คลื่นสามเหลี่ยมจะมีองค์ประกอบของไซน์หรือไซนัสไม่ จำกัด หรือไม่?

22

ความไม่ต่อเนื่องทำให้สัญญาณมีองค์ประกอบไซน์ไม่สิ้นสุด แต่คลื่นสามเหลี่ยมต่อเนื่องฉันจึงเข้าเรียนในชั้นเรียนซึ่งผู้สอนบอกว่าเนื่องจากคลื่นสามเหลี่ยมต่อเนื่องสามารถแทนด้วยจำนวนองค์ประกอบไซน์ที่ จำกัด และยังแสดงให้เห็นว่า การเพิ่มความถี่ไซน์ไซด์ในหลายความถี่ซึ่งทำให้รูปร่างของคลื่นสามเหลี่ยมบริสุทธิ์

ปัญหาเดียวที่ฉันมีอยู่ในใจก็คืออนุพันธ์ของคลื่นสามเหลี่ยมไม่ต่อเนื่องเพราะมันเป็นคลื่นที่สองและด้วยเหตุนี้จึงจำเป็นต้องมีผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดของไซนัสดังนั้นถ้าหนึ่ง derivates ทั้งสองด้านของสูตรของอนุกรมฟูริเยร์ของคลื่นสามเหลี่ยม เราจะได้คลื่นสี่เหลี่ยมที่แสดงเป็นผลรวมของจำนวนไซนัสที่มีจำนวน จำกัด นั่นจะไม่ผิดหรือเปล่า?

fourier

— Mohedad Syed โมฮัมหมัด
แหล่งที่มา

10

คลื่นสามเหลี่ยมมีชุดฟูเรียร์แบบ infinate โปรดทราบว่าผู้สอนผิดพลาด

— ออทิสติก

อาจารย์ของคุณพูดว่าอย่างไรเมื่อคุณถามเขา

— Solar Mike

5

@Syed Mohammad Asjad: การใช้เหตุผลของคุณกับอนุพันธ์นั้นถูกต้อง บางทีคุณอาจมีความเข้าใจในเรื่องนี้ดีกว่าผู้สอนของคุณ

— นมเปรี้ยว

6

ในความเป็นจริงเพื่อให้มีอนุกรมฟูริเยร์ที่ จำกัด ฟังก์ชันและอนุพันธ์ทั้งหมดจะต้องต่อเนื่อง อนุพันธ์ทั้งหมดของไซน์ซอยด์นั้นต่อเนื่องและนี่ก็เป็นจริงของผลรวมของไซนัสอยด์ จำกัด

— Dave Tweed

1

ไม่ใช่คำตอบ แต่: ชุดฟูเรียร์ที่มีสัมประสิทธิ์ จำกัด ค่อนข้าง จำกัด ฟังก์ชันส่วนใหญ่มีอนุกรมฟูริเยร์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด อย่างไรก็ตามฟังก์ชั่นที่ราบรื่นยิ่งมีการสลายตัวของสัมประสิทธิ์ที่ไม่สิ้นสุด ถ้าฟังก์ชั่นเป็น k คูณอนุพันธ์กับขอบเขตที่ จำกัด แล้วค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ (c_n) จะสลายตัวเร็วเท่ากับ 1 / n ^ (k + 1) เท่าที่เห็นได้จากการเหนี่ยวนำ สำหรับฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ (ฟังก์ชั่นที่มีชุดเทย์เลอร์แบบบรรจบกันคือแม้จะนุ่มนวลกว่าความแตกต่างอย่างไม่มีที่สิ้นสุด) การสลายตัวคือเลขชี้กำลัง สามเหลี่ยมมีชุดฟูริเยร์ที่มีค่าเท่ากับ 1 / n ^ 2

— Alexandre C.

