ทำไมอินทิกรัลจึงเป็นศูนย์

ฉันสงสัยว่าทำไมภายใต้สมมติฐานที่ว่า $\omega \gg \frac{1}{T}$ แล้วก็ $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$?

เนื่องจากอินทิกรัลควรเป็นเช่นนั้น $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ จาก $0$ ถึง $T$ และหลังจากเสียบมูลค่าแล้วเราจะจบลงด้วย:

หากคุณกำลังพูดถึงการสื่อสารโทรคมนาคมฉันคิดว่าเรากำลังพูดถึงความถี่สูง หากเป็นกรณีนี้:

• $\frac{1}{T} = f$
• $\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ ช่วงจาก $0$ ถึง $+2$ถ้าคุณหารด้วยจำนวนมากคุณจะได้ศูนย์ประมาณ
เพื่อให้แนวคิดแก่คุณ: สำหรับความถี่รอบ ๆ$1\;\text{kHz}$(ซึ่งถือว่าเป็น"ultra low" ) ผลลัพธ์จะเป็น AT MAXIMUM$0.002$.

ด้วยการเพิ่มความถี่เราจะเพิ่มความผันผวนของช่วงเวลาในช่วงการรวมกลุ่ม

เนื่องจากอินทิกรัลของไซน์ในช่วงเวลาหนึ่งเป็นศูนย์เราควรพิจารณารอบระยะเวลา "ไม่สมบูรณ์" เมื่อสิ้นสุดช่วงเวลาการรวม

เมื่อเราเพิ่มความถี่พื้นที่ของช่วงเวลาที่ไม่สมบูรณ์นี้จะบางและบางลง (อธิบาย $\omega$ ในตัวกำหนด)

ถ้าฉันเสียบค่าบางอย่างฉันจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$ ผลลัพธ์

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

ตอนนี้ฉันไม่แน่ใจว่าลำดับความสำคัญใด $>>$ มีความหมายว่าจะต้องพิจารณาผลลัพธ์ขนาดเล็กเพียงใด $\approx 0$แต่มีแนวโน้มที่จะได้ศูนย์ถ้ามันใหญ่กว่านี้มาก

สิ่งที่เป็นค่าทั่วไปสำหรับ $\omega$ และคุณกำลังมองหาที่?

อัปเดต (เพราะความคิดเห็น):

เนื่องจาก FMarazzi อธิบายได้ค่อนข้างดีจึงมีขอบเขตบนของคดีนี้อยู่ $\cos(\omega T)$ คือ -1 ดังนั้นคุณจะได้ $\frac{2}{\omega}$ซึ่งเป็นค่าสูงสุดแน่นอนที่คุณจะได้รับจาก T ใด ๆ

ดังนั้นหากคุณเลือกค่าสำหรับ T ในวิธีที่คุณได้รับค่าสูงสุดสำหรับค่าที่กำหนด $\omega$ ตารางเปลี่ยนเป็น:

$\omega \rightarrow$ ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

และอื่น ๆ ฉันไม่ทราบว่าใช้การประมาณแบบใดในบริบท แต่ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นสำหรับระบบการสื่อสารและฉันเดาว่าน่าจะเป็นสิ่งที่ไม่เกี่ยวกับ UART ที่ 9600 บอด แต่สิ่งที่ต้องการอีเทอร์เน็ตหรือเร็วกว่าดังนั้น$\omega$ อยู่ในลำดับของ $10^7$ หรือสูงกว่าซึ่งผลลัพธ์ของอินทิกรัลเล็กและอาจไม่ได้นำไปสู่ข้อกำหนดดอกเบี้ยอื่น ๆ

ในสมการที่เขียนใหญ่ขึ้น $\omega$ จะส่งผลให้ค่าเฉลี่ยในค่าที่น้อยกว่าของอินทิกรัล แต่มีขนาดใหญ่กว่า $T$ จะไม่

ฉันสงสัยว่าจำเป็นต้องมีบริบทเพิ่มเติมเพื่อให้เข้าใจอย่างถูกต้องว่าหมายถึงอะไร

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราต้องคิดเกี่ยวกับสิ่งที่เราหมายถึงโดย "$\approx 0$"."$\approx 0$" should probablly be intepreted as "negligable" but what "negligable" means is highly dependent on context. If there is some related value that increases with increasing values of $T$ then it may be that the result of the integral when large $T$ is large but $\omega$ is small can still be considered negligable.