ทำไมต้องใช้จำนวนเชิงซ้อนเพื่อแสดงแอมพลิจูดและเฟสของ AC

ทำไมในวงจร AC คลื่นไซน์จึงแสดงเป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบขั้ว ฉันไม่เข้าใจในเชิงตรรกะจากมุมมองทางกายภาพว่าทำไมจึงมีส่วนจินตภาพ มันเป็นเรื่องของมุมมองทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริงหรือเปล่าที่จะทำให้การวิเคราะห์วงจรง่ายขึ้น?

อ้างอิง: "มันเป็นเรื่องของมุมมองทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริงหรือไม่ที่จะทำให้การวิเคราะห์วงจรง่ายขึ้น"

ฉันไม่แน่ใจว่าคำถามนี้มีคำตอบเพียงพอหรือไม่ ดังนั้น: ใช่ - การใช้คณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนเพื่ออธิบายสัญญาณไซน์นั้นไม่มีความเกี่ยวข้องทางกายภาพโดยตรง เป็นเพียงการ "ทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้น"

เป็นตัวอย่าง: แนะนำสูตรที่โด่งดังของออยเลอร์สำหรับสัญญาณไซนัสในซีรีย์ฟูริเยร์นำไปสู่ความถี่ลบ (สมมาตรถึงความถี่บวก) ดังนั้นคำถามที่เกิดขึ้น: ความถี่เชิงลบมีอยู่จริงหรือไม่? คำตอบคือไม่! มันเป็นเพียงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์

จริงๆแล้วแรงจูงใจนั้นค่อนข้างง่าย

เมื่อคุณมีวงจรเชิงเส้นและคุณกระตุ้นมันด้วยความถี่เพียงหนึ่งเดียวไม่ว่าคุณจะมองที่ใดคุณจะพบว่าความถี่เดียวกันนั้นมากเพียงแอมพลิจูดและเฟสของคลื่นที่คุณวัดการเปลี่ยนแปลง

ถ้าคุณติดตามความกว้างและเฟสของแรงดันไฟฟ้าและ / หรือกระแสรอบ ๆ วงจรมันจะเกินพอ แต่คุณจะทำเช่นนั้นได้อย่างไร ไม่มีเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่อนุญาตให้คุณติดตามแอมพลิจูดและเฟสหรือไม่ ใช่คุณได้รับแล้ว: เวกเตอร์ เวกเตอร์มีแอมพลิจูดนั่นคือความยาวและเฟสนั่นคือมุมที่มันสร้างขึ้นด้วยแกน x ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

ทีนี้คุณสามารถคัดค้านเวกเตอร์โอเคเจ๋ง ๆ แต่ไม่มีอะไรเจ๋ง ๆ ? แล้วทำไมเราต้องใช้หน่วยจินตภาพ

คำตอบของคำถามที่สองนั้นง่าย: การคำนวณด้วยเวกเตอร์นั้นค่อนข้างเจ็บปวดและความเจ็บปวดคือ:

$$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$$

และนอกจากนั้นเพียงอย่างเดียว! ดีว่าเป็นเพียงปัญหาโน้ตถ้าเราเลือกฐานของอีกสิ่งที่อาจจะดีกว่า ... และฐานนี้เกิดขึ้นจะมีอยู่ แต่ต้องมีหน่วยจินตภาพเจ ความยุ่งเหยิงก่อนหน้านี้กลายเป็น: 2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j ง่ายขึ้นใช่ไหม?$\mathbb{R}^2$$j$

$$2+3j+1+7j=3+10j$$

ตกลง แต่เวกเตอร์จินตภาพมีอะไรเหมือนกันกับแรงดันไฟฟ้า ลองนึกภาพระนาบเกาส์แกน x คือแกนจริงแกน y คืออันจินตภาพ

เวกเตอร์สามารถแทนค่าได้โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดความยาวเท่ากับค่าของแรงดันมุมเริ่มต้นของมันจะเท่ากับเฟส ตอนนี้เคล็ดลับมายากล: เริ่มหมุนเวกเตอร์เพื่อให้ความเร็วเชิงมุมสอดคล้องกับความถี่ที่ต้องการ:$\omega$

ปัง นั่นคือสิ่งที่เราเรียกว่าเฟสเซอร์และเจ้าตัวน้อยนั้นเป็นอาวุธที่แข็งแกร่งที่สุดที่คุณมีต่อวงจรที่ยากลำบาก

$$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$$ ผลที่ได้คือเดียวกัน นี้ไม่ได้เป็นความมหัศจรรย์ของแน่นอนมันขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์ cosinusoids และชี้แจงซับซ้อน แค่เชื่อฉันหรือเชื่อในภาพสวย ๆ :

