ภายใต้เงื่อนไขอะไรที่การแปลงตาข่ายดาวกลับด้านได้?

เราทุกคนต่างรู้และชื่นชอบการแปลงΔ-Y (delta-wye) และ Y-Δ (wye-delta) สำหรับการลดความซับซ้อนของเครือข่ายสามตัวต้านทาน:

ภาพจากครีเอทีฟคอมมอนส์

การแปลงΔ-Y และ Y-have มีคุณสมบัติที่ดีที่Δสามารถเปลี่ยนเป็น Y ได้เสมอและ Y สามารถกลายเป็น always ได้เสมอไม่ว่าค่าความต้านทานที่เกี่ยวข้องจะเป็นเท่าใด

มีรุ่นทั่วไปของ Y-Δแปลงที่เรียกว่าเป็นดาวตาข่ายเปลี่ยน สิ่งนี้จะแปลง "ดาว" ของตัวต้านทานเป็น "ตาข่าย" ของตัวต้านทานN C $N$$^{N}C_{2}$

ภาพจากครีเอทีฟคอมมอนส์

Wikipedia เสนอว่าการแปลงจากดาวสู่ตาข่ายจะมีอยู่เสมอ - แต่การแปลงผกผัน (mesh-to-star) อาจไม่มีอยู่จริง เพื่อปัญญา:

เปลี่ยนแทนที่ N ต้านทานกับN C 2ตัวต้านทาน สำหรับ N> 3 ผลลัพธ์จะเพิ่มจำนวนตัวต้านทานดังนั้นการแปลงจึงไม่มีการผกผันทั่วไปโดยไม่มีข้อ จำกัด เพิ่มเติม$^{N}C_{2}$

อะไรคือข้อ จำกัด ที่ต้องทำให้พอใจเพื่อให้สิ่งที่ตรงกันข้ามมีอยู่?

ฉันสนใจเป็นพิเศษในการแปลงเครือข่ายตาข่าย 4 โหนดเป็นเครือข่ายดาวความต้านทาน 4 ตัว

แรงจูงใจสำหรับคำถาม: ฉันมีแบบจำลองระบบพลังงานอุตสาหกรรม (จริง ๆ แล้วเป็นเพียงเครือข่ายขนาดใหญ่มากของแหล่งแรงดันไฟฟ้าคงที่และอิมพีแดนซ์) ที่มี ~ 2,000 โหนด ฉันพยายามลดให้เหลือเพียงสี่โหนด

แก้ไข:

มีบทความที่ตีพิมพ์บางส่วนในหัวข้อนี้

• Versfeld, L. , "หมายเหตุเกี่ยวกับการแปลงรูปดาวตาข่ายของเครือข่ายไฟฟ้า,"จดหมายอิเล็กทรอนิกส์, ฉบับที่ 6, หมายเลข 19, หน้า 55999, 17 กันยายน 1970

  มีการศึกษาด้านใหม่สองประการของการแปลงรูปดาวตาข่ายที่รู้จักกันดี: (a) เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการเปลี่ยนแปลงของเครือข่ายตาข่ายทั่วไปที่กำหนดให้เป็นเครือข่ายดาวเทียบเท่า (b) ส่วนขยายไปยังเครือข่ายที่มีแหล่งที่มา

• Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, "การแปลงเมช - สตาร์,"จดหมายอิเล็กทรอนิกส์, ฉบับที่ 10, หมายเลข 6, pp.73,74, 21 มีนาคม 2517

  มีเครือข่ายดาวที่เท่ากันสำหรับเครือข่ายตาข่ายที่กำหนดหากเครือข่ายดังกล่าวเป็นไปตามมาตรฐานวีทสโตน จากการใช้ความจริงนี้ก็แสดงให้เห็นว่าปัจจัยร่วมนอกแนวโครงร่างของเมทริกซ์การอนุญาติของ datum-node ของเครือข่ายตาข่ายนั้นเท่ากัน จากคุณสมบัตินี้จะมีความสัมพันธ์แบบง่าย ๆ ระหว่างองค์ประกอบของเครือข่ายทั้งสอง

ฉันไม่มีสิทธิ์เข้าถึง IEEE Xplore ดังนั้นฉันจึงไม่สามารถอ่านได้

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$$G_{TOT}$$G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$$\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$

ฉันคิดว่าทั้งหมดนี้หมายถึงเงื่อนไขก็เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอเช่นกัน

สิ่งนี้กำลังพูด (ไม่ว่าจะเป็นจริงหรือไม่) ก็คือมันมีมากกว่าหนึ่งวิธีในการกำหนดค่าให้กับเครือข่ายดาวของตัวต้านทานห้าตัวซึ่งการกำหนดค่าทั้งหมดจะไม่สามารถแยกแยะได้ตามการวัดความต้านทาน "blackbox" ภายนอกทั้งหมด

การแปลงตาข่ายเป็นปลาเฮอริ่งแดงที่นี่ หากเครือข่ายดาวถูกกำหนดโดยเฉพาะแน่นอนว่าจะมีการผกผันของการทำแผนที่จากเครือข่ายนั้นไปยังประเภทอื่น ๆ เสมอกลับไปยังเครือข่ายนั้น