ทำไม F + F '= 1

15

ฉันมีฟังก์ชั่น: $f(x,y,z,w) = wx + yz$

ฉันพบว่าฟังก์ชั่นที่สมบูรณ์เป็น: $f '(x,y,z,w) = w'y' + w'z' + x'y' + x'z'$

ฉันต้องแสดงให้เห็นว่า: $f + f '=1$ แต่ฉันไม่เห็นวิธีที่จะทำ

ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรที่จะยกเลิกซึ่งกันและกัน

แก้ไข

ตามที่แนะนำตอนนี้ฉันได้ใช้ทฤษฎีบทของ DeMorgan และพบสิ่งนี้:

$f + f' = wx+yz+(w+y)'+(w+z)'+(x+y)'+(y+z)'$

แต่ดูเหมือนว่าสำหรับฉันแล้วไม่มีอะไรที่ทำให้ฉันเข้าใกล้การสำนึกของ $f+f' = 1$

boolean-algebra

— คาร์ล
แหล่งที่มา

6

คำแนะนำ: ใช้กฎของ DeMorgan

— Spehro Pefhany

11

f หรือ f 'ต้องเป็น 1

— Chu

4

คุณมีเพียง 4 อินพุต หากไม่มีอะไรอื่นคุณสามารถเขียนตารางความจริงได้

— The Photon

2

Spehro พูดถูก แต่เรื่องเงินอยู่ใช่ว่าการสมัคร DeMorgan เป็นขั้นตอนแรกก็ไม่ได้ช่วยอะไร ดังนั้นเพื่อขยายคำใบ้ของ Spehro: วิธีแก้ปัญหาเกี่ยวข้องกับการทำพีชคณิตพื้นฐานซึ่งรวมถึง DeMorgan เป็นขั้นตอน การใช้พีชคณิตแบบง่าย + DeMorgan คุณสามารถเปลี่ยนฟังก์ชั่น f 'ให้เป็นการปฏิเสธอย่างชัดเจนของ f การขีดเขียนออกมาบนกระดาษมันใช้เวลาแค่ 4 ขั้นตอนเท่านั้น

— นาย Snrub

1

@ Mr.Snrub ขั้นตอนแรกของ "ฉันพบฟังก์ชั่นเสริม" ควรจะ(wx + yz) ′

— OrangeDog

4

เนื่องจากคาร์ลถามอย่างดี จุดเริ่มต้น:

f (x, y, z, w) = w x + y z

$f(x,y,z,w)=wx+yz$ และ

f' (x, y, z, w) = w' y' + w' z' + x' y' + x' z'

$f′(x,y,z,w)=w′y′+w′z′+x′y′+x′z′$

ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้ด้วย $f'$ :

f' (x, y, z, w) = w' (y' + z') + x' (y' + z')

$f′(x,y,z,w)=w′(y′+z′)+x′(y′+z′)$

f' (x, y, z, w) = (w' + x^{'}) (y' + z')

$f′(x,y,z,w)=(w′+x')(y′+z′)$ DeMorgan:

f' (x, y, z, w) = (w x)' (y z)^{'}

$f′(x,y,z,w)=(wx)′(yz)'$ DeMorgan อีกครั้ง:

f' (x, y, z, w) = (w x + y z)^{'}

$f′(x,y,z,w)=(wx + yz)'$ ดังนั้นตอนนี้ทางด้านขวาของ

f^{'}

$f'$ เป็นเพียงการปฏิเสธอย่างง่ายของทางด้านขวาของ

f

$f$ . ซึ่งเป็นแอนตี้ - ยอดเล็ก ๆ น้อย ๆ ตั้งแต่ตอนนี้เราพึ่งความจริงที่ว่าการแสดงออกใด ๆ

x + x^{'} = 1

$x + x' = 1$ ซึ่งเป็นสิ่งที่ผู้คนพูดกันมาตลอดเกี่ยวกับ

f + f^{'} = 1

$f+f'=1$ แต่อย่างน้อยมันก็ให้เล็กน้อย คำอธิบายพีชคณิตแบบบูลสำหรับสาเหตุที่เป็นจริง

— นาย Snrub
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจว่าคุณไปถึงบรรทัดที่สองได้อย่างไรโดยไม่ต้องผ่านคำตอบสุดท้ายของคุณ คำตอบสุดท้ายของคุณคือขั้นตอนแรกของฉัน: มันเป็นเพียงการปฏิเสธของทั้งสองฝ่าย

— C. Lange

สองบรรทัดแรกคือสูตรที่กำหนดโดย OP พวกเขาเป็นจุดเริ่มต้นตามคำนิยาม ฉันเห็นด้วยอย่างยิ่งว่าสิ่งต่าง ๆ ในภายหลังอาจเป็นส่วนหนึ่งของการสืบทอดของสองสูตรแรกเหล่านั้น แต่เราไม่มีข้อมูลนั้น เราไม่สามารถยืนยันได้

