อะไรคือบทบาทของการถือครองคำสั่งซื้อเป็นศูนย์ในระบบเก็บตัวอย่างข้อมูลแบบอะนาล็อก / ดิจิตอลแบบไฮบริด?

ฉันจะยอมรับฉันถามคำถามนี้วาทศิลป์ ฉันอยากรู้ว่าคำตอบจะออกมาจากอะไร

หากคุณเลือกที่จะตอบคำถามนี้ให้แน่ใจว่าคุณเข้าใจทฤษฎีการสุ่มตัวอย่าง Shannon-Nyquist เป็นอย่างดี โดยเฉพาะอย่างยิ่งการฟื้นฟู ยังต้องระวัง "gotchas" ในตำราเรียนด้วย แนวคิดทางวิศวกรรมของฟังก์ชั่นแรงกระตุ้นเดลต้าเดลต้าเพียงพอ คุณไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับสิ่งที่ "กระจาย" ทั้งหมดแรงกระตุ้น dirac ในฐานะที่เป็นฟังก์ชันเดลต้าที่เพิ่งเกิดใหม่นั้นดีพอ:

δ (t) = lim_{τ \to 0} \frac{1}{τ} rect (\frac{t}{τ})

$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$

ที่ไหน

r e c t (t) ≜ {\begin{cases} 0 & if | t | > \frac{1}{2} \\ 1 & if | t | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

ปัญหาเกี่ยวกับความแม่นยำความกว้างบิตของคำตัวอย่างและปริมาณที่ทำในการแปลงไม่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้ แต่ปรับจากการป้อนข้อมูลการส่งออกเป็นที่เกี่ยวข้อง

ฉันจะเขียนคำตอบของตัวเองในท้ายที่สุดถ้าไม่มีใครแสดงคำตอบที่ถูกต้องและเป็นประโยชน์ ฉันอาจวางรางวัลนี้ (อาจใช้สิ่งที่ฉันมีตัวแทน)

ได้ที่มัน

sampling sample-and-hold zoh

— โรเบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน
แหล่งที่มา

คุณสนใจที่จะได้ยินเกี่ยวกับนามแฝงเป็นหลักหรือไม่

— deadude

Nope ฉันถือว่ากฎทั้งหมดของทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างได้รับการปฏิบัติตาม นั่นคือไม่มีเนื้อหาหรือพลังงานในการป้อนข้อมูลอย่างต่อเนื่องเวลารับตัวอย่างที่เป็นที่หรือสูงกว่า{2} ตอนนี้จำไว้ว่ามีความแตกต่างระหว่าง "นามแฝง" และ "ภาพ"

\frac{f_{s}}{2}

$\frac{f_\mathrm{s}}{2}$

— robert bristow-johnson

เท่าที่ผมจำได้การค้างออเดอร์แบบ Zero นั้นเป็นเพียงความล่าช้าระหว่างกลุ่มตัวอย่างในระบบดิจิตอลและเห็นได้ชัดว่าสามารถส่งผลต่อด้านอะนาล็อกของสิ่งต่าง ๆ ระหว่างตัวอย่างหนึ่งกับอีกตัวอย่างหนึ่ง

— KyranF

@ KyranF มันยิ่งกว่านั้นนิดหน่อย

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson จากคำตอบที่ Timo ให้ไว้แน่นอนว่ามันดูเหมือนเกี่ยวข้องมากกว่าที่ฉันคิด ขอให้โชคดี

— KyranF

คำตอบ:

ติดตั้ง

เราพิจารณาระบบที่มีสัญญาณอินพุตและเพื่อความชัดเจนเราอ้างอิงถึงค่าของเป็นแรงดันไฟฟ้าในกรณีที่จำเป็น ระยะเวลาตัวอย่างของเราคือและอัตราตัวอย่างที่สอดคล้องกันคือ T $x(t)$ $x(t)$ $T$ $f_s \triangleq 1/T$

สำหรับการแปลงฟูริเยร์เราเลือกอนุสัญญา ทำให้การแปลงฟูริเยร์เปลี่ยน ทราบว่ามีการประชุมเหล่านี้เป็นหน้าที่ของ Laplace ตัวแปรปี่ฉ

X (i 2 π f) = F (x (t)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- i 2 π f t} d t,

$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$

x (t) = F^{- 1} (X (i 2 π f)) ≜ \int_{- \infty}^{\infty} X (i 2 π f) e^{i 2 π f t} d f .

$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$

X

$X$

s = i ω = i 2 π f

$s = i \omega = i 2 \pi f$

การสุ่มตัวอย่างในอุดมคติและการสร้างใหม่

ให้เราเริ่มต้นจากการสุ่มตัวอย่างในอุดมคติ: ตามทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างของ Nyquist-Shannon , ให้สัญญาณซึ่งเป็น bandlimited ถึง , คือ แล้วสัญญาณเดิมสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบจากตัวอย่างที่{Z} กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อกำหนดเงื่อนไขเกี่ยวกับแบนด์วิดท์ของสัญญาณ (เรียกว่าเกณฑ์ Nyquist ) ก็เพียงพอที่จะทราบค่าของมันได้ทันทีที่จุดแยกไม่เท่ากันในเวลา $x(t)$ $f < \frac{1}{2} f_s$

X (ผม 2 π ฉ) = 0, W ชั่วโมง อี n | ฉ | \geq \frac{1}{2} ฉ_{s},

$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(n T)$

n \in Z

$n\in \mathbb{Z}$

ทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างยังให้วิธีการที่ชัดเจนสำหรับการดำเนินการสร้างใหม่ ขอให้เราพิสูจน์สิ่งนี้ในแบบที่จะเป็นประโยชน์ในสิ่งต่อไปนี้: ให้เราประเมิน Fourier transformของสัญญาณด้วยผลรวม Riemannกับขั้นตอน : ที่T ให้เราเขียนสิ่งนี้เป็นอินทิกรัลเพื่อหาจำนวนข้อผิดพลาดที่เราทำ: $X(i 2 \pi f)$ $x(t)$ $T$

X (ผม 2 π ฉ) ~ Σ_{n = - \infty}^{\infty} x (n Δ เสื้อ) {อี}^{- ผม 2 π ฉ n Δ เสื้อ} Δ เสื้อ,

$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$

Δ t = T

$\Delta t = T$

\begin{aligned} Σ_{n = - \infty}^{\infty} x (n T) {อี}^{- ผม 2 π ฉ n T} T & = \int_{- \infty}^{\infty} Σ_{n = - \infty}^{\infty} x (เสื้อ) {อี}^{- ผม 2 π ฉ เสื้อ} T δ (เสื้อ - n T) d เสื้อ \\ = X (ผม 2 π ฉ) * * * * F (T Σ_{n = - \infty}^{\infty} δ (เสื้อ - n T)) \\ (1) & = Σ_{k = - \infty}^{\infty} X (ฉ - k / T), \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$ โดยที่เราใช้ทฤษฎีบทการสนทนาบนผลิตภัณฑ์ของและฟังก์ชั่นการสุ่มตัวอย่างความจริงที่ว่าการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันการสุ่มตัวอย่างคือและดำเนินการอินทิกรัลเหนือฟังก์ชันเดลต้า

x (t)

