ทำไมเวลาคงที่ 63.2% และไม่ใช่ 50% หรือ 70%

30

ฉันกำลังศึกษาเกี่ยวกับวงจร RC และ RL ทำไมเวลาคงที่เท่ากับ 63.2% ของแรงดันขาออก ทำไมมันถึงถูกกำหนดให้เป็น 63% และไม่ใช่ค่าอื่นใด?

วงจรเริ่มทำงานที่ 63% ของแรงดันเอาต์พุตหรือไม่ ทำไมไม่อยู่ที่ 50%

— Bala Subramanian
แหล่งที่มา

41

1-e ^ -1 = 0.6321 ...

— Andrew Morton

3

มันเกิดขึ้นพร้อมกับ 1 / แบนด์วิดธ์และเป็นค่าเวลาในความล่าช้าสั่งซื้อครั้งแรก

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$ หรือ

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$ s} ในการสลายกัมมันตรังสีพวกเขาใช้ 50% ('ครึ่งชีวิต')

— บุญชู

1

@AndrewMorton: ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่มันพูดเกี่ยวกับฉันว่าฉันเดาว่าจะเป็นคำตอบจากชื่อ

— Ilmari Karonen

4

@code_monk: น่าสนใจเท่ากับ

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$ ?

— สัตว์ที่กำหนด

3

แค่ nitpick: ค่าคงที่เวลาไม่ได้กำหนดไว้ที่ 63% มันถูกกำหนดให้เป็นค่าผกผันของสัมประสิทธิ์ในเลขชี้กำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (ดูคำตอบที่ยอดเยี่ยมในชุดข้อความนี้) มันเพิ่งปรากฎว่าเป็นผลมาจากมูลค่าของปริมาณหลังจากช่วงเวลาเท่ากับค่าคงที่เวลาอยู่ที่ประมาณ (มีความแม่นยำ 2 หลัก) 63% ของค่าเริ่มต้น

— Lorenzo Donati สนับสนุน Monica

64

คำตอบอื่น ๆ ที่ยังไม่ได้ทำในสิ่งที่ทำให้eพิเศษ: การกำหนดเวลาคงที่เป็นเวลาที่จำเป็นสำหรับบางสิ่งบางอย่างที่จะลดลงโดยปัจจัยของeหมายความว่าในช่วงเวลาใดเวลาอัตราการเปลี่ยนแปลงจะเป็นเช่นนั้น - ถ้า อัตรายังคงดำเนินต่อไป - เวลาที่ต้องใช้ในการสลายตัวเพื่อไม่มีอะไรจะคงที่หนึ่งครั้ง

ตัวอย่างเช่นหากมี 1uF cap และตัวต้านทาน 1M ค่าคงที่เวลาจะเป็นหนึ่งวินาที หากตัวเก็บประจุถูกชาร์จที่ 10 โวลต์แรงดันไฟฟ้าจะลดลงในอัตรา 10 โวลต์ / วินาที หากมีการชาร์จไฟ 5 โวลต์แรงดันไฟฟ้าจะลดลงในอัตรา 5 โวลต์ / วินาที ความจริงที่ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงลดลงเนื่องจากแรงดันหมายความว่าแรงดันไฟฟ้าจะไม่สลายไปจริง ๆ ในหนึ่งวินาที แต่อัตราการลดลง ณ เวลาใด ๆ จะเป็นแรงดันไฟฟ้าปัจจุบันหารด้วยค่าคงที่ของเวลา

หากค่าคงที่เวลาถูกกำหนดให้เป็นหน่วยอื่น ๆ (เช่นครึ่งชีวิต) ดังนั้นอัตราการสลายตัวจะไม่สอดคล้องกับค่าคงที่ของเวลาอีกต่อไป

— SuperCat
แหล่งที่มา

3

นี่อาจเป็นคำตอบที่ดีที่สุดเพราะมันตอบคำถาม " ทำไม? " ในรูปแบบที่จับต้องได้แทนที่จะแสดง " วิธี " ในการคำนวณ