— นาย Snrub

เข้าใจ - บนสมมติฐานที่ว่า

และ

ได้รับในคำถามเช่น OP ได้เขียนออกมา ความเข้าใจของฉันคือ OP ได้พยายามขยาย

แล้วและไม่รู้ว่าจะไปจากที่นั่น

f

$f$

f^{'}

$f'$

f^{'}

$f'$

— C. Lange

41

ประเด็นคือมันไม่สำคัญว่าฟังก์ชั่น $f()$ คืออะไร ข้อเท็จจริงสำคัญคือผลลัพธ์ของมันคือค่าไบนารีเดียว

มันเป็นความจริงพื้นฐานในพีชคณิตแบบบูลว่าการเติมเต็มของค่าไบนารีเป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่ค่าของตัวเองเป็นเท็จ นี้เป็นที่รู้จักในฐานะกฎหมายยกเว้นตรงกลาง ดังนั้นการที่ ORing ค่าด้วยส่วนเติมเต็มนั้นเป็นจริงเสมอและ ANDing ค่าด้วยส่วนเติมเต็มจึงเป็นเท็จเสมอ

มันเป็นเรื่องดีที่คุณก็สามารถที่จะได้รับฟังก์ชั่นที่เฉพาะเจาะจง $f'()$ แต่ที่จริงไม่เกี่ยวข้องกับคำถามที่เกิดขึ้นจริง!

— เดฟทวีด
แหล่งที่มา

1

นี้เป็นที่รู้จักในฐานะกฎหมายยกเว้นตรงกลาง

— BallpointBen

@BallpointBen: ขอบคุณ! ฉันเพิ่มลงในคำตอบของฉัน

— Dave Tweed

13

คำตอบก่อนหน้าทั้งหมดถูกต้องและมีความลึกมาก แต่วิธีที่ง่ายกว่าในการเข้าใกล้สิ่งนี้อาจต้องจำไว้ว่าในพีชคณิตแบบบูลค่าทั้งหมดจะต้องเป็น 0 หรือ 1

ดังนั้น ... ทั้ง F คือ 1 แล้ว F 'คือ 0 หรือวิธีอื่น: F คือ 0 และ F' คือ 1 ถ้าคุณใช้บูลีน OR-function: F + F 'คุณจะมีหนึ่งเสมอ ของทั้งสองเทอม 1 ดังนั้นผลลัพธ์จะเป็น 1 เสมอ

— Opifex
แหล่งที่มา

11

คำตอบของฉันคล้ายกับหนึ่งใน Dave Tweed ซึ่งหมายความว่าฉันวางไว้ในระดับที่เป็นทางการมากขึ้น เห็นได้ชัดว่าฉันตอบในภายหลัง แต่ฉันตัดสินใจที่จะยังคงโพสต์ไว้เพราะบางคนอาจพบว่าวิธีการนี้น่าสนใจ

ความสัมพันธ์ที่คุณกำลังพยายามที่จะพิสูจน์ความเป็นอิสระจากโครงสร้างของฟังก์ชั่น $f$ เพราะมันเป็นเรื่องของความเป็นจริงที่ซ้ำซาก เพื่ออธิบายสิ่งที่ผมหมายถึงผมเสนอการสาธิตทั่วไปที่เกิดขึ้นอย่างถูกต้องแสดงออกบูลีน $P$ ในจำนวนข้อของตัวแปรบูลีนกล่าวว่า $n\in\Bbb N$ , $y_1,\ldots,y_n$ ที่ $y_i\in\{0,1\}$ สำหรับทั้งหมด $i=1,\ldots,n$ .
เรามี $P(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}$ และพิจารณาต่อไปนี้สองชุดของค่าบูลีนสำหรับ $n$ มิติเวกเตอร์บูลีน $(y_1,\ldots,y_n)$

\begin{aligned} Y & = {(y_{1}, \dots, y_{n}) \in {0, 1}^{n} | P (y_{1}, \dots, y_{n}) = 1} \\ \bar{Y} & = {(y_{1}, \dots, y_{n}) \in {0, 1}^{n} | P (y_{1}, \dots, y_{n}) = 0} \end{aligned}

$\begin{align} Y&=\{(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n|P(y_1,\ldots,y_n)=1\}\\ \bar{Y}&= \{(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n|P(y_1,\ldots,y_n)=0\} \end{align}$ ชุดเหล่านี้เป็นพาร์ติชันของชุดเต็มรูปแบบของค่าที่ป้อนข้อมูลเวกเตอร์บูลีนสามารถสรุปได้คือ

Y \cup \bar{Y} = {0, 1}^{n}

$Y\cup\bar{Y}=\{0,1\}^n$ และ

Y \cap \bar{Y} = \emptyset

$Y\cap\bar{Y}=\emptyset$ (ชุดที่ว่างเปล่า) ดังนั้น

\begin{aligned} P (y_{1}, \dots, y_{n}) & = {\begin{cases} 0 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in \bar{Y} \\ 1 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in Y \end{cases} \\ ⇕ \\ P^{'} (y_{1}, \dots, y_{n}) & = {\begin{cases} 1 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in \bar{Y} \\ 0 & if (y_{1}, \dots, y_{n}) \in Y \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} P(y_1,\ldots,y_n)&= \begin{cases} 0&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in \bar{Y}\\ 1&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in Y\\ \end{cases}\\ &\Updownarrow\\ P'(y_1,\ldots,y_n)&= \begin{cases} 1&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in \bar{Y}\\ 0&\text{if }(y_1,\ldots,y_n)\in Y\\ \end{cases} \end{align}$ therefore we always have