$x(t)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} T δ (t - n T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (f - k / T)

$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

โปรดสังเกตว่าทางด้านซ้ายมือคือโดยที่คือการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของสัญญาณตัวอย่างที่สอดคล้องกันด้วยความถี่เวลาไม่ต่อเนื่องแบบไม่มีมิติ $T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $X_{1/T}(i 2 \pi f T)$ $x[n] \triangleq x(n T)$ $f T$

ที่นี่เราเห็นเหตุผลสำคัญที่อยู่เบื้องหลังเกณฑ์ Nyquist: มันเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อรับประกันว่าเงื่อนไขของผลรวมไม่ทับซ้อนกัน ด้วยเกณฑ์ Nyquist ผลรวมข้างต้นจะลดลงเป็นส่วนขยายตามช่วงเวลาของสเปกตรัมจากช่วงไปจนถึงเส้นจริงทั้งหมด $[-f_s/2, f_s/2]$

เนื่องจาก DTFT ในมีการแปลงฟูริเยร์แบบเดียวกันในช่วงเป็นสัญญาณดั้งเดิมของเราเราสามารถคูณมันด้วยฟังก์ชันสี่เหลี่ยมและรับสัญญาณเดิม ผ่านทฤษฎีบทสังวัตนาจำนวนนี้เพื่อโน้มน้าวหวี Dirac กับการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งในการประชุมของเราคือ ที่ฟังก์ชัน sinc ปกติคือ $\eqref{discreteft}$ $[-f_s/2, f_s/2]$ $\mathrm{rect}(f/f_s)$

F (R อี ค เสื้อ (ฉ / ฉ_{s})) = 1 / T s ผม n ค (เสื้อ / T),

$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$

s ผม n ค (x) ≜ \frac{บาป (π x)}{π x} .

$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$ การสนทนานั้นก็แทนที่เดลต้าแต่ละเดลต้าในหวี Dirac กับ sinc - หน้าที่ขยับไปที่ตำแหน่งของเดลต้าทำให้ นี้เป็นสูตรการแก้ไข Whittaker-แชนนอน

\begin{matrix} (2) & x (เสื้อ) = Σ_{n = - \infty}^{\infty} x [n] s ผม n ค (เสื้อ / T - n) . \end{matrix}

$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$

การสุ่มตัวอย่างที่ไม่เหมาะ

สำหรับการแปลทฤษฏีข้างต้นสู่โลกแห่งความเป็นจริงส่วนที่ยากที่สุดคือการรับประกันการเป็นโจรซึ่งต้องทำก่อนการสุ่มตัวอย่าง สำหรับจุดประสงค์ของคำตอบนี้เราคิดว่าสิ่งนี้ได้ทำไปแล้ว ภารกิจที่เหลืออยู่นั้นจะนำตัวอย่างของค่าทันทีของสัญญาณ เนื่องจาก ADC ที่แท้จริงจะต้องใช้เวลาจำนวน จำกัด ในการประมาณค่าตัวอย่างการใช้งานตามปกติจะเก็บค่าของสัญญาณไปยังวงจรตัวอย่างและค้างไว้ซึ่งวงจรการประมาณแบบดิจิทัลจะเกิดขึ้น

แม้ว่าสิ่งนี้จะมีลักษณะคล้ายกับศูนย์สั่งซื้อมาก แต่ก็เป็นกระบวนการที่แตกต่าง: ค่าที่ได้จากตัวอย่าง - และ - ถือเป็นมูลค่าที่แน่นอนของสัญญาณทันทีถึงการประมาณว่าสัญญาณคงที่สำหรับ ระยะเวลาที่ใช้ในการชาร์จตัวเก็บประจุที่เก็บค่าตัวอย่าง นี่คือความสำเร็จมักจะดีโดยระบบโลกแห่งความจริง

ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่า ADC ในโลกแห่งความเป็นจริงโดยไม่สนใจปัญหาของ bandlimiting เป็นการประมาณที่ดีมากในกรณีของการสุ่มตัวอย่างในอุดมคติและโดยเฉพาะ"บันได" ที่มาจากตัวอย่างและถือไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดใด ๆ ใน สุ่มตัวอย่างด้วยตัวเอง

การฟื้นฟูที่ไม่เหมาะ

สำหรับการฟื้นฟูเป้าหมายคือการหาวงจรอิเล็กทรอนิกส์ที่สำเร็จผลรวมของ sincs ปรากฏใน{} เนื่องจาก sinc มีขอบเขตไม่สิ้นสุดในเวลาจึงค่อนข้างชัดเจนว่าสิ่งนี้ไม่สามารถรับรู้ได้อย่างแน่นอน ยิ่งไปกว่านั้นการรวมสัญญาณเช่นนี้ถึงการประมาณที่สมเหตุสมผลจะต้องใช้วงจรย่อยหลายวงจรและซับซ้อนมากอย่างรวดเร็ว ดังนั้นมักใช้การประมาณที่ง่ายกว่ามาก: ในแต่ละการสุ่มตัวอย่างทันทีแรงดันไฟฟ้าที่สอดคล้องกับค่าตัวอย่างคือเอาต์พุตและคงที่จนกระทั่งการสุ่มตัวอย่างถัดไปทันที (แม้ว่าจะเห็นการปรับแบบเดลต้าซิกม่าสำหรับตัวอย่างของวิธีอื่น) นี่คือการถือครองที่ไม่มีคำสั่งซื้อและสอดคล้องกับการแทนที่ sinc ที่เราใช้ด้านบนด้วยฟังก์ชันสี่เหลี่ยมผืนผ้า $\eqref{sumofsinc}$ $1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$ 1/2) การประเมินการสนทนา โดยใช้การกำหนดคุณสมบัติของฟังก์ชั่นเดลต้าเราจะเห็นว่านี้แน่นอนจะส่งผลในคลาสสิกอย่างต่อเนื่องเวลาบันไดรูปแบบของคลื่น ปัจจัยของจะเข้าสู่การยกเลิกแนะนำใน{} ปัจจัยที่จำเป็นเช่นนั้นก็ชัดเจนจากข้อเท็จจริงที่ว่าหน่วยของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นคือ 1 / ครั้ง

(1 / T R อี ค เสื้อ (เสื้อ / T - 1 / 2)) * * * * (Σ_{n = - \infty}^{\infty} T x [n] δ (เสื้อ - n T)),

$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$

1 / T

$1/T$

T

$T$

(1)

$\eqref{discreteft}$

การเปลี่ยนแปลงโดยเป็นเพียงการรับประกันเวรกรรม นี้จะมีจำนวนการเปลี่ยนแปลงของการส่งออกโดย 1/2 ญาติตัวอย่างเพื่อใช้ (ซึ่งอาจมีผลกระทบในระบบเวลาจริงหรือเมื่อมากประสานแม่นยำเหตุการณ์ภายนอกเป็นสิ่งจำเป็น ) ซึ่งเราจะไม่สนใจในสิ่งต่อไปนี้ $-1/2 T$ $1/T \mathrm{rect}(1/T)$

เมื่อเทียบกับเราได้แทนที่ฟังก์ชั่นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าในโดเมนความถี่ซึ่งปล่อยให้เบสแบนด์ไม่ถูกแตะต้องและลบสำเนาความถี่สูงทั้งหมดของสเปกตรัมเรียกภาพด้วยการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันT) นี่เป็นของหลักสูตร $\eqref{discreteft}$ $1/T \mathrm{rect}(t/T)$

s ผม n ค (ฉ / ฉ_{s}) .