— Bort

ยอดเยี่ยมฉันไม่อยากจะเชื่อเลยว่าฉันไม่เคยเรียนรู้สิ่งนี้มาก่อน! (BTW กราฟจะทำให้คำตอบนี้ยอดเยี่ยมยิ่งขึ้น)

— Reinstate Monica

1

นั่นเป็นข้อมูลเชิงลึกที่ยอดเยี่ยม +1

— Spehro Pefhany

1

"อัตราการลดลงในเวลาใด ๆ จะเป็นแรงดันไฟฟ้าในปัจจุบัน" ฉันคิดว่าในขณะที่ "กระแส" ในบริบทนี้ไม่ชัดเจนความหมายทั้งสองทำงาน

— สะสม

11

@supercat - ฉันได้เพิ่มกราฟตัวอย่างของคุณ อย่าลังเลที่จะแนะนำการเปลี่ยนแปลงใด ๆ

— Reinstate Monica

49

มันสร้างขึ้นในคณิตศาสตร์ของการสลายตัวแบบเอกซ์โปเนนเชียลที่เกี่ยวข้องกับระบบลำดับที่หนึ่ง ถ้าตอบเริ่มต้นที่ความสามัคคีที่ t = 0 แล้วหลังจากที่ "หน่วยของเวลา" หนึ่งตอบเป็น 0.36788เมื่อคุณดูที่ช่วงเวลาหนึ่งคุณจะลบสิ่งนี้จากความเป็นเอกภาพโดยให้ 0.63212 หรือ 63.2% $e^{-1} = 0.36788$

"หน่วยเวลา" เรียกว่า "ค่าคงที่เวลา" ของระบบและมักจะแสดงเป็นτ (tau) การแสดงออกเต็มรูปแบบสำหรับการตอบสนองของระบบในช่วงเวลา (t) คือ

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

ดังนั้นเวลาคงที่เป็นปริมาณที่มีประโยชน์ที่ควรทราบ หากต้องการวัดค่าคงที่ของเวลาโดยตรงคุณวัดเวลาที่ใช้เพื่อให้ได้ 63.2% ของค่าสุดท้าย

ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์มันทำงานได้ว่าค่าคงที่เวลา (เป็นวินาที) เท่ากับ R × C ในวงจร RC หรือ L / R ในวงจร RL เมื่อคุณใช้โอห์มฟาร์และเฮนรีเป็นหน่วยสำหรับค่าส่วนประกอบ ซึ่งหมายความว่าหากคุณทราบค่าคงที่เวลาคุณสามารถรับค่าองค์ประกอบหนึ่งได้ถ้าคุณรู้ค่าอื่น

— เดฟทวีด
แหล่งที่มา

1

สำหรับการชี้แจงแบบทวีคูณหรือเพิ่มขึ้นเราควรใช้การตอบสนองแบบขั้นตอนเพื่อลดความซับซ้อน ดังนั้น e − 1 ก็ถูกนำมาพิจารณาด้วยใช่ไหม

— บาลา Subramanian

@BalaSubramanian: ใช่ถูกต้อง

— Dave Tweed

แต่ฉันมีข้อสงสัยอย่างหนึ่งเช่นในการออกแบบวงจร RC สำหรับตัวจับเวลาหรือตัวนับมันปล่อยและชาร์จในช่วงเวลาที่เฉพาะเจาะจง เป็นช่วงเวลาที่เหมือนกับเวลาคงที่ IC หรืออุปกรณ์ที่จำเป็นต้องหยุดทำงานที่แรงดัน 63% หรือไม่?

