ฟังก์ชั่นของ Fourier Series คืออะไร?

ชุดฟูริเยร์คืออะไร ใช้ทำอะไร?

ซีรี่ส์ฟูริเยร์:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

เทอมคือค่าคงที่นั่นคือระดับ DC มันอาจถูกเขียนขึ้นโดยไม่ต้องหารด้วยสอง แต่นี่คือการประชุม เงื่อนไขของผลรวมอนันต์คือผลรวมของไซน์ถ่วงน้ำหนักและโคไซน์ถ่วงน้ำหนักที่มีความถี่เท่ากัน หากคุณวาดสิ่งเหล่านี้เป็นเฟสเซอร์ในระนาบ Argand ที่ซับซ้อนคุณจะเห็นว่าผลลัพธ์นั้นเป็นไซน์อีกครั้ง แต่ด้วยแอมพลิจูดที่แตกต่างกันและเฟสเปลี่ยน ดังนั้นสมการจึงสามารถเขียนเป็น $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

ดังนั้นเราจึงมีผลรวมของไซน์ความถี่หลายความถี่ทั้งหมดของความถี่พื้นฐานแต่ละอันมีแอมพลิจูดและเฟสของตัวเอง $\omega_0$

ฟูริเยร์พิสูจน์ว่าคุณสามารถอธิบายทุกฟังก์ชั่นซ้ำ ๆ ด้วยวิธีนี้ บางครั้งซีรีย์นั้นไม่มีที่สิ้นสุดบางครั้งก็มีจำนวนเทอม จำกัด บางครั้งคำศัพท์หายไปซึ่งหมายความว่าแอมพลิจูดของพวกเขาเป็นศูนย์

หนึ่งในซีรีย์ฟูริเยร์ที่รู้จักกันดีคือคลื่นสี่เหลี่ยม

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

หรือขยาย:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

ดังนั้นนี่คือซีรี่ย์ที่มีคำศัพท์ขาดหายไป: คลื่นสี่เหลี่ยมไม่มีฮาร์มอนิกแม้แต่ตัวเดียว ภาพต่อไปนี้แสดงลักษณะที่ปรากฏในโดเมนเวลา:

รูปวาดบนสุดแสดงผลรวมของคำสองคำแรกจากนั้นจึงเพิ่มคำที่สามและที่ด้านล่างคำที่สี่ แต่ละคำศัพท์ที่เพิ่มเข้ามาจะทำให้รูปคลื่นใกล้กับรูปสี่เหลี่ยมและคุณจะต้อง จำกัด ซีรีย์นี้ไปจนถึงระยะอนันต์เพื่อให้ได้รูปคลื่นที่สมบูรณ์แบบ

บางครั้งมันยากที่จะเห็นไซน์พื้นฐานในนั้น ยกตัวอย่างเช่นผลรวมของ 3Hz sine และ 4Hz sine รูปแบบของคลื่นที่เกิดขึ้นจะทำซ้ำทุกๆ 1 วินาทีนั่นคือ 1Hz 1Hz เป็นพื้นฐานแม้ว่าแอมพลิจูดของมันจะเป็นศูนย์ ชุดสามารถเขียนเป็น

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

คำศัพท์ต่อไปนี้ทั้งหมดยังไม่มีแอมพลิจูด

สัญญาณอะนาล็อกที่เข้าใจได้ทุกตัวทุกสิ่งที่คุณสามารถนึกถึงหรือวาดบนกราฟแรงดันไฟฟ้าเทียบกับเวลาได้อย่างถูกต้องสามารถแสดงเป็นคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่าเป็นผลรวมของจำนวนคลื่นไซน์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของความถี่ที่แตกต่างกัน

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

สัญญาณที่แตกต่างกันมีการสร้างโดยการเปลี่ยนค่าของA, B, Cฯลฯ และf1, f2และอื่น ๆ

เมื่อมีคนอ้างถึงอนุกรมฟูริเยร์พวกเขาอ้างถึงการแสดงรูปคลื่นเป็นชุดของการดำเนินการเพิ่มเติมดังกล่าว

สัญญาณอะนาล็อกทุกความเป็นจริงมีเนื้อหาบางส่วนในทุกความถี่แม้ว่าแอมพลิจูดจะเป็น. 1e-67 แต่ก็ยังอยู่ที่นั่น โดยหลักการแล้วมันไม่ได้เป็นเช่นนั้น - ถ้าฉันสร้างคลื่นสี่เหลี่ยมบริสุทธิ์แล้วฉันก็รู้ด้วยความจริงว่ามันประกอบด้วยเฉพาะความถี่ที่มีค่าเป็นทวีคูณของช่วงเวลานั้น ดังนั้นคลื่นสี่เหลี่ยม 1Hz คือผลรวมของคลื่นไซน์ 1 เฮิร์ตบวกกับคลื่นไซน์ 3 เฮิร์ตและอื่น ๆ ตามลำดับ สำหรับรูปคลื่นที่รู้จักกันดีอื่น ๆ เช่นคลื่นสามเหลี่ยมและทางลาดคนได้ทำการคำนวณว่ามีความถี่ใดบ้างและมีเนื้อหาใดบ้าง

