การตอบสนองความถี่ที่คมชัดที่สุดสำหรับตัวกรอง low-pass ที่ไม่ใช่สาเหตุซึ่งการตอบสนองแบบขั้นตอนไม่เกินขนาดคืออะไร

Butterworth, Bessel, Chebychev และ sinc low-pass filters ถูกใช้ในหลาย ๆ กรณีที่มีการแลกเปลี่ยนที่แตกต่างกันระหว่างการตอบสนองความถี่ที่ลดลงอย่างสม่ำเสมอสม่ำเสมอการตอบสนองแบบเฟสการตัดที่ชันหรือการตอบสนอง "กำแพงอิฐ" ฉันเชื่อว่าตัวกรองดังกล่าวทั้งหมดในบางกรณีสามารถมีส่วนเกินในการตอบสนองขั้นตอนของพวกเขาซึ่งหมายความว่าการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของพวกเขาอยู่ในบางสถานที่เชิงลบ

อะไรจะเป็นการตอบสนองความถี่ที่ดีที่สุดหรือชนิดของการตอบสนองความถี่ที่มีอยู่ในตัวกรองที่มีข้อ จำกัด เพียงอย่างเดียวคือการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นไม่สามารถลบได้ทุกที่? แน่นอนว่าเป็นไปได้ที่จะมีการ จำกัด ตัวกรอง low-pass ซึ่งเป็นข้อ จำกัด เนื่องจากตัวกรอง RC พื้นฐานจะทำเช่นนั้น (แม้ว่าการตอบสนองของตัวกรองดังกล่าวจะค่อนข้างหยาบ) การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่เหมาะสมที่สุดจะเป็นเส้นโค้งการแจกแจงแบบปกติหรืออย่างอื่นหรือไม่?

ฉันจะไปที่รายการของ "ตัวกรองที่ไม่ทำเลย" ฉันหวังว่าคุณจะพบคำตอบบางส่วนดีกว่าไม่มีคำตอบเลย หวังว่าคนที่กำลังมองหา "ตัวกรองที่ไม่ทำเลย" จะพบว่ารายการตัวกรองดังกล่าวมีประโยชน์ บางทีหนึ่งในตัวกรองเหล่านี้จะทำงานอย่างเพียงพอในแอปพลิเคชันของคุณแม้ว่าเรายังไม่พบตัวกรองที่เหมาะสมที่สุดในเชิงคณิตศาสตร์

ลำดับตัวกรองสาเหตุ LTI อันดับที่หนึ่งและสอง

การตอบสนองขั้นตอนของตัวกรองคำสั่งแรก ("ตัวกรอง RC") ไม่เคยมีค่าเกินจริง

การตอบสนองขั้นตอนของตัวกรองลำดับที่สอง ("biquad") สามารถออกแบบได้โดยที่ไม่เคยมีค่าเกินราคา มีวิธีที่เทียบเท่ากันหลายวิธีในการอธิบายตัวกรองลำดับที่สองนี้ซึ่งไม่เกินระดับขั้นตอนในการป้อนข้อมูล:

• มันเป็นช่วงวิกฤตหรือเกินกำหนด
• มันไม่ได้ underdamped
• อัตราส่วนการทำให้หมาด ๆ (ซีต้า) คือ 1 หรือมากกว่า
• ปัจจัยด้านคุณภาพ (Q) คือ 1/2 หรือน้อยกว่า
• พารามิเตอร์อัตราการสลายตัว (อัลฟา) เป็นอย่างน้อยความถี่เชิงมุมธรรมชาติที่ยังไม่ได้ปันส่วน (omega_0) หรือมากกว่า

โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสามัคคีได้รับโทโพโลยี Sallen – Key ที่มีตัวเก็บประจุที่เท่ากันและตัวต้านทานที่เท่ากันนั้นได้รับการลดลงอย่างยิ่ง: Q = 1/2 และดังนั้นจึงไม่เกินขนาดของอินพุตขั้นตอน

ตัวกรอง Bessel ลำดับที่สองนั้นมีการ underdamped เล็กน้อย: Q = 1 / sqrt (3) ดังนั้นจึงมีการใช้งานเกินจริงเล็กน้อย

ตัวกรองลำดับที่สองของ Butterworth นั้นด้อยกว่า: Q = 1 / sqrt (2) ดังนั้นจึงมีการโอเวอร์โหลดมากขึ้น

จากตัวกรอง LTI ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เป็นสาเหตุและไม่ทำเกินขนาดตัวกรองที่มีการตอบสนองความถี่ "ดีที่สุด" (สูงที่สุด) คือตัวกรองลำดับที่สองที่ "วิกฤต"

ลำดับตัวกรองสาเหตุ LTI ที่สูงกว่า

ตัวกรองสาเหตุอันดับสูงที่ใช้กันมากที่สุดที่มีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่ไม่เคยเป็นลบ (และดังนั้นจึงไม่เคยเลยในขั้นตอนการป้อนข้อมูล) คือ "ตัวกรองเฉลี่ยที่รันอยู่" หรือที่เรียกว่า "ตัวกรองแบบ boxcar" หรือ " ตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ "

บางคนต้องการเรียกใช้ข้อมูลผ่านตัวกรอง boxcar หนึ่งและผลลัพธ์จากตัวกรองนั้นไปยังตัวกรอง boxcar อื่น หลังจากตัวกรองดังกล่าวไม่กี่ผลที่ได้คือการประมาณที่ดีของตัวกรอง Gaussian (ยิ่งตัวกรองคุณเรียงซ้อนยิ่งผลลัพธ์สุดท้ายใกล้เคียงกับแบบเกาส์มากขึ้นไม่ว่าคุณจะเริ่มต้นด้วยตัวกรองแบบใด - boxcar, สามเหลี่ยม, RC ลำดับที่หนึ่งหรืออย่างอื่น - เนื่องจากทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง)