$\mathrm{sinc}(f/f_s).$

โปรดทราบว่าตรรกะค่อนข้างกลับกันจากกรณีอุดมคติ: มีเรากำหนดเป้าหมายของเราซึ่งก็คือการลบภาพในโดเมนความถี่และได้รับผลกระทบในโดเมนเวลา ที่นี่เรากำหนดวิธีการสร้างใหม่ในโดเมนเวลา (เนื่องจากเป็นสิ่งที่เรารู้วิธีการทำ) และได้รับผลที่ตามมาในโดเมนความถี่

ดังนั้นผลลัพธ์ของการระงับแบบ zero-order ก็คือแทนที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากในโดเมนความถี่เราจึงลงท้ายด้วย sinc เป็นฟังก์ชันการเรียงหน้าต่าง ดังนั้น:

การตอบสนองความถี่ไม่ จำกัด วงอีกต่อไป ค่อนข้างจะสลายตัวเป็นโดยความถี่ด้านบนเป็นภาพของสัญญาณดั้งเดิม $1/f$
ในเบสแบนด์นั้นการตอบสนองจะลดลงไปมากถึง -4 dB ที่ $1/2 f_s$

โดยรวมแล้วถือเป็นศูนย์เพื่อที่จะใช้ในการใกล้เคียงกับฟังก์ชั่น sinc โดเมนเวลาที่ปรากฏในสูตรการแก้ไข เมื่อสุ่มตัวอย่างตัวอย่างที่ดูคล้ายกันและถือเป็นวิธีแก้ไขปัญหาทางเทคนิคของปัญหาในการประเมินมูลค่าของสัญญาณทันทีและไม่ก่อให้เกิดข้อผิดพลาดใด ๆ ในตัวเอง

โปรดทราบว่าไม่มีข้อมูลใดหายไปในการสร้างใหม่เนื่องจากเราสามารถกรองภาพความถี่สูงออกได้เสมอหลังจากการสั่งซื้อเริ่มต้นเป็นศูนย์ การสูญเสียกำไรสามารถชดเชยได้โดยตัวกรองผกผัน sinc ไม่ว่าจะก่อนหรือหลัง DAC ดังนั้นจากมุมมองเชิงปฏิบัติที่มากขึ้นการถือศูนย์เป็นศูนย์จะใช้ในการสร้างการประมาณที่สามารถนำไปใช้งานครั้งแรกกับการสร้างใหม่ในอุดมคติซึ่งสามารถปรับปรุงเพิ่มเติมได้หากจำเป็น

— Timo
แหล่งที่มา

มันน่าสนใจ Timo คุณกำลังประสบปัญหาการเมืองของ Wikipedia ตรวจสอบนี้รุ่นเก่าของบทความวิกิพีเดียทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่าง แทนที่จะซ่อนอยู่ด้านหลังสูตรการรวมปัวซองมันแค่แสดงให้เห็นว่าการสุ่มตัวอย่างสร้างภาพและสิ่งที่จำเป็นในการกู้คืนสัญญาณต่อเนื่องดั้งเดิมอย่างชัดเจน และคุณสามารถดูได้ว่าทำไมถึงมี ปัจจัยในฟังก์ชันการสุ่มตัวอย่าง

T

$T$

— robert bristow-johnson

เป็นที่น่าสนใจว่าบทความ Wikipedia เวอร์ชันเก่านั้นมีความชัดเจนยิ่งกว่าและในความคิดของฉัน การคำนวณเกือบจะเหมือนกับสิ่งที่ฉันเขียนข้างต้นยกเว้นว่าจะให้รายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อย

— Timo

อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่าทำไมสิ่งนี้จึงจำเป็นที่จะต้องเข้าใจว่าทำไมปัจจัยของจึงจำเป็น: ฉันคิดว่าสิ่งที่ฉันเขียนในคำตอบนั้นเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับที่จะจำเป็น (ในทางเทคนิคเงื่อนไขความมั่นคง แต่เรา สมมติว่ามีความเป็นไปได้ในการสร้างใหม่) แน่นอนว่าความเข้าใจเป็นเรื่องส่วนตัวเสมอ ยกตัวอย่างเช่นที่นี่มันจะได้รับการพิจารณาเป็นเหตุผลลึกสำหรับการปรากฏตัวของปัจจัยที่ที่เป็นหลักจะกลายเป็นตัวชี้วัดบูรณาการเมื่อหนึ่งจะใช้เวลาขีด จำกัด0

T

$T$

T

$T$

T

$T$

T

$T$

d t

$\mathrm{d}t$

T \to 0

$T \rightarrow 0$

— Timo

ฉันคิดว่าสิ่งที่คุณอ้างถึงว่าเป็นสาเหตุของ 1 / T ในการเป็นตัวแทนของหวี Dirac เป็นผลรวมของเลขชี้กำลังเชิงซ้อนที่ซับซ้อนในen.wikipedia.org/w/ …? ซึ่งเป็นวิธีหนึ่งที่จะนำไปใช้และค่อนข้างเกี่ยวข้องโดยตรงกับบทบาทของเป็นตัวชี้วัด

T

$T$

— Timo

ฉันไม่สามารถช่วยได้ แต่คิดว่าคุณควรเพิ่มคำตอบที่คุณต้องการ ความคิดเห็นไม่ได้มีไว้สำหรับการอภิปรายเพิ่มเติม

— เดวิด

การถือออเดอร์แบบ zero-order มีบทบาทในการประมาณเดลตาและฟังก์ชั่นที่ปรากฏในทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างแล้วแต่จำนวนใดจะเหมาะสม $\mathrm{sinc}$

สำหรับวัตถุประสงค์ของความชัดเจนฉันพิจารณาระบบ ADC / DAC ด้วยสัญญาณแรงดันไฟฟ้า ทั้งหมดต่อไปนี้ใช้กับระบบการสุ่มตัวอย่างที่มีการเปลี่ยนแปลงหน่วยที่เหมาะสม ฉันยังสันนิษฐานว่าสัญญาณอินพุตนั้นได้ถูก จำกัด อย่างน่าอัศจรรย์เพื่อให้เป็นไปตามเกณฑ์ของ Nyquist

เริ่มต้นจากการสุ่มตัวอย่าง: ในอุดมคติแล้วใครจะลองตัวอย่างค่าของสัญญาณอินพุตในทันทีเดียว เนื่องจาก ADC ที่แท้จริงต้องการเวลาจำนวน จำกัด ในการประมาณค่าของพวกเขาแรงดันไฟฟ้าทันทีจะถูกประมาณโดยตัวอย่างและเก็บไว้ (กำลังเกิดขึ้นโดยประมาณโดยเวลาเปลี่ยนที่ใช้ชาร์จประจุ) ดังนั้นในสาระสำคัญการถือแปลงปัญหาของการใช้ฟังก์ชั่นเดลต้ากับสัญญาณปัญหาของการวัดแรงดันคงที่

