หนังสือเล่มนี้ผิดเกี่ยวกับเกณฑ์การสุ่มตัวอย่างของ Nyquist หรือไม่?

ข้อความต่อไปนี้มาจากหนังสือผิดหรือเปล่า?

ฉันคิดว่าการสุ่มตัวอย่างด้วยองค์ประกอบความถี่สูงสุดของสัญญาณสองเท่าจะเพียงพอที่จะกู้คืนสัญญาณได้อย่างสมบูรณ์ แต่ข้างต้นกล่าวว่าการสุ่มตัวอย่างสองครั้งสร้างคลื่นฟันเลื่อยเหมือน หนังสือเล่มนี้ผิดหรือเปล่า?

ฉันคิดว่าการสุ่มตัวอย่างด้วยองค์ประกอบความถี่สูงสุดของสัญญาณสองเท่าจะเพียงพอที่จะกู้คืนสัญญาณได้อย่างสมบูรณ์ แต่ข้างต้นกล่าวว่าการสุ่มตัวอย่างสองครั้งสร้างคลื่นฟันเลื่อยเหมือน หนังสือเล่มนี้ผิดหรือเปล่า?

หนังสือเล่มนี้ผิด แต่ไม่ใช่ด้วยเหตุผลที่คุณคิด หากคุณเหล่ที่จุดที่แสดงตัวอย่างมันจะทำการสุ่มที่ความถี่ที่สองเท่า

ดังนั้นก่อนอื่นคุณควรวาดสัญญาณและตัวอย่างด้วยตัวคุณเอง (หรือใช้ชุดคณิตศาสตร์ถ้าคุณไม่ถึงดินสอและกระดาษ)

ประการที่สองทฤษฎี Nyquist กล่าวว่าเป็นไปได้ในทางทฤษฎีในการสร้างสัญญาณใหม่หากคุณทราบแล้วว่าสเปกตรัมของเนื้อหาสัญญาณนั้นน้อยกว่า 1/2 ของอัตราการสุ่มตัวอย่างอย่างเคร่งครัด

คุณสร้างสัญญาณใหม่โดยการกรองสัญญาณความถี่ต่ำ ก่อนการกรองสัญญาณอาจผิดเพี้ยนดังนั้นคุณต้องรู้ว่าคุณกำลังดูอะไรอยู่เพื่อดูว่าผลลัพธ์อาจดูโอเค นอกจากนี้ยิ่งเนื้อหาของสัญญาณของคุณใกล้ถึงขีด จำกัด ของ Nyquist ยิ่งต้องมีการตัดที่คมชัดยิ่งขึ้นในตัวกรองต่อต้านนามแฝงและการสร้างใหม่ นี่เป็นเรื่องดีในทางทฤษฎี แต่ในทางปฏิบัติแล้วการตอบสนองของตัวกรองในโดเมนเวลาจะได้สัดส่วนในวิธีการเปลี่ยนจาก passband เป็น stopband อย่างคร่าว ๆ โดยทั่วไปแล้วถ้าคุณทำได้คุณก็ลองชิม Nyquist ได้ดีกว่า

นี่คือรูปภาพที่สอดคล้องกับสิ่งที่หนังสือของคุณควรพูด

กรณี A: หนึ่งตัวอย่างต่อรอบ (ตัวอย่างทำให้ชัดเจน)

กรณี B: สองตัวอย่างต่อรอบเชื่อมโยงไปถึงทางแยก - โปรดทราบว่านี่เป็นผลลัพธ์เดียวกับตัวอย่างหนึ่งกรณีต่อรอบ แต่เพียงเพราะฉันสุ่มตัวอย่างแรกที่ทางแยก

กรณี C: อีกสองตัวอย่างต่อรอบ แต่คราวนี้ที่สุดขั้ว หากคุณได้ลิ้มลองที่ว่าสองเท่าของความถี่ส่วนประกอบสัญญาณแล้วคุณไม่สามารถสร้าง ในทางทฤษฎีคุณสามารถสุ่มตัวอย่างได้ต่ำกว่าเล็กน้อย แต่คุณต้องการตัวกรองที่มีการตอบสนองแบบอิมพัลส์ที่ครอบคลุมผลลัพธ์เพียงพอเพื่อให้คุณสามารถสร้างใหม่ได้