เกือบทุกฟังก์ชั่นหน้าต่างมีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นที่ไม่เคยเป็นลบและดังนั้นในหลักการสามารถใช้เป็นตัวกรอง FIR ที่ไม่เคยเกินระยะเวลาในการป้อนข้อมูลขั้นตอน โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันได้ยินสิ่งดีๆเกี่ยวกับหน้าต่าง Lanczosซึ่งเป็นกลีบกลาง (บวก) ของฟังก์ชัน sinc () (และศูนย์นอกกลีบนั้น) ตัวกรองการปรับรูปร่างแบบพัลส์บางตัวมีการตอบสนองแบบอิมพัลส์ที่ไม่เคยเป็นค่าลบและสามารถใช้เป็นตัวกรองที่ไม่เคยโอเวอร์โหลดในอินพุตขั้นตอน

ฉันไม่รู้ว่าตัวกรองใดดีที่สุดสำหรับแอปพลิเคชันของคุณและฉันสงสัยว่าตัวกรองที่เหมาะสมที่สุดในเชิงคณิตศาสตร์อาจจะดีกว่าตัวกรองใด ๆ เล็กน้อย

ตัวกรองเชิงสาเหตุเชิงเส้น

กรองแบ่งเป็นตัวกรองที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่นิยมที่ไม่เคย overshoots ในการป้อนข้อมูลขั้นตอนการทำงาน

แก้ไข: ตัวกรองไม่ใช่ LTI

ฟังก์ชั่น sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) เป็นการแปลงฟูริเยร์ของตัวเองและฉันคิดว่าสามารถใช้เป็นตัวกรอง LTI แบบ low-pass ที่ไม่ได้เป็นสาเหตุ ขั้นตอนการป้อนข้อมูล

ตัวกรอง LTI ที่ไม่ใช่สาเหตุที่มีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น (sinc (t / k)) ^ 2 มีการตอบสนองความถี่ "abs (k) * สามเหลี่ยม (k * w)" เมื่อป้อนข้อมูลแบบเป็นขั้นตอนจะมีระลอกคลื่นในโดเมนจำนวนมาก แต่ไม่เคยเกินกว่าจุดตัดสินขั้นสุดท้าย เหนือมุมความถี่สูงของสามเหลี่ยมนั้นมันให้การหยุดย่านความถี่ที่สมบูรณ์แบบ (การลดทอนแบบไม่มีที่สิ้นสุด) ดังนั้นในย่านแถบหยุดมันจึงตอบสนองความถี่ได้ดีกว่าตัวกรองเกาส์เซียน

ดังนั้นฉันสงสัยว่าตัวกรองแบบเกาส์จะให้ "การตอบสนองความถี่ที่เหมาะสมที่สุด"

ในชุดของ "ตัวกรองที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ไม่ทำเลยเกินจริง" ฉันสงสัยว่าไม่มี "การตอบสนองความถี่ที่เหมาะสมที่สุด" เดียว - บางตัวมีการปฏิเสธการหยุดแบนด์ที่ดีกว่าในขณะที่คนอื่น ๆ

ตัวกรองส่วนใหญ่ที่ใช้ในโลกดิจิตอลเป็นรุ่นตัวอย่างคู่แบบอะนาล็อก เหตุผลใหญ่สำหรับเรื่องนี้คือมีงานจำนวนมากที่ทำในการกรองแบบอะนาล็อกก่อนที่ดิจิตอลจะเข้ามาดังนั้นจึงควรปรับล้อใหม่ซึ่งส่วนใหญ่ใช้การออกแบบก่อนหน้านี้ ข้อดีของระบบดิจิตอลคือการที่ตัวกรองคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นสามารถทำได้ง่ายกว่ามากในโลกอนาล็อก แค่คิดว่าวงจรมีความซับซ้อนทุกครั้งที่คุณเพิ่มคำสั่งในการออกแบบ

หากคุณกำลังมองหาตัวกรองชนิดกำแพงอิฐโค้ง Gaussian เป็นจุดเริ่มต้นที่ดีทีเดียว หากคุณทราบเกี่ยวกับโดเมนเวลา <-> โดเมนความถี่ Gaussian แปลงเป็น Gaussian ในโดเมนอื่น เมื่อมันหมุนในที่หนึ่งมันจะแคบลงอีก ดังนั้นเพื่อให้ได้เข็มที่สมบูรณ์แบบในโดเมนความถี่คุณจะต้องมีตัวอย่างจำนวนไม่ จำกัด

หากคุณมี Matlab สำหรับการใช้งานคุณควรตรวจสอบเครื่องมือออกแบบตัวกรองบางส่วน นี่คือลิงค์พูดคุยเกี่ยวกับบัตเตอร์และBessel เครื่องมือออกแบบช่วยให้คุณระบุลักษณะบางอย่างของตัวกรอง ลักษณะเหล่านี้จะเปลี่ยนไปสำหรับตัวกรองแต่ละประเภท แต่ตัวอย่างบางอย่าง ได้แก่ Passband, stopband, ripple เป็นต้นหากคุณให้ข้อ จำกัด ที่นักออกแบบต้องการคุณจะได้รับข้อผิดพลาด (หมายถึงไม่สามารถสร้างตัวกรองนั้นด้วยประเภทตัวกรองนั้น ) หรือมันจะให้ตัวกรองแก่คุณโดยมีลำดับขั้นต่ำที่จำเป็นเพื่อให้ตรงตามข้อกำหนด