โปรดทราบที่นี่ว่าความแตกต่างระหว่างสัญญาณอินพุตที่ถูกคูณด้วยแรงกระตุ้นรถไฟหรือการสั่งการแบบ zero-order ที่ใช้ในอินสแตนซ์เดียวกันเป็นเพียงคำถามของการตีความเนื่องจาก ADC จะเก็บเฉพาะแรงดันทันทีที่ถูกเก็บไว้ สามารถสร้างขึ้นใหม่จากที่อื่น สำหรับวัตถุประสงค์ของคำตอบนี้ฉันจะใช้การตีความว่าสัญญาณตัวอย่างคือสัญญาณต่อเนื่องของรูปแบบ ที่คือแรงดันอ้างอิงของ ADC / DAC,คือจำนวนบิตเป็นตัวอย่างที่แสดงตามปกติเหมือนเลขจำนวนเต็มและ

x (เสื้อ) = \frac{Δ เสื้อ V_{R อี ฉ}}{2^{n}} \underset{k}{Σ} x_{k} δ (เสื้อ - k Δ เสื้อ),

$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$

V_{r e f}

$V_\mathrm{ref}$

n

$n$

x_{k}

$x_k$

Δ t

$\Delta t$ คือระยะเวลาการสุ่มตัวอย่าง การตีความที่ไม่เป็นทางการนี้มีข้อดีที่ฉันพิจารณาอยู่ตลอดเวลาสัญญาณต่อเนื่องและการสุ่มตัวอย่างที่นี่หมายถึงการแทนในรูปของตัวเลขซึ่งเป็นตัวอย่างในความหมายตามปกติ

x_{k}

$x_k$

ในการตีความนี้คลื่นความถี่ของสัญญาณในเบสแบนด์นั้นเหมือนกับของสัญญาณดั้งเดิมและการโน้มน้าวใจที่มีประสิทธิภาพโดยรถไฟอิมพัลส์นั้นมีผลในการจำลองสัญญาณนั้นเช่นทำให้สเปกตรัมเป็นระยะ แบบจำลองเรียกว่าภาพของสเปกตรัม การปรับสภาพปัจจัยเป็นสิ่งที่จำเป็นสามารถเห็นได้เช่นโดยการพิจารณา DC-offset ของพัลส์ 1 โวลต์ของระยะเวลา : DC-offset ที่กำหนดเป็นส่วนประกอบของการแปลงฟูริเยร์คือ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เดียวกันจากเวอร์ชันตัวอย่างเราต้องรวมปัจจัยของ . * $\Delta t$ $\Delta t$ $f = 0$

\hat{x} (0) = \int_{0}^{Δ เสื้อ} 1 V d เสื้อ = 1 V Δ เสื้อ .

$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$

Δ t

$\Delta t$

การประกอบขึ้นใหม่ในอุดมคติหมายถึงการสร้างสัญญาณไฟฟ้าที่มีสเปกตรัมเบสแบนด์เดียวกันกับสัญญาณนี้และไม่มีส่วนประกอบใดที่ความถี่นอกช่วงนี้ นี่เป็นสิ่งเดียวกันกับการชักจูงรถไฟแรงกระตุ้นด้วยฟังก์ชัน -function ที่เหมาะสม สิ่งนี้ค่อนข้างท้าทายในการทำทางอิเล็กทรอนิกส์ดังนั้นจึงมักถูกประมาณโดยฟังก์ชันรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า AKA ถือเป็นศูนย์ตามลำดับ ในสาระสำคัญในแต่ละฟังก์ชันของเดลต้าค่าของตัวอย่างจะถูกเก็บไว้ในช่วงระยะเวลาของช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$

เพื่อที่จะดูว่าสิ่งนี้มีผลกระทบต่อสัญญาณที่สร้างขึ้นใหม่หรือไม่ฉันสังเกตว่าการพักนั้นเทียบเท่ากับการชักจูงรถไฟแรงกระตุ้นด้วยฟังก์ชันสี่เหลี่ยม การทำให้เป็นมาตรฐานของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมนี้ถูกกำหนดโดยกำหนดให้มีการสร้างแรงดันไฟฟ้าคงที่อย่างถูกต้องหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าวัดแรงดันไฟฟ้าเมื่อทำการสุ่มตัวอย่าง

{R อี ค เสื้อ}_{Δ เสื้อ} (เสื้อ) = \frac{1}{Δ เสื้อ} R อี ค เสื้อ (\frac{เสื้อ}{Δ เสื้อ}) .

$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$

V_{1}

$V_1$

ในโดเมนความถี่จำนวนนี้จะทวีคูณการตอบสนองความถี่ด้วยการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมซึ่งคือ โปรดทราบว่ากำไรที่ดีซีเป็น1ที่ความถี่สูงจะสลายตัวเช่นและทำให้ภาพของสเปกตรัมจางลง

{\hat{R อี ค เสื้อ}}_{Δ เสื้อ} (ฉ) = s ผม n ค (π Δ เสื้อ ฉ) .

$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$

1

$1$

s i n c

$\mathrm{sinc}$

1 / f

$1/f$

ในท้ายที่สุดฟังก์ชั่นที่เป็นผลมาจากการถือศูนย์สั่งทำหน้าที่เป็นตัวกรอง low-pass ในสัญญาณ โปรดทราบว่าไม่มีข้อมูลสูญหายในช่วงการสุ่มตัวอย่าง (สมมติว่าเกณฑ์ Nyquist) และโดยหลักการแล้วไม่มีอะไรสูญหายเมื่อทำการสร้างขึ้นใหม่: การกรองในเบสแบนด์โดยสามารถชดเชยได้ด้วยตัวกรองแบบผกผัน (และ บางครั้งก็ทำเช่นนี้ดูตัวอย่างhttps://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853 ) ความเสื่อมโทรมของมักจะต้องใช้รูปแบบการกรองบางอย่างเพื่อลดทอนภาพ $\mathrm{sinc}$ $\mathrm{sinc}$ $-6\mathrm{dB/octave}$ $\mathrm{sinc}$

โปรดทราบว่าตัวสร้างแรงกระตุ้นจินตภาพที่สามารถสร้างตัวจำลองแรงกระตุ้นที่ใช้ในการวิเคราะห์จะส่งพลังงานจำนวนไม่ จำกัด ออกไปเพื่อสร้างภาพใหม่ สิ่งนี้จะทำให้เกิดเอฟเฟ็กต์ขนเช่น ADC ที่สุ่มตัวอย่างเอาท์พุทจะไม่เห็นอะไรเลยนอกจากจะถูกซิงโครไนซ์กับระบบดั้งเดิมอย่างสมบูรณ์ (ส่วนใหญ่จะเป็นตัวอย่างระหว่างแรงกระตุ้น) สิ่งนี้แสดงให้เห็นชัดเจนว่าแม้ว่าเราจะไม่สามารถปรับเอาท์พุทให้ถูกต้องได้ แต่การประมาณค่าแบนด์วิธบางอย่างนั้นจำเป็นต้องทำให้พลังงานรวมของสัญญาณเป็นปกติเสมอก่อนที่มันจะถูกแปลงเป็นตัวแทนทางกายภาพ

เพื่อสรุป:

ในทั้งสองทิศทาง zero-order-hold ทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันประมาณของเดลต้าหรือเป็นรูปแบบที่ จำกัด วงคือ -function $\mathrm{sinc}$
จากมุมมองของโดเมนความถี่มันเป็นการประมาณตัวกรองอิฐที่เอารูปภาพออกและควบคุมปริมาณพลังงานที่ไม่มีที่สิ้นสุดในรถไฟอิมพัลส์อุดมคติ

* นี่ก็ชัดเจนจากการวิเคราะห์มิติ: หน่วยของการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณแรงดันคือในขณะที่ ฟังก์ชัน delta มีหน่วยซึ่งจะยกเลิกหน่วยเวลาที่มาจากอินทิกรัลในการแปลง $\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ $1/\mathrm{s}$

— Timo
แหล่งที่มา

เมื่อตัวจับเวลาอนุญาตให้ฉันฉันจะวางรางวัลนี้ Timo มีบางสิ่งที่ฉันชอบ: เช่นมี DC gain = 1 ซึ่งสอดคล้องกับ Eq 1 ในการอ้างอิงสูงสุดของคุณ แต่วิธีตำราเรียนมากเกินไปทำให้ผิดพลาดโดยได้รับที่พวกเขาไม่รู้ว่าจะทำอย่างไร และดูเหมือนว่าคุณเข้าใจว่า ZOH ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับ S / H ที่เป็นไปได้ใด ๆ ที่อินพุตของ ADC ดีแล้ว. ฉันจะยังคงรอคำตอบที่เข้มงวดกว่านี้อีกเล็กน้อย และไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับ{ref} ฉันสมมติว่ามันเป็นสิ่งเดียวกันสำหรับ ADC และ DAC

T

$T$

V_{ref}

$V_\text{ref}$

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson: ขอบคุณสำหรับคำพูดดี ๆ ! คุณช่วยระบุทิศทางที่คุณกำลังมองหาความรุนแรงมากขึ้นได้ไหม? รายละเอียดเพิ่มเติมคำตอบสไตล์การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มากขึ้นหรือสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง?

— Timo

ฉันเดาการรักษาทางคณิตศาสตร์ด้วยสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่สะอาดและสม่ำเสมอ ฉันขอแนะนำให้สอดคล้องกับ Oppenheim และ Wilsky หรืออะไรทำนองนั้น บางทีดังนั้น Laplace และฟูริเยร์แปลงมีความสอดคล้องและเข้ากันได้สัญกรณ์dt หารือเกี่ยวกับทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างที่พูดและความแตกต่างในความเป็นจริงและ ZOH มาในที่นั้น

T ≜ \frac{1}{f_{s}}

$T \triangleq \frac{1}{f_\text{s}}$

x [n] ≜ x (n T)

$x[n] \triangleq x(nT)$

F {x (t)} = X (j 2 π f) ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\mathcal{F}\{x(t)\} = X(j2\pi f) \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \ dt$

— robert bristow-johnson

ตกลงให้ฉันลองเขียนคำตอบอีกอันเนื่องจากการแก้ไขเพื่อเปลี่ยนสัญกรณ์เป็นสิ่งที่คุณต้องการ ฯลฯ อาจจะยุ่งเหยิงไปหน่อย ฉันเพิ่งจะแก้ไขข้อผิดพลาดเล็ก ๆ จากหนึ่งในนี้เป็นครั้งแรกเพราะมันรบกวนจิตใจผม ...

— Timo

ฉันสับสนเล็กน้อยและช้าในการวาดและไม่ได้กดไอคอนรางวัลเพื่อมอบรางวัลของคุณ ตามกฎ: หากคุณไม่ได้รับรางวัลเงินรางวัลของคุณภายใน 7 วัน (รวมถึงระยะเวลาผ่อนผัน) คำตอบที่โหวตสูงสุดที่สร้างขึ้นหลังจากเงินรางวัลเริ่มต้นด้วยคะแนนขั้นต่ำ 2 จะได้รับรางวัลครึ่งหนึ่งของเงินรางวัล หากคำตอบที่มีสิทธิ์สองข้อขึ้นไปมีคะแนนเท่ากัน (กล่าวคือคะแนนของพวกเขาถูกผูกไว้) คำตอบที่เก่าที่สุดจะได้รับรางวัล หากไม่มีคำตอบที่ตรงกับเกณฑ์เหล่านั้นจะไม่มีการมอบรางวัลให้ใคร - ตามกฎเหล่านี้คุณควรได้รับภายในหนึ่งสัปดาห์

— robert bristow-johnson

การแปลงฟูริเยร์ :

X (J 2 π ฉ) = F {x (เสื้อ)} ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} x (เสื้อ) {อี}^{- J 2 π ฉ เสื้อ} d เสื้อ

$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$

การแปลงฟูริเยร์ผกผัน:

x (t) = F^{- 1} {X (j 2 π f)} = \int_{- \infty}^{+ \infty} X (j 2 π f) e^{j 2 π f t} d f

$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$

ฟังก์ชันพัลส์รูปสี่เหลี่ยม :

rect (u) ≜ {\begin{cases} 0 & if | u | > \frac{1}{2} \\ 1 & if | u | < \frac{1}{2} \end{cases}

$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$

ฟังก์ชัน "Sinc" ("sinus cardinalis") :

sinc (v) ≜ {\begin{cases} 1 & if v = 0 \\ \frac{\sin (π v)}{π v} & if v \neq 0 \end{cases}

$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$

กําหนดการสุ่มตัวอย่างความถี่ ,เป็นซึ่งกันและกันของระยะเวลาการสุ่มตัวอย่างT $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ $T$

โปรดทราบว่า:

F {rect (\frac{t}{T})} = T sinc (f T) = \frac{1}{f_{s}} sinc (\frac{f}{f_{s}})

$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

Dirac comb (aka "ฟังก์ชันการสุ่มตัวอย่าง" aka "ฟังก์ชัน Sha") :

{III}_{T} (t) ≜ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (t - n T)

$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$

หวีแรคเป็นระยะที่มีระยะเวลาTซีรี่ส์ฟูริเยร์ : $T$

{III}_{T} (t) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π k f_{s} เสื้อ}

$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$

ตัวอย่างสัญญาณต่อเนื่องเวลา :

\begin{aligned} x_{s} (เสื้อ) & = x (เสื้อ) \cdot (T \cdot {สาม}_{T} (เสื้อ)) \\ = x (เสื้อ) \cdot (T \cdot Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} δ (เสื้อ - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x (เสื้อ) δ (เสื้อ - n T) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x (n T) δ (เสื้อ - n T) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (เสื้อ - n T) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$

ที่(เอ็นที) $x[n] \triangleq x(nT)$

ซึ่งหมายความว่าถูกกำหนดโดยตัวอย่างและช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่างและสูญเสียข้อมูลใด ๆ ของค่าของสำหรับเวลาระหว่างอินสแตนซ์การสุ่มตัวอย่าง เป็นลำดับต่อเนื่องของตัวเลขและเป็น sorta DSP ชวเลขสัญกรณ์สำหรับx_nในขณะที่เป็นจริงที่สำหรับค่าของสำหรับใด ๆ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจะไม่ได้กำหนด $x_\text{s}(t)$ $x[n]$ $T$ $x(t)$ $x[n]$ $x_n$ $x_\text{s}(t) = 0$ $nT < t < (n+1)T$ $x[n]$ $n$

