S = VI * / 2 มา

ฉันสงสัยว่าฉันจะหาที่มาของสูตรพลังงานที่ซับซ้อนได้อย่างไร S = VI * / 2 โดยที่ S, V และฉันเป็นเฟสเซอร์ที่ซับซ้อน

ฉันเคยเห็นการยืนยันทั้งหมดที่ผู้คนย่อยสิ่งต่าง ๆ ลงในสมการเพื่อแสดงว่ามันเกิดขึ้นกับการทำงาน

นี่คือสิ่งที่ฉันรู้เพื่อให้ห่างไกลถ้า $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ และ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ และ $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$ ,
แล้ว $V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ และและ S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— user968243
แหล่งที่มา

คุณจะต้องกำหนด S, V, I และสิ่งที่ "* /" ควรจะหมายถึง

— Olin Lathrop

@OlinLathrop มันเป็น I * สำหรับคอนจูเกตที่ซับซ้อนของ I (ปัจจุบัน) และหารด้วยสองเนื่องจากพวกเขาเป็นทั้งคลื่นบาป (V และ I *) ดังนั้นพวกเขาทั้งสองจึงมีการแปลง RMS ของพวกเขา

— Kortuk

ให้Vกับฉันเป็นแรงดันและกระแสทันทีที่โหลด จากคำจำกัดความของพลังงานแรงดันและกระแสเรามีความสัมพันธ์กับกำลังไฟทันที:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

ซึ่งหมายความว่าพลังงานในทันทีที่กำหนดเท่ากับผลคูณของแรงดันไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าตรงกับทันทีนั้น $t$

ฉันจะสมมติว่าคุณคุ้นเคยกับความหมายของการเป็นตัวแทนเฟสเซอร์ เพียงเพื่อระบุว่าในไม่ช้า: phasor เป็นชวเลขทางคณิตศาสตร์สำหรับการแสดงไซนัสที่ความถี่ที่ไม่รู้จัก

ดังนั้นเป็นชวเลขสำหรับ )ในทำนองเดียวกัน: หมายความว่า ) $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

คูณสำหรับทุกทำให้เรามีรูปแบบของคลื่นของพลังงานทันทีสำหรับทุกๆทีทำงานกับการคูณนั้น: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

ในฐานะที่เป็น, กับและ, เราสามารถทำให้สมการข้างบนง่ายขึ้น: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

รูปแบบของคลื่นนี้ค่อนข้างน่าสนใจสำหรับตัวเอง: มันเป็นค่าคงที่ สรุปโดยไซน์ $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ ] $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่ากำลังไฟทันทีไม่คงที่ตามกาลเวลา

จากผลดังกล่าวเราจะเห็นได้ว่ากำลังเฉลี่ยเท่ากับองค์ประกอบที่ไม่แปรเปลี่ยนของ (มันค่อนข้างตรงไปตรงมาเพื่อพิสูจน์ว่าทางคณิตศาสตร์เราต้องแก้อินทิกรัล $s(t)$ ) $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

แรงบันดาลใจจากผลลัพธ์นี้และจากการตีความเชิงเรขาคณิตที่น่ารักของค่านั้นได้ถูกกำหนดให้เป็นพลังที่แท้จริงนั่นคือพลังที่ส่งไปยังโหลดจริง ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าสิ่งนี้เรียกว่าพลังที่แท้จริงนั้นไม่ได้มีอะไรมากไปกว่ากำลังเฉลี่ยที่โหลด $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

ดำน้ำในแนวคิดนี้เล็กน้อย (มันน่ากลัวที่ฉันวาดไม่ได้ที่นี่ แต่ฉันจะลอง):

ให้vเป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด || v || และเฟสและฉันเป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด || i || และเฟส หากคุณคูณ || i || โดยคุณมีการประมาณการของฉันกว่าโวลต์ บนมืออื่น ๆถูกกล่าวว่าเป็นองค์ประกอบของiในการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับv $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ .

ตอนนี้คุณสามารถเข้าใจว่าทำไมพลังงานเฉลี่ยมีการตีความทางเรขาคณิตที่ยอดเยี่ยม: พลังงานเฉลี่ยคือแรงดันไฟฟ้าคูณด้วยภาพของกระแสเหนือแรงดันบนพื้นที่เฟสเซอร์

สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดการสร้างพลังที่ซับซ้อนSเมื่อ:

S = P + jQ

ด้วยคำจำกัดความนี้ส่วนที่แท้จริงของเวกเตอร์คือค่าเฉลี่ยกำลังไฟฟ้าที่ส่งไปยังโหลดและส่วนที่ซับซ้อนคือกำลังที่บอกว่าอยู่ในพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่าพลังงานปฏิกิริยา (google สำหรับ Power Triangle เพื่อดูการตีความเชิงเรขาคณิตของผลลัพธ์นี้) .

ตกลงตอนนี้กลับไปที่คำจำกัดความเราจะเห็นว่า $s(t)$ และตามคำจำกัดความและเพื่อให้สอดคล้องกับคำจำกัดความของ S เท่ากับ $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

ดังนั้นตามที่เราต้องการพิสูจน์ที่จุดเริ่มต้น:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

ดังนั้นไปที่นั่นสิ่งที่คุณต้องการเห็น;)

แก้ไข : การตีความทางกายภาพของ Q คืออะไร?

