ทำไมเราใช้ใน AC วิเคราะห์แทน ?

ในการวิเคราะห์ AC,เมื่อเราจัดการกับหรือ1แต่สำหรับ Laplace transform, ss L 1 / s C s = σ + j $s=j\omega$$sL$$1/sC$$s=\sigma+j\omega$

ขออภัยที่ไม่ชัดเจน แต่ฉันต้องการเชื่อมโยงคำถามด้านล่าง:

• ทำไมซิกม่าจึงเท่ากับศูนย์
• ความถี่ neper เชื่อมต่อกับสิ่งนี้หรือไม่?
• ซิกมาเท่ากับศูนย์ในขณะที่สัญญาณอินพุตเป็นไซน์ไซด์ของค่าคงที่ ?$\pm V_{max}$

แน่นอนตามคำจำกัดความ สิ่งที่เกิดขึ้นคือถูกเพิกเฉยเพราะถือว่าเป็นศูนย์ เหตุผลก็คือเรากำลังดูการตอบสนองของระบบต่อสัญญาณไซน์ไซด์ที่เป็นระยะ (และไม่สลายตัว) โดยที่ Laplace จะลดการฟูริเยร์ตามแกนจินตภาพอย่างสะดวก แกนที่แท้จริงในโดเมน Laplace แสดงถึงปัจจัยการสลายตัว / การเติบโตแบบเลขชี้กำลังที่ไม่มีสัญญาณบริสุทธิ์และฟูริเยร์ไม่ได้จำลอง$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

สำหรับการวิเคราะห์กระแสสลับสันนิษฐานว่าวงจรนี้มีแหล่งกำเนิดสัญญาณไซน์ (ที่มีความถี่เชิงมุม เดียวกัน ) และมีการสลายตัวชั่วคราวทั้งหมด เงื่อนไขนี้เป็นที่รู้จักในฐานะความมั่นคงของรัฐซายน์หรือAC มั่นคงของรัฐ$\omega$

นี้จะช่วยให้วงจรที่จะวิเคราะห์ในเฟสเซอรโดเมน

การใช้สูตรของออยเลอร์เรามี:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

phasor ที่เกี่ยวข้องกับจึงเป็นซึ่งเป็นค่าคงที่ซับซ้อนที่ประกอบด้วยข้อมูลขนาดและเฟสของสัญญาณโดเมนเวลา→ V a = A e j $v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้เราสามารถวิเคราะห์วงจรโดยการติดตามแรงดันไฟฟ้าเฟสเซอร์และกระแสและใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

จากนั้นเราจะกู้คืนโซลูชันโดเมนเวลาผ่านสูตรของออยเลอร์

ขณะนี้มีความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งระหว่างการวิเคราะห์เฟสเซอร์และการวิเคราะห์ Laplace แต่สิ่งสำคัญคือต้องคำนึงถึงบริบททั้งหมดของการวิเคราะห์ AC ซึ่งก็คือ:

(1) วงจรมีแหล่งกำเนิดไซน์ (มีความถี่เท่ากัน )$\omega$

(2) ภาวะชั่วครู่ทั้งหมดได้สลายตัว

เหตุผลที่เลือกเพื่อประเมินสัญญาณ AC คือช่วยให้สามารถแปลง Laplace transform เป็น Fourier transform ได้$S=j\omega$

เหตุผลก็คือว่าในขณะที่ S เป็นตัวแปรที่ซับซ้อนสิ่งที่ใช้ในการแสดงฟูริเยร์เป็นเพียงการหมุน (จินตนาการ) ส่วนประกอบจึง 0$\sigma=0$

คุณอาจพบบางอย่างเพิ่มเติมได้ที่หน้านี้ Stanford

การวิเคราะห์ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนการแปลง Laplace (TF) ให้การตอบสนองที่สมบูรณ์กับสัญญาณอินพุตแบบไซน์จาก t = 0 วิธีการแก้ปัญหาโดยทั่วไปมีเงื่อนไขชั่วคราวซึ่งสลายตัวไปเป็นศูนย์ชี้แจงและเงื่อนไขคงที่ซึ่งยังคงอยู่หลังจาก exponentials ได้หายไป เมื่อเรามีเสาและค่าศูนย์ของ TF เช่น s = -a + jw ส่วน '-a' จะให้การตอบสนองแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (e ^ -at) และส่วน jw ให้การตอบสนองของสถานะคงที่ของไซน์: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt) หากเราสนใจเฉพาะส่วนที่มั่นคงของการตอบสนอง (เช่นในกรณีของการวิเคราะห์การตอบสนองความถี่) จากนั้นเราก็สามารถใช้การทดแทน s = jw ใน TF

โปรดทราบว่า e ^ jx = cos (x) + jsin (x) คือ 'เอกลักษณ์ของออยเลอร์' และเป็นหนึ่งในความสัมพันธ์ที่สำคัญและมีประโยชน์ที่สุดในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม

ใช้สำหรับ "Sin" และ "Cos" เท่านั้นซึ่งเป็นกรณีของสัญญาณ AC หมายเหตุ: laplace trasnform ของ sin (at) หรือ cos (at) "1 / jw + a" หรือ "jw / jw + a" ซึ่งสิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ identiy ของ sin และ cos โดยใช้เอกลักษณ์ของ Euler ซึ่งโดยทั่วไปแล้วเป็นเพียง 2 เลขชี้กำลังและ Laplace ของเลขชี้กำลังมีเพียงส่วนจินตภาพ "jw"

ฉันจะเขียนหลักฐานและโพสต์ไว้ที่นี่ :)

หากคุณดูสูตรของการแปลงฟูริเยร์และ Laplace คุณจะเห็นว่า 's' คือการแปลง Laplace ถูกแทนที่ด้วย 'jw' ในการแปลงฟูริเยร์ นั่นคือเหตุผลที่คุณสามารถรับการแปลงฟูริเยร์จากการแปลง Laplace โดยแทนที่ 's' ด้วย 'jw'