ซีรี่ส์ฟูริเยร์เป็นวิธีการแสดงรูปคลื่นเป็นระยะเนื่องจากผลรวมของรูปคลื่นซายน์แบบฮาร์โมนิก

นอกจากนี้ยังใช้เพื่อแสดงสัญญาณในช่วงเวลาที่ จำกัด (กะทัดรัด) เป็นผลรวมของรูปคลื่นไซน์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

เป็นหลักโดยการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณในโดเมนเวลา (นั่นคือสัญญาณที่แสดงเป็นฟังก์ชันของเวลา) และสัญญาณที่เทียบเท่าในโดเมนความถี่ (นั่นคือสัญญาณที่แสดงเป็นฟังก์ชั่นของความถี่), ฟูริเยร์ ซีรีย์ช่วยให้การวิเคราะห์สัญญาณและระบบฮาร์มอนิกส์ซึ่งเป็นพื้นฐานของทฤษฎีการส่งสัญญาณวิทยุทฤษฎีการเข้ารหัสทฤษฎีการควบคุมทฤษฎีควอนตัมและสาขาวิศวกรรมที่มีประโยชน์อื่น ๆ อีกมากมาย

ในขณะที่การแสดงออกของอนุกรมฟูริเยร์ของสัญญาณดูเหมือนจะซับซ้อนกว่าในตอนแรกที่เกี่ยวข้องกับการแสดงออกที่ซับซ้อนและ 'ผลรวมอนันต์' เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์พวกเขาช่วยให้วิศวกรในการแก้ปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้

พูดง่ายๆคือบางครั้งมันมีประโยชน์ในการแสดงความแปรปรวนในอวกาศและ / หรือเวลาในรูปแบบของความถี่และเฟส โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ แต่แม้ว่าการเปลี่ยนแปลงจะไม่เป็นระยะ ๆ หากการเปลี่ยนแปลงนั้นถูก จำกัด อยู่ที่ช่วงเวลาในอวกาศและ / หรือเวลามันจะถูก จำกัด ด้วยช่วงเวลาที่สอดคล้องกัน (แบนด์วิดท์) ในความถี่

การประยุกต์ใช้ Fourier Series เป็นเครื่องมือในการทำความเข้าใจช่องสัญญาณแบนด์วิดธ์สำหรับระบบสื่อสารพัฒนาอัลกอริธึมการบีบอัดภาพและปรับปรุงความน่าเชื่อถือของระบบจำหน่ายไฟฟ้า

ในการเพิ่มความสามารถในการปฏิบัติจริงให้กับความคิดเห็นข้างต้นอนุกรมเวลาโดเมนฟูริเยร์สามารถแบ่งออกเป็นส่วนประกอบความถี่โดเมนผ่านอัลกอริทึมเช่น FFT (การแปลงฟูริเยร์เร็ว) และ DFT (การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง) ผลการปฏิบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของความสามารถในการใช้อัลกอริธึมคือในการวิจัยและพัฒนาและการทดสอบในห้องปฏิบัติการเรามักต้องการวัดความบริสุทธิ์ของสัญญาณกับพื้นเสียง (เช่น SNR หรือ Spurious Free Dynamic Range) เพื่อดูว่าบริสุทธิ์หรือบ่อยเพียงใด ไม่บิดเบือนเนื้อหาสัญญาณของเราคือ หากเรามีเอาท์พุทโดเมนเวลา (เช่นตัวแปลง DA จะประมวลผล) เราไม่สามารถตรวจสอบค่าเหล่านี้ได้โดยเพียงแค่ดูการตอบสนองของโดเมนเวลาบ่อยครั้งในด้านการจำลองเราจะใช้โมดูล DFT เพื่อแปลง โดเมนเวลาส่งสัญญาณไปยังโดเมนสเปกตรัม (ความถี่) ในแล็บบนออสซิลโลสโคป เราจำเป็นต้องมีเครื่องมือบางอย่างที่สามารถดูคุณสมบัติสเปกตรัม (โดยทั่วไปเราใช้วิเคราะห์สเปกตรัม) หัวใจของเครื่องมือเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์ฟูริเยร์และวิธีการสลายตัวของสเปกตรัม ดังนั้นคุณจึงมีเหตุผลเชิงปฏิบัติว่าทำไมการวิเคราะห์ฟูริเยร์จึงมีความสำคัญใน EE