21

คลื่นสามเหลี่ยมต่อเนื่อง

อ้างอิงจากที่นี่ : -

คลื่นสามเหลี่ยมไม่มีการกระโดดที่ไม่ต่อเนื่อง แต่ความลาดชันจะเปลี่ยนอย่างไม่ต่อเนื่องสองครั้งต่อรอบ

การมีการเปลี่ยนแปลงความชันไม่ต่อเนื่องหมายถึงช่วงขององค์ประกอบไซน์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่นหากคุณรวมเวลากับคลื่นสี่เหลี่ยมคุณจะสร้างคลื่นสามเหลี่ยม แต่ Hamonics ทั้งหมดของคลื่นสี่เหลี่ยมดั้งเดิมยังคงปรากฏหลังจากการรวมเวลา: -

— แอนดี้อาคา
แหล่งที่มา

ได้รับความคิดเดียวกันตัวแทน graohical ช่วยมาก, ขอบคุณ :)

— ไซโมฮัมหมัด Asjad

21

ผู้สอนกล่าวว่าเนื่องจากคลื่นสามเหลี่ยมนั้นต่อเนื่องมันสามารถถูกแทนด้วยจำนวน จำกัด ของไซน์

คุณอาจไม่ได้รับสิทธิ์นี้หรือผู้สอนผิดพลาด มันไม่เพียงพอสำหรับสัญญาณที่จะต่อเนื่อง แต่อนุพันธ์ทั้งหมดต้องต่อเนื่องเช่นกัน หากมีความไม่ต่อเนื่องในอนุพันธ์ใด ๆ สัญญาณที่เกิดซ้ำจะมีฮาร์โมนิกอนุกรม

สามเหลี่ยมเป็นแบบต่อเนื่อง แต่อนุพันธ์แรกของมันคือคลื่นสี่เหลี่ยมซึ่งไม่ต่อเนื่อง คลื่นสามเหลี่ยมจึงมีฮาร์มอนิกไม่ จำกัด

— แลงทรอฟ
แหล่งที่มา

1

Nope ไม่ได้ฟังผิดและเขาก็ไม่ได้พลาดเพราะเขาพูดสองครั้งแล้วก็ถามชั้นเรียนต่อในสิ่งที่เขาพูดและสิ่งที่ฉันคิดว่า :)

— Syed Mohammad Asjad

@SyedMohammadAsjad คุณทั้งคู่ถูกต้อง จาก google; misspeak: "แสดงตัวตนในวิธีที่ชัดเจนหรือไม่ถูกต้อง" ฉันคิดว่าหนึ่งในคุณกำลังใช้ "ไม่เพียงพอชัดเจน" และอีกคนกำลังใช้ "ไม่แม่นยำเพียงพอ"

— uhoh

แม้ว่าถ้อยคำของคำตอบนี้จะแนะนำค่อนข้างจริงความจริงที่ว่ามีอนุพันธ์ (และด้วยเหตุนี้ต่อเนื่องโดยการดำรงอยู่ของอนุพันธ์ถัดไป) ก็ยังห่างไกลจากความเพียงพอสำหรับการมีอนุกรมฟูริเยร์ จำกัด อนุกรมฟูริเยร์ส่วนใหญ่สำหรับสัญญาณเป็นระยะ ๆ อย่างไรก็ตามเรียบ (ระดับ $ \ mathcal C ^ \ infty $ หรือแม้แต่การวิเคราะห์) มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนมากมาย มันยากที่จะเกิดขึ้นกับคำอธิบายของผู้ที่ไม่ได้นอกเหนือจาก "ผลรวมแน่นอนของ sines และ cosines" ความเรียบเนียนทั้งหมดนั้นหมายถึงว่าค่าสัมประสิทธิ์มีแนวโน้มที่จะเป็น 0

— Marc van Leeuwen

ตัวกรองอิฐสามารถทำให้จำนวนฮาร์โมนิค จำกัด และยังคงมีลักษณะ / \ / \ / \ / \ / \ / trinagular อย่างน้อย 20 ห่างจาก infinte

— Tony Stewart Sunnyskyguy EE75

11

หลักฐานทางคณิตศาสตร์:

ใช้ฟังก์ชั่นที่สร้างขึ้นจากผลรวมถ่วงน้ำหนักขององค์ประกอบไซน์ / โคไซน์ จำกัด

อนุพันธ์ของมันยังเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของอนุกรมไซน์ / โคไซน์ จำกัด เช่นเดียวกันถ้าคุณใช้จำนวนครั้งใด ๆ