ฉันได้แสดงให้เห็นข้างต้นว่าการตีความทางกายภาพของส่วนที่แท้จริงของพลังเชิงซ้อนคือ P คือพลังเฉลี่ยที่ส่งไปยังโหลด แต่อะไรคือสิ่งที่ Q เราจะมองเห็นภาพได้อย่างไร มันขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่า cos และ sin เป็นแบบมุมฉากและหลักการของการซ้อนทับสามารถนำไปใช้กับพลังงานได้หากรูปคลื่นทั้งสองที่เกี่ยวข้องในการคำนวณนั้นเป็นมุมฉาก ลองเข้าสู่คณิตศาสตร์เพราะนั่นคือสิ่งที่สำคัญจริงๆ

การใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับด้านบน: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

กรณีแรก: โหลดตัวต้านทานอย่างหมดจดดังนั้น

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

นั่นคือซายน์ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

นั่นคือรูปแบบของคลื่นกวัดแกว่งล้วนมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 ขอเรียกผลนี้Q

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

ในกรณีนี้ s (t) เป็นสมการทั่วไปที่เราพบในการสนทนาข้างต้น แต่เราสามารถเขียนซ้ำเพื่อใช้ประโยชน์จากสองกรณีก่อนหน้าดังนี้:

$\theta$ $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

การจัดเรียงข้อกำหนดใหม่:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

การใช้ผลลัพธ์ของสองกรณีแรกข้างต้น:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์ใช่มั้ย นั่นหมายความว่าอย่างไร?

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

$i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$

มาลองกัน:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$

$\omega t + \phi_V = u$ $\theta = v$

ด้วยความสัมพันธ์:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

เรามี:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

สิ่งที่เราต้องการเพื่อเขียน i (t) เป็นผลรวมของสององค์ประกอบ: หนึ่งในเฟสด้วย v (t) และหนึ่งในการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับ v (t)!

ตอนนี้ผลของกรณีที่ 3 ที่สามารถอธิบาย: ฉัน (t) สามารถย่อยสลายในสองส่วนดังแสดงข้างต้นและพลังงานที่สร้างขึ้นมาโดย i (t) มีค่าเท่ากับพลังงานที่สร้างขึ้นโดยหนึ่งในองค์ประกอบเหล่านี้ในแต่ละรายบุคคล โอ้โหเหมือนกับการวางซ้อน แต่สำหรับพลัง! ( โปรดจำไว้ว่านี่เป็นความจริงเท่านั้นและได้รับการพิสูจน์แล้วข้างต้นเพราะ cos และบาปเป็นฉากตั้ง )

ดังนั้นQคือปริมาณพลังงานที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบของ i (t) ที่อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับ v (t) มันสั่นอย่างหมดจดและไม่มีค่าเฉลี่ย

Pคือปริมาณพลังงานที่สร้างขึ้นโดยส่วนประกอบของ i (t) ที่อยู่ในเฟสด้วย v (t) มันสั่น แต่มีค่าเฉลี่ยที่เท่ากับกำลังเฉลี่ยที่ส่งไปยังโหลด

และพลังงานเชิงซ้อนS , พลังงานทั้งหมดนั้นคือผลรวมขององค์ประกอบทั้งสองนี้

— Castilho
แหล่งที่มา

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$

อ๋อ คุณพูดถูกใช่มั้ย Q. พลังงานรีแอคทีฟถูกกำหนดในแง่ของความแตกต่างของเฟสระหว่างแรงดันและความตึงเครียดและเป็นค่าที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับคำจำกัดความของ S ในฐานะเฟสเซอร์ มันคือพลังงานที่จะถูกส่งโดยกระแสไฟฟ้าในรูปสี่เหลี่ยมกับแรงดันไฟฟ้า องค์ประกอบที่แตกต่างกันของเวลาไม่ได้ถูกนำมาพิจารณาเนื่องจากในแง่นี้สิ่งที่สำคัญจริงๆคือกำลังเฉลี่ยที่โหลด ส่วน EXISTS ที่แตกต่างกันมีอยู่จริง (เช่นดูหลอดไส้) แต่เมื่อเวลาผ่านไปพลังงานจะเกี่ยวข้องเฉพาะกับส่วนคงที่ของ s (t) ;)

— Castilho

โอเคส่วนที่แตกต่างนี้มีชื่อพิเศษหรือไม่ อย่างไรก็ตามถ้าฉันเข้าใจอย่างถูกต้องปริมาณของฉันในทิศทางของ V คือพลังที่แท้จริงและปริมาณของฉันที่ตั้งฉากกับ V คือพลังที่ซับซ้อน

— user968243

เกือบนั้นปริมาณของฉันในทิศทางของ V คูณด้วย V คือพลังที่แท้จริง P จำนวนของฉันที่ตั้งฉากกับ V คูณด้วย V คือพลังปฏิกิริยา Q, P + jQ คือพลังงานที่ซับซ้อนหรือพลังที่ชัดเจน;)

— Castilho

ตกลงนั่นเหมาะสมแล้ว! ที่จริงแล้วในความคิดเห็นก่อนหน้าของฉันฉันถามว่าชื่อนี้คืออะไร: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕ ฉัน) ฉันคิดว่ามันเป็นพลังปฏิกิริยา ... ขอบคุณสำหรับตัวแทนของคุณโดยวิธีฉันขอบคุณ!

— user968243