หมายเหตุ:สัญญาณไม่ต่อเนื่องและทุกการดำเนินงานต่อเนื่องในเวลาที่มันเหมือน -Transformที่ไม่ต่อเนื่องเวลาแปลงฟูริเยร์ (DTFT)ที่ไม่ต่อเนื่องแปลงฟูเรีย (DFT)เป็น"ไม่เชื่อเรื่องพระเจ้า"เกี่ยวกับความถี่ในการสุ่มตัวอย่างหรือระยะเวลาการสุ่มตัวอย่างTเมื่อคุณอยู่ในที่ไม่ต่อเนื่องเวลาโดเมนคุณไม่ทราบ (หรือดูแล) เกี่ยวกับTมันเป็นเพียงกับNyquist-Shannon Sampling and Reconstruction Theoremที่และถูกรวมเข้าด้วยกัน $x[n]$ $\mathcal{Z}$ $T$ $x[n]$ $T$ $x[n]$ $T$

การแปลงฟูริเยร์ของคือ $x_\text{s}(t)$

\begin{aligned} X_{s} (J 2 π ฉ) ≜ F {x_{s} (เสื้อ)} & = F {x (เสื้อ) \cdot (T \cdot {สาม}_{T} (เสื้อ))} \\ = F {x (เสื้อ) \cdot (T \cdot Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} {อี}^{J 2 π k ฉ_{s} เสื้อ})} \\ = F {Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} x (เสื้อ) {อี}^{J 2 π k ฉ_{s} เสื้อ}} \\ = Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} F {x (เสื้อ) {อี}^{J 2 π k ฉ_{s} เสื้อ}} \\ = Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} X (J 2 π (ฉ - k ฉ_{s})) \end{aligned}

$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$

หมายเหตุสำคัญเกี่ยวกับการปรับขนาด: ฟังก์ชันการสุ่มตัวอย่างและสัญญาณตัวอย่างมีปัจจัยเป็นที่คุณจะไม่เห็นในหนังสือเกือบทุกเล่ม นั่นคือความผิดพลาดในการสอนของผู้เขียนหนังสือเรียนเหล่านี้ด้วยเหตุผลหลายประการ (ที่เกี่ยวข้อง): $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ $x_\text{s}(t)$ $T$

ครั้งแรกที่ออกจากออกเปลี่ยนแปลงขนาดของสัญญาณตัวอย่างจากมิติของสัญญาณที่ได้รับตัวอย่าง(t) $T$ $x_\text{s}(t)$ $x(t)$
ที่ปัจจัยที่จะต้องอยู่ที่ไหนสักแห่งในห่วงโซ่สัญญาณ หนังสือเรียนเหล่านี้ที่ปล่อยให้มันออกมาจากฟังก์ชั่นการสุ่มตัวอย่างท้ายใส่ไว้ในส่วนการสร้างใหม่ของทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่างซึ่งโดยปกติแล้วจะได้รับ passband ของตัวกรองการสร้างใหม่ นั่นคือความสับสนในเชิงมิติ ใครบางคนอาจถามว่า: "ฉันจะออกแบบอิฐวอลล์ LPF ด้วยรหัสผ่านของอย่างไร" $T$ $T$
ดังที่เห็นด้านล่างการปล่อยออกจากที่นี่จะส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดในการปรับขนาดที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนสุทธิและการตอบสนองความถี่สุทธิของการระงับ Zero-order Hold (ZOH) หนังสือเรียนทั้งหมดเกี่ยวกับระบบควบคุมดิจิตัล (และไฮบริด) ที่ฉันได้เห็นทำผิดพลาดและเป็นข้อผิดพลาดอย่างมากในการสอน $T$

โปรดทราบว่า DTFT ของและการแปลงฟูริเยร์ของสัญญาณตัวอย่างคือด้วยขนาดที่เหมาะสมเหมือนจริง: $x[n]$ $x_\text{s}(t)$

DTFT: start

\begin{aligned} X_{D T F T} (ω) & ≜ Z {x [n]} |_{Z = {อี}^{J ω}} \\ = X_{Z} ({อี}^{J ω}) \\ = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] {อี}^{- J ω n} \end{aligned}

$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$

มันสามารถแสดงให้เห็นว่า

X_{D T F T} (ω) = X_{Z} ({อี}^{J ω}) = \frac{1}{T} X_{s} (J 2 π ฉ) |_{ฉ = \frac{ω}{2 π T}}

$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$

คณิตศาสตร์ข้างต้นเป็นจริงหรือไม่ว่าเป็น "ตัวอย่างที่เหมาะสม" หรือไม่ คือ "สุ่มตัวอย่างอย่างเหมาะสม" ถ้า สามารถกู้คืนได้อย่างสมบูรณ์จากตัวอย่าง และความรู้เกี่ยวกับอัตราการสุ่มตัวอย่างหรือระยะเวลาการสุ่มตัวอย่าง ทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างบอกเราว่าจำเป็นต้องกู้คืนหรือสร้างจากและอีกครั้ง $x(t)$ $x(t)$ $x(t)$ $x[n]$ $x(t)$ $x[n]$ $T$

ถ้าเป็นbandlimitedบาง bandlimitนั่นหมายความว่า $x(t)$ $B$

X (J 2 π ฉ) = 0 เพื่อทุกสิ่ง | ฉ | > B

$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$

พิจารณาสเปกตรัมของสัญญาณตัวอย่างที่สร้างขึ้นจากภาพที่ถูกขยับจากต้นฉบับ:

X_{s} (J 2 π ฉ) = Σ_{k = - \infty}^{+ \infty} X (J 2 π (ฉ - k ฉ_{s}))

$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$

สเปกตรัมเดิมสามารถกู้คืนได้จากสเปกตรัมตัวอย่างหากไม่มีภาพที่เลื่อน,ซ้อนทับเพื่อนบ้านที่อยู่ติดกัน ซึ่งหมายความว่าขอบด้านขวาของภาพ -th (ซึ่งคือ ) ต้องอยู่ทางด้านซ้ายของขอบด้านซ้ายของ ( ) -th รูปภาพ (ซึ่งคือ ) ปรับปรุงใหม่ทางคณิตศาสตร์ $X(j 2 \pi f)$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k$ $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$ $k+1$ $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$

k ฉ_{s} + B < (k + 1) ฉ_{s} - B

$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$

ซึ่งเทียบเท่ากับ

ฉ_{s} > 2 B

$f_\text{s} > 2B$

หากเราสุ่มตัวอย่างที่อัตราการสุ่มตัวอย่างที่เกินกว่าแบนด์วิดท์สองเท่าไม่มีภาพซ้อนทับสเปกตรัมเดิมซึ่งเป็นภาพที่สามารถสกัดได้จากพร้อมตัวกรอง low-pass ของ brickwall ที่เก็บภาพดั้งเดิม (โดยที่ ) ไม่ถูกปรับสัดส่วนและทิ้งรูปภาพอื่นทั้งหมด นั่นหมายความว่ามันจะคูณภาพต้นฉบับด้วย 1 และคูณรูปภาพอื่นทั้งหมดด้วย 0 $X(j 2 \pi f)$ $k=0$ $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ $k=0$

\begin{aligned} X (J 2 π ฉ) & = ดูแลรักษา (\frac{ฉ}{ฉ_{s}}) \cdot X_{s} (J 2 π ฉ) \\ = H (J 2 π ฉ) X_{s} (J 2 π ฉ) \end{aligned}