P + P^{'} = 1 \forall (y_{1}, \dots, y_{n}) \in {0, 1}^{n}

$P+P'=1\quad\forall(y_1,\ldots,y_n)\in\{0,1\}^n$

— Daniele Tampieri
แหล่งที่มา

11

All good answers that provide the necessary justification in one way or the other. Since it is a tautology, it's hard to create a proof that doesn't just result in "it is what it is!". Perhaps this method help tackle it from yet another, broader angle:

Expand both statements to include their redundant cases, and the remove the repeated cases:

$𝑓=𝑤𝑥+𝑦𝑧\\ \ \ =wx\cdot(y'z'+y'z+yz'+yz)\ +\ yz\cdot(x'w'+x'w+xw'+xw)\\ \ \ =wxy'z'+wxy'z+wxyz'+wxyz\ +\ yzx'w'+yzx'w+yzxw'+yzxw\\ \ \ =wxy'z'+wxy'z+wxyz'+wxyz\ +\ yzx'w'+yzx'w+yzxw'$

and

$𝑓′=𝑤′𝑦′+𝑤′𝑧′+𝑥′𝑦′+𝑥′𝑧′\\ \ \ \ = w'y'\cdot(x'z'+x'z+xz'+xz)\ +\ 𝑤′𝑧′\cdot(x'y'+x'y+xy'+xy)\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′\cdot(w'z'+w'z+wz'+wz)\ +\ x′𝑧′\cdot(w'y'+w'y+wy'+wy)\\ \ \ \ = w'y'x'z'+w'y'x'z+w'y'xz'+w'y'xz\ +\ 𝑤′𝑧′x'y'+𝑤′𝑧′x'y+𝑤′𝑧′xy'+𝑤′𝑧′xy\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′w'z'+x′y′w'z+x′y′wz'+x′y′wz\ +\ x′𝑧′w'y'+x′𝑧′w'y+x′𝑧′wy'+x′𝑧′wy\\ \ \ \ = w'y'x'z'+w'y'x'z+w'y'xz'+w'y'xz\ +\ 𝑤′𝑧′x'y+𝑤′𝑧′xy\ +\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x′y′wz'+x′y′wz\ +\ x′𝑧′wy$

I've kept the terms in consistent order to make the derivation more obvious, but they could be written alphabetically to be clearer. In any case, the point is that $f$ ORs seven 4-bit cases, and $f'$ ORs nine, distinct 4-bit cases. Together they OR all sixteen 4-bit cases, so reduce to $1$ .

— Heath Raftery
แหล่งที่มา

4

+1 this is the only answer that is answering the true intention of the OPs question, which is to do some Boolean algebra rather than making theoretical arguments. But per my comment on the OP, note that a more elegant solution does exist; this problem can be solved without needing to add in the redundant cases.

— Mr. Snrub

I would very much like to see that as well. That is, if you have the time and the generosity to do it.t

— Carl

8

F + F' = 1 means that you have to show that no matter the state of the 4 inputs, OR'ing the result of those 2 always result in 1,

A few minutes in excel shows it is indeed the case. You can use "NOT()" to invert between 0 and 1 in excel.

F = W * X + Y * Z

F' = W' * Y' + W' * Z' + X' * Y' + X' * Z'

As to why this is the case, If you want F to be false, e.g. setting W and Y low, you just made F' true. If you make X and Z low, you also made F" true, same for swapping there pairs.

— Reroute
แหล่งที่มา

2

"F + F' = 1 means that you have to show that no matter the state of the 4 inputs, OR'ing the result of those 2 always result in 1" . No, it doesn't. It merely means that you have to show that regardless of the output (which can only have two possibilities) and the corresponding output of its complement, the relation holds. The inputs are irrelevant, as is the function. The only truth table needed is the one showing the relationship between the output of the function and the output of anything qualifying as its complement.

— Chris Stratton

@ChrisStratton, that depends if the question is to show that the OR of a function and its complement is always 1 (which is trivial by definition of the complement) or to show that the proposed function F' is actually the complement of F. From OP's wording, I think they had a 2 part problem. Part A: find the complement function. Part B: show that it actually is the complement.

— The Photon

0

By simple definition of $+$ (OR) and $′$ (NOT)

 A | B | A + B
---------------
 0 | 0 |   0
 1 | 0 |   1
 0 | 1 |   1
 1 | 1 |   1

 A | A′| A + A′
----------------
 0 | 1 |   1
 1 | 0 |   1

$∴ ∀f. f + f′ = 1$

— OrangeDog
แหล่งที่มา