และสิ่งที่ดีที่สุดคือ การวิเคราะห์วงจรจริงทั้งหมดที่คุณศึกษามาจนถึงตอนนี้ยังคงทำงานกับเฟสเซอร์และอิมพีแดนซ์ที่ซับซ้อน นั่นคือ: กฎของโอห์มมีทั้งเฟสเซอร์และอิมพีแดนซ์ที่ซับซ้อนและยอดเยี่ยมมากเนื่องจากเรามีเครื่องมือมากมายในการแก้ปัญหาวงจรที่สร้างขึ้นตามกฎของโอห์มและ Kirchhoff และเรายังคงสามารถใช้มันได้

ด้วย phasors ที่รับอนุพันธ์ / การรวมเข้าด้วยกันก็ง่ายสุด ๆ ดังที่คุณทราบเนื่องจากเรากำลังพูดถึง sines และ cosines ทั้งหมดที่ความถี่เดียวกันมันเป็นเพียงเรื่องของการเปลี่ยนเฟสและ - เซอร์ไพร์ส - ชัดเจนมากถ้าคุณใช้ การแทนเลขชี้กำลังเชิงซ้อน

TL; DR: ไซนัสด์ถูกแทนด้วยการหมุนเวกเตอร์บนระนาบขั้วโลก, มันค่อนข้างคล้ายกับเวลาหยุดในขณะที่พวกมันหมุนและถ่ายรูป, เช่นคำนวณเฟสและแอมพลิจูดของความสัมพันธ์ เพียงตรวจสอบหน้าเฟสเซอร์บนวิกิพีเดีย และตรวจสอบนี้คำตอบมากขึ้นกระชับอื่น ๆ ด้วย

สิ่งสำคัญที่ควรทราบก็คือสัญญาณใด ๆ เป็นระยะ ๆ (ที่มีข้อ จำกัด การวิเคราะห์ขั้นพื้นฐานบางอย่างที่ใช้ในทางปฏิบัติหรือนำไปใช้กับการศึกษาระดับปริญญาโดยพลการถ้าไม่แน่นอน) สามารถแสดงเป็นผลรวมของสัญญาณไซน์และโคไซน์ ช่วงเวลาของสัญญาณ

ตอนนี้เมื่อคุณออกจากการตอบสนองโดยตรง (เช่นตัวต้านทาน) พลังงานสามารถจัดเก็บและเรียกคืนได้ คอยล์เก็บพลังงานแม่เหล็ก (ใช้แรงดันไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าเริ่มต้นเพียงทยอย แต่ยังคงดำเนินต่อไปเมื่อแรงดันไฟฟ้าหยุดลง) ตัวเก็บประจุเก็บพลังงานไฟฟ้า (ใช้กระแสไฟฟ้าและแรงดันไฟฟ้าเริ่มเพียงค่อยๆ แต่ยังคงดำเนินต่อไปเมื่อกระแสไฟฟ้าแตกสลาย) สปริงค่อยๆแปลงแรงกระตุ้นให้มีผลบังคับใช้และอื่น ๆ

พลังงานหลายรูปแบบนั้นโดยทั่วไปแล้วเป็นจตุรัสของมาตรการกระตุ้นบางอย่าง ตอนนี้ปรากฎว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์เดียวกันคือ 1 ค่าคงที่ ดังนั้นคุณอธิบายการแปลงพลังงานเป็นระยะโดยใช้ไซน์และโคไซน์เป็นอย่างดี

ปรากฎว่าพีชคณิตที่ใช้ไซน์และโคไซน์นั้นผอมบาง หากคุณเพิ่มคำในจินตนาการที่แสดงถึงรูปแบบพลังงานของสัญญาณตามช่วงเวลาที่คุณไม่สนใจและทิ้งส่วนจินตภาพที่เหลืออยู่หลังจากคุณเสร็จสิ้นการจัดการพีชคณิตกลายเป็นเรื่องตรงไปตรงมามากขึ้นในราคาของตัวแปรจริงที่ซับซ้อน .

$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$$L$

$$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$$

$j\omega L$$v(t)$$v_o = Ve^{j\phi}$$i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$$i(t)$$i_o$$e^{j\omega t}$

ฉันคิดว่าเรายอมรับว่าพวกเขาเป็นข้อมูลสองชิ้นเพื่อแสดงสัญญาณ AC ในทันทีแอมพลิจูดและเฟสในขณะที่แอมพลิจูดสำหรับ DC เท่านั้น

ไม่เพียง แต่การวิเคราะห์ที่เราต้องการจัดการข้อมูล แต่ยังออกแบบวงจร ส่วนประกอบมีอิมพีแดนซ์และมีผลกับสัญญาณ AC ดังนั้นเมื่อเราออกแบบเราต้องสามารถคำนวณอิมพีแดนซ์เพื่อออกแบบวงจรที่มีคุณสมบัติ AC เฉพาะ

หมายเลขคอมเพล็กซ์มีความสะดวกในการนำเสนอและคำนวณทั้งสัญญาณ AC และอิมพิแดนซ์ สองมิติความยาวและมุมทำให้เราสามารถคำนวณแอมพลิจูดและเฟสเข้าด้วยกันและทำให้มันสอดคล้องกัน