$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$

กรองฟื้นฟูคือ

H (J 2 π ฉ) = ดูแลรักษา (\frac{ฉ}{ฉ_{s}})

$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$

และมีการตอบสนองแรงกระตุ้นแบบ สุ่ม :

ชั่วโมง (เสื้อ) = F^{- 1} {H (J 2 π ฉ)} = ฉ_{s} sinc (ฉ_{s} เสื้อ)

$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$

การดำเนินการกรองแสดงเป็นคูณในโดเมนความถี่จะเทียบเท่ากับการบิดในโดเมนเวลา:

\begin{aligned} x (เสื้อ) & = ชั่วโมง (เสื้อ) ⊛ x_{s} (เสื้อ) \\ = ชั่วโมง (เสื้อ) ⊛ T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (เสื้อ - n T) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (ชั่วโมง (เสื้อ) ⊛ δ (เสื้อ - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] ชั่วโมง (เสื้อ - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] (ฉ_{s} sinc (ฉ_{s} (เสื้อ - n T))) \\ = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (ฉ_{s} (เสื้อ - n T)) \\ = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (\frac{เสื้อ - n T}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$

ซึ่งจะมีการอธิบายวิธีการสร้างต้นแบบใหม่จากตัวอย่างและความรู้เกี่ยวกับอัตราการสุ่มตัวอย่างหรือระยะเวลาการสุ่มตัวอย่าง $x(t)$ $x[n]$

ดังนั้นสิ่งที่ออกมาจากDigital-to-Analog Converter (DAC) ที่ใช้งานได้จริงจึงไม่ใช่

Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] sinc (\frac{เสื้อ - n T}{T})

$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$

ซึ่งไม่ต้องการการรักษาเพิ่มเติมเพื่อกู้คืนหรือ $x(t)$

x_{s} (เสื้อ) = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] T δ (เสื้อ - n T)

$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$

ซึ่งด้วย brickwall LPF ในอุดมคติจะกู้คืนโดยการแยกและรักษาภาพเบสแบนด์และยกเลิกภาพอื่น ๆ ทั้งหมด $x(t)$

สิ่งที่ออกมาจาก DAC ทั่วไปหากไม่มีการประมวลผลหรือปรับสเกลสัญญาณดิจิทัลให้เป็นค่าที่ค่าคงที่จนกว่าค่าตัวอย่างถัดไปจะถูกส่งออก ส่งผลให้ฟังก์ชั่นค่าคงที่ทีละชิ้น : $x[n]$

x_{DAC} (เสื้อ) = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] ดูแลรักษา (\frac{เสื้อ - n T - \frac{T}{2}}{T})

$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$

หมายเหตุ: ความล่าช้าของระยะเวลาตัวอย่างนำไปใช้กับฟังก์ชั่น มันทำให้เกิดสาเหตุ มันหมายถึงว่า $\frac{1}{2}$ $\operatorname{rect}(\cdot)$

x_{DAC} (เสื้อ) = x [n] = x (n T) เมื่อไหร่ n T \leq เสื้อ < (n + 1) T

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$

ระบุไว้แตกต่างกัน

x_{DAC} (เสื้อ) = x [n] = x (n T) สำหรับ n = ชั้น (\frac{เสื้อ}{T})

$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$

ที่เป็นฟังก์ชั่นชั้น , กำหนดให้เป็นเลขที่ใหญ่ที่สุดไม่เกินU $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ $u$

เอาต์พุต DAC นี้ถูกสร้างแบบจำลองโดยตรงเป็นระบบtime-invariant เชิงเส้น (LTI)หรือตัวกรองที่ยอมรับสัญญาณตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบและสำหรับแต่ละแรงกระตุ้นในสัญญาณตัวอย่างที่ดีเลิศเอาท์พุทการตอบสนองแรงกระตุ้นนี้: $x_\text{s}(t)$

{ชั่วโมง}_{Zoh} (เสื้อ) = \frac{1}{T} ดูแลรักษา (\frac{เสื้อ - \frac{T}{2}}{T})

$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$

เสียบปลั๊กเพื่อตรวจสอบสิ่งนี้ ...

\begin{aligned} x_{DAC} (เสื้อ) & = {ชั่วโมง}_{Zoh} (เสื้อ) ⊛ x_{s} (เสื้อ) \\ = {ชั่วโมง}_{Zoh} (เสื้อ) ⊛ T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] δ (เสื้อ - n T) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] ({ชั่วโมง}_{Zoh} (เสื้อ) ⊛ δ (เสื้อ - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] {ชั่วโมง}_{Zoh} (เสื้อ - n T)) \\ = T Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] \frac{1}{T} ดูแลรักษา (\frac{เสื้อ - n T - \frac{T}{2}}{T}) \\ = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] ดูแลรักษา (\frac{เสื้อ - n T - \frac{T}{2}}{T}) \end{aligned}

$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$

เอาต์พุต DAC , เป็นเอาต์พุตของระบบ LTI ที่มีการตอบสนองแบบอิมพัลส์เห็นด้วยกับการสร้างค่าคงที่แบบชิ้นด้านบน และอินพุตของระบบ LTI นี้คือสัญญาณตัวอย่างปรับขนาดอย่างรอบคอบเพื่อให้ภาพเบสแบนด์ของเหมือนกับสเปคตรัมของสัญญาณดั้งเดิมที่ถูกสุ่มตัวอย่าง(t) นั่นคือ $x_\text{DAC}(t)$ $h_\text{ZOH}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x_\text{s}(t)$ $x(t)$

X (J 2 π ฉ) = X_{s} (J 2 π ฉ) สำหรับ - \frac{ฉ_{s}}{2} < ฉ < + \frac{ฉ_{s}}{2}

$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$

สเปกตรัมสัญญาณดั้งเดิมนั้นเหมือนกับสเปกตรัมสุ่มตัวอย่าง แต่สำหรับรูปภาพทั้งหมดที่ปรากฏเนื่องจากการสุ่มตัวอย่างถูกละทิ้ง

ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของระบบ LTI นี้ซึ่งเราเรียกว่าZero-order hold (ZOH)คือการแปลง Laplaceของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น:

\begin{aligned} H_{Zoh} (s) & = L {{ชั่วโมง}_{Zoh} (เสื้อ)} \\ ≜ \int_{- \infty}^{+ \infty} {ชั่วโมง}_{Zoh} (เสื้อ) {อี}^{- s เสื้อ} d เสื้อ \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} ดูแลรักษา (\frac{เสื้อ - \frac{T}{2}}{T}) {อี}^{- s เสื้อ} d เสื้อ \\ = \int_{0}^{T} \frac{1}{T} {อี}^{- s เสื้อ} d เสื้อ \\ = \frac{1}{T} \frac{1}{- s} {อี}^{- s เสื้อ} |_{0}^{T} \\ = \frac{1 - {อี}^{- s T}}{s T} \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$

