างความแตกต่างเลยเพราะมันสมมาตรประมาณศูนย์เวลาอยู่แล้ว มันเริ่มต้นที่ 1 และลดลงถึงศูนย์ในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง

$$cos(t) = cos(-t)$$

อย่างไรก็ตามคลื่นไซน์เริ่มต้นด้วยค่าศูนย์ที่เวลาศูนย์และเพิ่มขึ้นในทิศทางที่เป็นบวก แต่อยู่ในทิศทางลบ

$$sin(t) = -sin(-t)$$

นี่เป็นวิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อย เรามาดูว่าฟังก์ชันธาตุมีการแปลงฟูริเยร์ตรงกับความถี่อย่างไร 1$-1$

มันคือฟังก์ชันสำหรับt ∈ [ 0 $t \mapsto e^{-2\pi \mathrm{i} t} = \cos(-2\pi t) + \mathrm{i}\sin(-2\pi t) = \cos(2\pi t) - \mathrm{i}\sin(2\pi t)$ ]$t \in [0,1]$

ขอให้สังเกตว่าฟังก์ชั่นนี้มีส่วนจริงเช่นเดียวกับฟังก์ชั่น ที ฟังก์ชั่นนี้หลังมีเพียงองค์ประกอบความถี่เดียว - ความถี่1$t \mapsto e^{2\pi \mathrm{i}t}$$1$

เหตุผลที่ความถี่เชิงลบเหล่านี้ปรากฏขึ้นเมื่อพิจารณาเฉพาะสัญญาณจริงเท่านั้นเพราะพวกเขาให้วิธีที่ง่ายกว่าในการอธิบายค่าลักษณะเฉพาะที่ซับซ้อนอย่างเข้มงวดของการกระทำของหน่วยวงกลมในพื้นที่ฟังก์ชั่น

แก้ไข: หากต้องการขยายความคิดเห็นล่าสุดเพื่อทำการวิเคราะห์ความถี่สิ่งที่เราต้องการทำจริง ๆ ก็คือการใช้พื้นที่ของฟังก์ชันที่มีค่าจริงใน , F ( [ 0 , 1 ] , R )และสามารถ แสดงฟังก์ชั่นใด ๆฉ∈ F ( [ 0 , 1 ] , 0ที่จะ1หรือ1 / 2ที่จะ3 /$[0,1]$$F([0,1], \mathbb{R})$ในแง่ของพื้นฐานทางธรรมชาติของ F ( [ 0 , 1 ] , R$f \in F([0,1], \mathbb{R})$$F([0,1], \mathbb{R})$. เราเห็นว่ามันไม่ได้จริงๆว่าถ้าเราเริ่มต้นช่วงเวลาของเราคือเพื่อให้เราจริงๆจะปรารถนาให้ประพฤติพื้นฐานนี้กันด้วยความเคารพต่อผู้ประกอบการกะF ( x ) ↦ ฉ( a + x )$0$$1$$1/2$$3/2$$f(x) \mapsto f(a+x)$ )

ปัญหาคือด้วยคำคุณศัพท์ที่เหมาะสมไม่ใช่ผลรวมโดยตรงของฟังก์ชั่นที่ทำงานได้ดีเมื่อเทียบกับการขยับ มันคือผลรวมโดยตรง (เสร็จสมบูรณ์) ของช่องว่างเวกเตอร์สองมิติซึ่งทำงานได้ดีกับผู้ควบคุมการเลื่อน นี่เป็นเพราะเมทริกซ์แทนแผนที่f ( x ) ↦ f ( a + x )มีค่าลักษณะเฉพาะที่ซับซ้อน เมทริกซ์เหล่านี้จะเป็นแนวทแยง (ตามความเหมาะสม) หากเราทำให้สถานการณ์ซับซ้อนขึ้น นั่นคือเหตุผลที่เราศึกษาF ( [ 0 , 1 $F([0,1], \mathbb{R})$$f(x) \mapsto f(a+x)$แทน การแนะนำจำนวนเชิงซ้อนนั้นมีบทลงโทษ - เราได้แนวคิดเกี่ยวกับความถี่ลบ$F([0,1], \mathbb{C})$

ทั้งหมดนี้เป็นนามธรรมเล็กน้อย แต่เมื่อต้องการดูสิ่งที่ฉันกำลังพูดถึงพิจารณาฟังก์ชั่นโปรดสองอย่างของฉัน: sin(2πt)=

$$\cos(2\pi t) = \frac{1}{2}(e^{2\pi \mathrm{i} t} + e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$ $$\sin(2\pi t) = \frac{1}{2 \mathrm{i}}(e^{2\pi \mathrm{i} t} - e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงโดย ,s(f(x))=f(x+$\frac{1}{4}$ ) s(cos(2πT))=-บาป(2πT)s(บาป(2πT))=cos(2πT) ช่วงปริภูมิเวกเตอร์ที่แท้จริงของcos(2πT)และบาป(2πt)เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติของฟังก์ชันซึ่งถูกสงวนไว้โดย$s(f(x)) = f(x+\frac{1}{4})$

$$s(\cos(2\pi t)) = -\sin(2 \pi t)$$ $$s(\sin(2\pi t)) = \cos(2 \pi t)$$
$\cos(2 \pi t)$$\sin(2 \pi t)$$s$ )เราจะเห็นว่า$s^2 = -1$ดังนั้นจึงมีค่าลักษณะเฉพาะ$s$$\pm \mathrm{i}$

$s$$e^{2\pi \mathrm{i} t}$$e^{-2 \pi \mathrm{i}t}$

$s$$e^{-2 \pi \mathrm{i} t}$

$\omega_0$

$$x(t)=\sin(\omega_0t)$$

$\omega=\omega_0$และหนึ่งที่ความถี่ลบ$\omega=-\omega_0$.

โดยการมอดูเลตสัญญาณ $x(t)$ โดยทั่วไปแล้วคุณเปลี่ยนคลื่นความถี่เดิมตามความถี่ของผู้ให้บริการ $\omega_c>\omega_0$:

$$y(t)=x(t)\cos(\omega_ct)=\sin(\omega_0t)\cos(\omega_ct)=\frac{1}{2}[\sin(\omega_c+\omega_0)t-\sin(\omega_c-\omega_0)t]$$

Now the original negative peak at $-\omega_0$ has become visible after shifting it up by $\omega_c$. It is now at $\omega=\omega_c-\omega_0$. The peak at positive frequencies is not at $\omega=\omega_c+\omega_0$.

"How do you visualize negative Frequency in Time domain ?"

I interprete this question as follows: Do negative frequencies exist in reality?

If this interpretation is correct (and meets the core of the question) my answer is simply: NO - they do not exist.

More than that (to be a bit "sophistic") - "frequencies" cannot exist because they are not a physical quantity. Instead, we have sinusoidal waves with some specific properties - and on of these properties is the number of periods per second. And that`s what we call "frequency". And this number cannot be negative.

Hence, the introduction of signals having "negative frequencies" may have a lot of advantages but it is a pure abstract and theoretical "tool" allowing simplifications of mathematical expressions/descriptions.