กรณี D: สุ่มตัวอย่างที่ 4x ความถี่สัญญาณ หากคุณเชื่อมต่อจุดที่คุณได้รับคลื่นสามเหลี่ยม แต่มันไม่ถูกต้องที่จะทำเช่นนั้น - ในเวลาที่สุ่มตัวอย่างตัวอย่างมีอยู่เพียง "ที่จุด" โปรดทราบว่าหากคุณใส่สิ่งนี้ผ่านตัวกรองการสร้างใหม่ที่เหมาะสมคุณจะได้คลื่นไซน์กลับมาและถ้าคุณเปลี่ยนเฟสของการสุ่มตัวอย่างเอาต์พุตจะถูกเลื่อนในเฟสเท่ากัน แต่แอมพลิจูดของมันจะไม่เปลี่ยนแปลง

รูปภาพ B ผิดอย่างยิ่ง มันมีมุมที่คมชัดมากในสัญญาณเอาท์พุต มุมคมมากเท่ากับความถี่สูงมากสูงกว่าความถี่ตัวอย่างมาก

เพื่อที่จะทำให้ทฤษฎีตัวอย่าง Nyquist เป็นจริงคุณต้องกรองสัญญาณความถี่ต่ำผ่านสัญญาณที่สร้างใหม่ หลังจากกรองสัญญาณความถี่ต่ำผ่านสัญญาณ B จะดูเหมือนสัญญาณอินพุตไม่เหมือนรูปสามเหลี่ยม (เนื่องจากมุมที่แหลมทั้งหมดไม่สามารถผ่านตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำได้)

คุณต้องผ่านทั้งสัญญาณอินพุตและสัญญาณขาออกให้ต่ำ สัญญาณอินพุตจะต้องผ่านการกรองความถี่ต่ำเพื่อสูงสุดครึ่งความถี่ตัวอย่างเพื่อไม่ให้ "ความถี่สูงขึ้น"

น่าเศร้าที่การแสดงตัวอย่างผิดวิธีเป็นการทั่วไป คำอธิบายที่ถูกต้องมากกว่านี้จะใช้ฟังก์ชัน sinc เพื่อการสร้างใหม่ (ฉันขอแนะนำให้ค้นหาฟังก์ชัน sinc)

ในการใช้งานจริงมันเป็นไปไม่ได้ที่จะมีตัวกรองสัญญาณความถี่ต่ำ "สมบูรณ์แบบ" (ผ่านทุกความถี่ด้านล่างและบล็อกทั้งหมดข้างต้น) ซึ่งหมายความว่าโดยปกติคุณจะต้องสุ่มตัวอย่างด้วยความถี่อย่างน้อย 2.2 เท่าของความถี่สูงสุดที่คุณต้องการทำซ้ำ (ตัวอย่าง: คุณภาพซีดีตัวอย่างที่ 44.1 kHz เพื่ออนุญาตความถี่สูงสุด 20kHz) แม้ความแตกต่างนี้จะทำให้การสร้างฟิลเตอร์แบบอะนาล็อกเป็นเรื่องยาก - แอพพลิเคชั่นในโลกแห่งความเป็นจริง "เกินขนาด" เช่นเดียวกับฟิลเตอร์ low pass บางส่วนในพื้นที่ดิจิตอล

ทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างระบุว่าสัญญาณสามารถสร้างใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบหากความถี่การสุ่มตัวอย่างนั้นสูงกว่าเนื้อหาความถี่สูงสุดในสัญญาณอย่างเคร่งครัด แต่การสร้างใหม่นั้นขึ้นอยู่กับการแทรกพัลส์แบบไม่ จำกัด (infinite) ของแต่ละตัวอย่าง จากมุมมองทางทฤษฎีนี่เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญมาก แต่ในทางปฏิบัติเป็นไปไม่ได้ที่จะบรรลุอย่างแน่นอน สิ่งที่อธิบายไว้ในหน้าหนังสือเป็นวิธีการสร้างใหม่ตามการวาดเส้นตรงระหว่างตัวอย่างซึ่งเป็นสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง ดังนั้นฉันจะบอกว่าหนังสือเล่มนี้ถูกต้อง แต่มันไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับทฤษฎีการสุ่มตัวอย่าง

กระดาษภาพรวมดีมากเป็นUnser: สุ่มตัวอย่าง - 50 ปีหลังจากที่แชนนอน ปัญหาของคุณเกิดจากความจริงที่ว่าสัญญาณไซน์บริสุทธิ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นไม่ครอบคลุมอยู่ในทฤษฎีการสุ่มตัวอย่างแชนนอน ทฤษฎีที่ใช้บังคับสำหรับสัญญาณเป็นระยะคือทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่าง Nyquist ก่อนหน้านี้