— Bala Subramanian

2

- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

11

การสลายตัวของวงจรขนาน RC ที่มีตัวเก็บประจุถูกประจุให้ Vo

$Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

$\tau$

กล่าวอีกนัยหนึ่งค่าคงที่เวลาถูกกำหนดโดยผลิตภัณฑ์ RC (หรืออัตราส่วน L / R) และแรงดันไฟฟ้าตามอำเภอใจดูเหมือนเป็นผลมาจากคำจำกัดความนั้นและวิธีการสลายตัวแบบเอกซ์โปเนนเชียลหรือการชาร์จเกิดขึ้น

เอ็กซ์โพเนนเชียลการสลายตัวเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับกระบวนการทางกายภาพต่าง ๆ เช่นการสลายกัมมันตรังสีการทำความเย็นบางชนิด ฯลฯ และสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง (ODE) ลำดับแรก

สมมติว่าคุณต้องการทราบเวลาที่แรงดันไฟฟ้าเป็น 0.5 ของแรงดันเริ่มต้น (หรือแรงดันสุดท้ายถ้าชาร์จจาก 0) มันคือ (จากด้านบน)

$\ln(0.5)\tau$

$\tau$

— Spehro Pefhany
แหล่งที่มา

10

นั่นเป็นการประมาณคร่าวๆ

— Arsenal

1

@Arsenal ฉันสามารถใช้ MATLAB และนำไปให้ถึงทศนิยมสองสามพันตำแหน่งหากคุณต้องการ

— Spehro Pefhany

2

@Arsenal ฉันคิดว่า 22/7 ยังไม่ดีพอสำหรับคุณใช่ไหม : D

— Wossname

3

22/7 เป็นค่าประมาณที่น่ากลัวสำหรับ e 19/7 ดีกว่ามาก

— alephzero

2

@SpehroPefhany (wrt ถึงการคาดคะเนที่คุณเชื่อมโยง) ฉันประหลาดใจเสมอที่คนคณิตศาสตร์ชอบที่จะใช้เวลาของพวกเขา (ดีฉันเดาว่าปริศนาอักษรไขว้ง่ายเกินไปสำหรับพวกเขา! :-)

— Lorenzo Donati สนับสนุนโมนิก้า

3

เช่นเดียวกับส่วนเติมเต็มของคำตอบที่ยอดเยี่ยมอื่น ๆ โดย Dave Tweed, supercat และ Spehro Phefany ฉันจะเพิ่ม 2 เซนต์ของฉัน

ก่อนอื่นนิดหน่อย nitpicking อย่างที่ฉันเขียนในความคิดเห็นเวลาคงที่ไม่ได้กำหนดไว้ที่ 63% มันถูกนิยามอย่างเป็นทางการว่าค่าผกผันของสัมประสิทธิ์ของเลขชี้กำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง นั่นคือถ้า Q เป็นปริมาณที่เกี่ยวข้อง (แรงดัน, กระแส, กำลัง, อะไรก็ตาม) และ Q จะสลายตัวเมื่อเวลา:

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

$\tau = 1 / k$

$t = \tau$

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0.367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

คำตอบอื่น ๆ ที่สัมผัสเพียงเล็กน้อยคือเหตุผลที่เลือกไว้ คำตอบคือความเรียบง่าย : ค่าคงที่เวลาให้วิธีง่าย ๆ ในการเปรียบเทียบความเร็วของวิวัฒนาการของกระบวนการที่คล้ายกัน ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์บ่อยครั้งที่ค่าคงที่ของเวลาสามารถตีความได้ว่า "ความเร็วปฏิกิริยา" ของวงจร ถ้าคุณรู้ว่าค่าคงที่เวลาของทั้งสองวงจรนั้นง่ายต่อการเปรียบเทียบ "ความเร็วสัมพัทธ์" โดยการเปรียบเทียบค่าคงที่เหล่านั้น

$\tau = 1 \mu s$ $3\tau=3\mu s$ $5\tau=5\mu s$ $3\tau$ $5\tau$

กล่าวอีกนัยหนึ่งว่าเวลาคงที่เป็นวิธีที่ง่ายและเข้าใจได้ในการถ่ายทอดช่วงเวลาที่เกิดปรากฏการณ์

— Lorenzo Donati สนับสนุนโมนิก้า
แหล่งที่มา

-1

$e$ $1-e^{-1} \approx 0.63$

— Matthijs Huisman
แหล่งที่มา