การตอบสนองความถี่นั้นได้มาจากการแทนที่ $j 2 \pi f \rightarrow s$

\begin{aligned} H_{Zoh} (J 2 π ฉ) & = \frac{1 - {อี}^{- J 2 π ฉ T}}{J 2 π ฉ T} \\ = {อี}^{- J π ฉ T} \frac{{อี}^{J π ฉ T} - {อี}^{- J π ฉ T}}{J 2 π ฉ T} \\ = {อี}^{- J π ฉ T} \frac{บาป (π ฉ T)}{π ฉ T} \\ = {อี}^{- J π ฉ T} sinc (ฉ T) \\ = {อี}^{- J π ฉ T} sinc (\frac{ฉ}{ฉ_{s}}) \end{aligned}

$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$

สิ่งนี้บ่งชี้ว่าตัวกรองเฟสเชิงเส้นที่มีความล่าช้าอย่างต่อเนื่องของช่วงเวลาครึ่งตัวอย่างและด้วยอัตราขยายที่ลดลงเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น นี่เป็นเอฟเฟ็กต์ตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำแบบอ่อน ที่ DC, , อัตราขยายคือ 0 dB และที่ Nyquist,อัตราขยายคือ -3.9224 dB ดังนั้นภาพเบสแบนด์จึงมีส่วนประกอบความถี่สูงลดลงเล็กน้อย $\frac{T}{2}$ $f$ $f=0$ $f=\frac{f_\text{s}}{2}$

เช่นเดียวกับสัญญาณตัวอย่าง $x_\text{s}(t)$ มีภาพในสัญญาณตัวอย่างที่จำนวนเต็มทวีคูณของความถี่การสุ่มตัวอย่าง แต่ภาพเหล่านั้นจะลดลงอย่างมีนัยสำคัญในความกว้าง (เทียบกับ ภาพเบสแบนด์) เนื่องจากผ่านศูนย์เมื่อสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ 0 ซึ่งอยู่ตรงกลางของภาพเหล่านั้น $x_\text{DAC}(t)$ $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ $f = k\cdot f_\text{s}$ $k$

สรุป:

Zero-order hold (ZOH) เป็นตัวแบบเวลาเชิงเส้นคงที่ของการสร้างสัญญาณใหม่โดย Digital-to-Analog converter (DAC) ที่ใช้งานได้จริงที่เก็บค่าคงที่เอาต์พุตที่ค่าตัวอย่างจนกระทั่งได้รับการปรับปรุงโดย ตัวอย่างต่อไป1] $x[n]$ $x[n+1]$
ตรงกันข้ามกับความเข้าใจผิดที่พบบ่อย ZOH มี อะไรจะทำอย่างไรกับวงจรตัวอย่างและถือ (S / H)หนึ่งอาจพบว่าก่อนหน้านี้แปลงสัญญาณอนาล็อกเป็นดิจิตอล (ADC) ตราบใดที่ DAC เก็บเอาท์พุทเป็นค่าคงที่ตลอดระยะเวลาการสุ่มตัวอย่างแต่ละครั้งมันไม่สำคัญว่า ADC จะมี S / H หรือไม่ผล ZOH จะยังคงอยู่ ถ้า DAC ผลบางสิ่งบางอย่างอื่นมากกว่าการส่งออกค่คงที่ (เช่นลำดับของพัลส์แคบจุดมุ่งหมายเพื่อกระตุ้น Dirac โดยประมาณ) ภาพข้างต้นเป็นแล้วผล Zoh คือไม่ได้ในปัจจุบัน (อย่างอื่นคือ แทน) ไม่ว่าจะมีวงจร S / H นำหน้า ADC หรือไม่ $x_\text{DAC}(t)$
ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนสุทธิของ ZOH คือและการตอบสนองความถี่สุทธิของ ZOH คือ หนังสือเรียนจำนวนมากปล่อยให้ตัวประกอบในตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอนและนั่นเป็นข้อผิดพลาด
$H_{Zoh} (s) = \frac{1 - {อี}^{- s T}}{s T}$ $H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$ $H_{Zoh} (J 2 π ฉ) = {อี}^{- J π ฉ T} sinc (ฉ T)$ $H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$ $T$
ZOH จะลดรูปภาพของสัญญาณตัวอย่างอย่างมีนัยสำคัญ แต่ไม่ได้กำจัด หากต้องการกำจัดภาพเราต้องใช้ตัวกรองความถี่ต่ำที่ดีเหมือนเมื่อก่อน Brickwall LPF เป็นอุดมคติ LPF ที่ใช้งานจริงอาจลดทอนภาพเบสแบนด์ (ที่เราต้องการเก็บไว้) ที่ความถี่สูงและการลดทอนนั้นจะต้องถูกนำมาพิจารณาเช่นเดียวกับการลดทอนซึ่งเป็นผลมาจาก ZOH (ซึ่งน้อยกว่า 3.9224 dB การลดทอน) ZOH ยังชะลอสัญญาณโดยช่วงเวลาครึ่งตัวอย่างซึ่งอาจต้องนำมาพิจารณา (พร้อมกับความล่าช้าของ anti-imaging LPF) โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า ZOH อยู่ในข้อเสนอแนะ $x_\text{s}(t)$

— โรเบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน
แหล่งที่มา

ฉันจะยอมรับคำตอบของคุณสะอาดและละเอียดกว่าของฉันเล็กน้อย ฉันยังคงสงสัยว่าอะไรคือการเปิดเผยครั้งใหญ่? บางทีคุณอาจต้องการเน้นย้ำการถือออเดอร์ซีโร่เป็นแบบจำลองของเอาท์พุต DAC?

— Timo

คำตอบของคุณมีข้อผิดพลาดบางอย่าง ตัวอย่างเช่นจะไม่แสดงการหน่วงเวลา 1/2 ตัวอย่างในการตอบสนองความถี่ ขออภัยที่สิ่งต่าง ๆ เกิดขึ้นที่เงินรางวัลของเรา (สิ่งที่เป็นของฉันและตอนนี้ควรเป็นของคุณ ) ลงไปในห้องน้ำ

— robert bristow-johnson

ดีฉันพูดถึงมัน (ในอีกต่อไป) แม้ว่าฉันจะแปรงมันใต้พรมซึ่งฉันคิดว่าฉันทำเพราะส่วนใหญ่คิดเกี่ยวกับ DSP ในแง่ของเสียงที่มีความล่าช้าตัวอย่าง 1/2 ไม่มีนัยสำคัญ (เว้นแต่ มีเส้นทางอื่นซึ่งนำเสนอสำเนาที่ยังไม่ได้เผยแพร่) โดยพื้นฐานแล้วฉันไม่ต้องการที่จะนำปัจจัยของไปจนจบนั่นคือส่วนหนึ่งของสิ่งที่ฉันพูดว่า

e^{- i π f T}

$e^{-i \pi f T}$

— Timo

@Timo ตอนนี้คุณมีตัวแทนเป็นสองเท่าของฉัน เมื่อไหร่คุณจะโพสต์ค่าหัวที่ฉันสามารถแทงได้? :-)

— robert bristow-johnson

ยุติธรรมพอฉันควรลองนึกถึงบางสิ่ง: D

— Timo