ทฤษฎีบทสุ่มตัวอย่างแชนนอนนำไปใช้กับฟังก์ชั่นที่สามารถแสดงเป็น

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

โดยที่Xคือฟังก์ชันแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากนั้นสัญญาณนี้สามารถแสดงอย่างชัดเจนจากตัวอย่างที่ไม่ต่อเนื่องเช่น

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

ฟังก์ชั่นไซน์บริสุทธิ์ไม่ได้มีอยู่ในชั้นเรียนนี้เนื่องจากการแปลงฟูริเยร์ของมันประกอบด้วยการแจกแจง Dirac-delta

ทฤษฎีบทการสุ่มตัวอย่าง Nyquistก่อนหน้านี้สหรัฐฯ (หรือตีความอีกครั้งในเชิงลึกก่อนหน้านี้) ว่าถ้าสัญญาณเป็นคาบด้วยคาบTและความถี่สูงสุดW = N / Tจากนั้นก็เป็นพหุนามตรีโกณมิติ

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

ด้วยค่าสัมประสิทธิ์2N + 1 (ไม่ไร้สาระ) และค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้สามารถสร้างขึ้นใหม่ (โดยพีชคณิตเชิงเส้น) จากตัวอย่าง2N + 1ในช่วงเวลา

กรณีของฟังก์ชั่นไซน์บริสุทธิ์อยู่ในชั้นนี้ มันสัญญาว่าจะสร้างใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบถ้า2N + 1ตัวอย่างช่วงเวลาNTจะถูกนำ

สิ่งที่ได้รับการแบ่งปันจากหนังสือเล่มนี้ไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับ "เกณฑ์การสุ่มตัวอย่าง Nyquist" - มันเป็นเพียงการพูดคุยเกี่ยวกับการสุ่มตัวอย่างจุดคลื่นซายน์กับ ADC สมมุติและจากนั้น (โดยปริยาย) การสร้างสัญญาณเอาท์พุทโดยใช้ DAC แบบง่ายที่ดำเนินการแก้ไขเชิงเส้นตรงระหว่างค่าตัวอย่าง

เมื่อพิจารณาตามบริบทแล้วข้อความวิทยานิพนธ์ของ 'รูปที่ 6.10' นั้นถูกต้องและแสดงให้เห็นเป็นอย่างดี

เมื่อความถี่ในการสุ่มตัวอย่างของ ADC เพิ่มขึ้นความเที่ยงตรงของสัญญาณดิจิทัลจะดีขึ้น

หากคุณต้องการพูดคุยเกี่ยวกับความน่าเชื่อถือของการสร้างใหม่ในอุดมคตินั่นเป็นเรื่องที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง การสนทนาใด ๆ ของอัตรา Nyquistหมายถึงการใช้การแก้ไข sincซึ่งอีกครั้งไม่ได้กล่าวถึงในภาพที่แสดง

ข้อบกพร่องที่แท้จริงในรูปนี้คือความคิดที่ว่าตัวอย่างจุดเป็นแนวคิดที่มีความหมายในงานวิศวกรรม พูดจริง ADC จะเชื่อมต่อกับองค์ประกอบเซ็นเซอร์ที่ทำงานโดยการสะสมสัญญาณเข้าโลกแห่งความจริงในช่วงระยะเวลาหนึ่ง

มันตลก แต่ตัวเลขนั้น นั้นผิด (โดยปัจจัยสอง) เกี่ยวกับความถี่การสุ่มตัวอย่างที่แสดงในแผนภาพ - แม้ว่า "เอาท์พุท" ที่แสดงจะได้รับผลกระทบจากสิ่งนี้ในกรณี 'C' เท่านั้น

จากการใช้ข้อความที่ยกมาข้างต้นฉันพบไดอะแกรมที่คล้ายกันอย่างน่าขนลุกขนพองใน "แนวทางปฏิบัติสำหรับการเฝ้าสังเกตระหว่างการผ่าตัดด้วยระบบประสาท" ในการอภิปรายเกี่ยวกับการประมวลผลคลื่น EEG สำหรับสิ่งที่คุ้มค่าการสนทนานั้นรวมถึงสิ่งต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทที่อธิบายถึงความถี่การสุ่มตัวอย่างขั้นต่ำที่จำเป็นสำหรับ ADC เพื่อแสดงสัญญาณอะนาล็อกอย่างซื่อสัตย์นั้นเป็นที่รู้จักกันในชื่อ มันระบุว่าความถี่การสุ่มตัวอย่างของ ADC จะต้องมากกว่าสองเท่าของส่วนประกอบความถี่ที่เร็วที่สุดของรูปแบบของคลื่น