เนื่องจากไซน์และโคไซน์นั้นต่อเนื่องฟังก์ชันและอนุพันธ์ทั้งหมดจึงต่อเนื่อง

ดังนั้นฟังก์ชั่นที่มีความไม่ต่อเนื่องในอนุพันธ์ใด ๆ ของมันไม่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยองค์ประกอบไซน์ / โคไซน์อัน จำกัด

— peufeu
แหล่งที่มา

สิ่งที่ผมได้คิดว่าขอบคุณ :)

— ไซโมฮัมหมัด Asjad

ควรเป็น "ไซน์และโคไซน์เรียบ" ไม่เพียง แต่ต่อเนื่อง - แต่ส่วนสำคัญถูกต้องผลรวมที่แน่นอนของไซน์และโคไซน์นั้นราบเรียบดังนั้นจึงไม่สามารถหยุดอยู่ในอนุพันธ์ใด ๆ ของมันได้

— นิมิต

1

@nimish เขาพิสูจน์ได้ว่าอนุพันธ์ทั้งหมดเป็นผลรวมอัน จำกัด ของ (co) sines ดังนั้นเขาต้องการเพียงความต่อเนื่องของ (co) sines ไม่ใช่ความราบรื่น :-)

— yo '11

ใช่พลาดเลย แม้ว่าจากการวิเคราะห์ของ $ \ exp (z) $ สำหรับ $ z \ ใน \ mathbb {C} $ มันก็ยังคงตามมาเล็กน้อย

— นิมิต

ความรุ่งโรจน์สำหรับคำตอบทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายคณิตศาสตร์แทนที่จะวางมัน!

— uhoh

7

คำตอบที่ดีดาษดื่นที่นี่ แต่จริงๆมันขึ้นอยู่กับการตีความของคุณ"สามารถแสดงโดย"

เราต้องเข้าใจว่าคลื่นสามเหลี่ยมเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีที่ไม่มีอยู่จริงในความเป็นจริง

การพูดทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้รูปคลื่นบริสุทธิ์คุณจะต้องมีคลื่นไซน์นินจำนวนอนันต์ แต่เพื่อให้ได้รูปคลื่นสามเหลี่ยมส่วนใหญ่ขององค์ประกอบเหล่านั้นเล็กเกินไปที่จะสำคัญหายไปในเสียงพื้นหลังของ ระบบหรือมีความถี่สูงดังกล่าวไม่สามารถส่งได้อีกต่อไป

ดังนั้นในทางปฏิบัติคุณต้องมีจำนวน จำกัด เพื่อให้ได้การแทนที่ใช้งานได้ ความดีที่คุณต้องการให้การเป็นตัวแทนนั้นกำหนดจำนวนฮาร์มอนิกที่คุณต้องการใช้

— Trevor_G
แหล่งที่มา

1

นั่นเป็นหนึ่งในสิ่งที่ต้องดูฉันจะถามอาจารย์ของฉันอย่างแน่นอนถ้าเขาหมายความว่าเพราะคุณถูกต้องในความเป็นจริงเราจะไม่ไปความถี่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดเลยแม้แต่ในคลื่นสี่เหลี่ยม (ซึ่งไม่ใช่ของ) t a pure square) :)

— Syed Mohammad Asjad

ในขณะที่คุณพูดถูกว่าคลื่นสามเหลี่ยมเป็นโครงสร้างคณิตศาสตร์การใช้เหตุผลของคุณผิด ความจริงที่ว่าคุณไม่สามารถทำให้มันเป็นฮาร์โมนิกจำนวนมากไม่ได้พิสูจน์ว่าคุณไม่สามารถทำมันได้เลย

— yo '11

@yo 'แน่นอนว่าเป็นสิ่งหนึ่งที่ฉันคิดว่าพวกเราหลายคนมีช่วงเวลาที่ลำบาก หากคลื่นสามเหลี่ยม = จำนวนคลื่นไซน์ที่ไม่สิ้นสุดในบางจุดคุณไม่สามารถเพิ่มหรือส่งฮาร์โมนิกได้ ถ้ามันเป็นแค่คลื่นสามเหลี่ยม .... ที่สร้างโดยวิธีอื่น ... แล้วอะไร ... คุณจะส่งมันอย่างไร .. และสิ่งที่ถ่ายทอดนั้นรู้ถึงความแตกต่างอย่างไร ... ทำให้ฉันปวดหัวคิด เกี่ยวกับมัน .. โดยทั่วไปแม้ว่ามันจะเป็นเพียงแค่เส้นลวดหรือแผ่น PCB สั้น ๆ ก็ตาม แต่ก็ไม่สามารถบิดเบือนได้

— Trevor_G

1

ความแตกต่างระหว่างอุดมคติทางคณิตศาสตร์และโลกแห่งความเป็นจริงโดยสังเขป

— peterG

3

อีกแนวทางหนึ่ง

ลองเรียก x (t) คลื่นสามเหลี่ยมและ y (t) มันคืออนุพันธ์ซึ่งก็คือคลื่นสี่เหลี่ยมซึ่งไม่ต่อเนื่องกัน

ถ้า x (t) เป็นผลรวมแน่นอนของสัญญาณไซน์, อนุพันธ์ของอนุพันธ์เชิงเส้นของการทำงานนั้น, จะเป็นผลรวมแน่นอนของอนุพันธ์ของสัญญาณไซน์, อีกครั้งคือผลรวมแน่นอนของสัญญาณไซน์

แต่สัญญาณหลังนี้ไม่สามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส y (t) ได้เนื่องจากสัญญาณรวมของสัญญาณไซน์มี จำกัด อย่างต่อเนื่อง ดังนั้นเราจึงมีความขัดแย้ง

ดังนั้น x (t) ต้องมีองค์ประกอบฟูริเยร์ที่ไม่สิ้นสุด

— Lorenzo Donati สนับสนุนโมนิก้า
แหล่งที่มา

2

ฉันเสนอการทดสอบที่ง่ายกว่ามากเพื่อใช้ในการปฏิบัติ หากคลื่นมีมุมที่แหลมคมมันต้องใช้องค์ประกอบของไซนัสที่ไม่สิ้นสุดเพื่อสร้าง

ทำไม? เพราะชุดไซนัส จำกัด ไม่สามารถสร้างมุมที่คมชัดได้ นี่คือการพิสูจน์จากการปฐมนิเทศในกฎการสลายตัวของผลรวม (นั่นคือΣ (a + b) = Σ a + Σ b สำหรับการประชุมสุดยอดที่ จำกัด ทั้งหมดและการสรุปที่ไม่มีที่สิ้นสุดแบบรวมทั้งหมด)

— โจชัว
แหล่งที่มา

1

ชุดฟังก์ชั่นที่สามารถแสดงออกได้โดยอนุกรมฟูริเยร์ จำกัด คือ:

F := {f (x) = a_{0} + \sum_{n}^{n \in N} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x)}

$F:=\{f(x)=a_0+\sum_{n}^{n \in N}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx})\}$

สำหรับชุด จำกัด ทั้งหมดของดัชนีN ระยะโดยระยะที่แสดงให้เห็นความแตกต่างว่าอนุพันธ์คือ (1) อย่างต่อเนื่องและ (2) ยังอยู่ในF ตั้งแต่ที่มาของคลื่นรูปสามเหลี่ยมไม่ต่อเนื่อง, การทำงานของคลื่นสามเหลี่ยมไม่ได้อยู่ในF

หลักฐานนี้จะตามออกต่อเนื่อง แต่ฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องส่วนใหญ่ยังไม่ได้เป็นF เนื่องจากไม่มีฟังก์ชันพหุนามหรือเลขชี้กำลังสามารถแสดงเป็นผลรวมแน่นอนของ sines และ cosines, สมาชิกเพียงคนเดียวของFจึงเป็นสมาชิกที่เขียนออกมาอย่างชัดเจนในรูปแบบข้างต้น

— Jared Goguen
แหล่งที่มา