ความสัมพันธ์และความแตกต่างระหว่างการแปลงฟูริเยร์ Laplace และ Z

ฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับหัวข้อเหล่านี้ พวกเขาทั้งหมดเริ่มเหมือนกันกับฉัน ดูเหมือนว่าพวกเขาจะมีคุณสมบัติเหมือนกันเช่นความเป็นเส้นตรงการเลื่อนและการปรับสเกลที่เกี่ยวข้อง ฉันไม่สามารถแยกพวกมันออกจากกันและระบุวัตถุประสงค์ของการเปลี่ยนแปลงแต่ละอย่างได้ นอกจากนี้หนึ่งในนั้นใช้สำหรับการวิเคราะห์ความถี่

ฉันไม่สามารถหาคำตอบที่สมบูรณ์ซึ่งแก้ปัญหาเฉพาะนี้ได้ (ด้วย Google) ฉันต้องการเห็นพวกเขาเปรียบเทียบในหน้าเดียวกันเพื่อที่ฉันจะได้มีความชัดเจน

การแปลง Laplace และ Fourier เป็นการแปลงแบบต่อเนื่อง (รวม) ของฟังก์ชันต่อเนื่อง

Laplace transform แผนที่ฟังก์ชั่นเพื่อฟังก์ชั่นF ( s )ของตัวแปรที่ซับซ้อนsที่s = σ + J ω$f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

ตั้งแต่อนุพันธ์แผนที่sF(s)ที่ Laplace transform ของสมการเชิงเส้นแตกต่างเป็นสมการพีชคณิต ดังนั้นการแปลง Laplace จึงมีประโยชน์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

ถ้าเราตั้งค่าส่วนที่แท้จริงของตัวแปรที่ซับซ้อนsเป็นศูนย์ผลลัพธ์คือการแปลงฟูริเยร์F ( j ω )ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วการแทนโดเมนความถี่ของf ( t ) (โปรดทราบว่านี่เป็นจริงเฉพาะสำหรับ ค่าของที่σสูตรการขอรับ Laplace transform ของF ( T )ที่มีอยู่คือมันไม่ได้ไปอินฟินิตี้)$\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

$f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

$r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

การแปลงแบบ Laplace อาจถูกพิจารณาว่าเป็นชุดพิเศษสำหรับ CTFT คุณจะเห็นว่าใน ROC ถ้ารากของฟังก์ชันถ่ายโอนอยู่บนแกนจินตภาพเช่นสำหรับ s = σ + jω, σ = 0 ดังที่กล่าวไว้ในความคิดเห็นก่อนหน้าปัญหาของการแปลง Laplace จะลดลงเป็นการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องตลอดเวลา หากต้องการย้อนกลับเล็กน้อยก็เป็นการดีที่จะทราบว่าเหตุใดการแปลง Laplace จึงเกิดขึ้นตั้งแต่แรกเมื่อเรามีการแปลงฟูริเยร์ คุณจะเห็นว่าการรวมกันของฟังก์ชั่น (สัญญาณ) เป็นเงื่อนไขบังคับสำหรับการแปลงฟูริเยร์ที่มีอยู่ (สรุปได้อย่างแน่นอน) แต่ยังมีสัญญาณในโลกทางกายภาพที่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะมีสัญญาณคอนเวอร์เจนซ์ แต่เนื่องจากการวิเคราะห์พวกมันเป็นสิ่งที่จำเป็นเราจึงทำให้พวกมันมาบรรจบกันโดยการคูณทวีคูณที่ลดทอนความน่าเบื่อของมันซึ่งทำให้พวกมันมาบรรจบกันโดยธรรมชาติของมัน σ + jωใหม่นี้ได้รับชื่อใหม่ 's' ซึ่งเรามักจะใช้แทน 'jω' สำหรับสัญญาณไซน์ที่ตอบสนองต่อระบบ LTI ที่เป็นสาเหตุ ในระนาบ s หาก ROC ของการแปลง Laplace ครอบคลุมแกนจินตภาพดังนั้นการแปลงฟูริเยร์จะมีอยู่เสมอเนื่องจากสัญญาณจะมาบรรจบกัน มันคือสัญญาณเหล่านี้บนแกนจินตภาพซึ่งประกอบด้วยสัญญาณเป็นระยะ ๆ e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (โดยออยเลอร์)

ในทางเดียวกัน z-transform นั้นเป็นส่วนเสริมของ DTFT ก่อนอื่นทำให้พวกเขามาบรรจบกันเป็นครั้งที่สองเพื่อทำให้ชีวิตของเราง่ายขึ้นมาก จัดการกับ az ได้ง่ายกว่า ae ^ jω (ตั้งค่า r, รัศมีของวงกลม ROC เป็น untiy)

นอกจากนี้คุณมีแนวโน้มที่จะใช้การแปลงฟูริเยร์มากกว่า Laplace สำหรับสัญญาณที่ไม่ได้เป็นสาเหตุเพราะการแปลง Laplace ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมากเมื่อใช้เป็นการแปลงข้างเดียว (ด้านเดียว) คุณสามารถใช้ทั้งสองข้างได้เช่นกันผลลัพธ์จะออกมาเหมือนกันกับการเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์บางอย่าง

การแปลงฟูริเยร์ใช้สำหรับการแปลง / แทนฟังก์ชันที่แปรผันตามเวลาในโดเมนความถี่

Laplace transform นั้นใช้สำหรับการแปลง / แทนฟังก์ชันที่แปรผันตามเวลาใน "integral domain"

Z-transforms คล้ายกับ laplace มาก แต่เป็นการแปลงช่วงเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง

พวกเขาทั้งหมดปรากฏเหมือนกันเพราะวิธีการที่ใช้ในการแปลงจะคล้ายกันมาก

ฉันจะพยายามอธิบายความแตกต่างระหว่างการแปลง Laplace และ Fourier ด้วยตัวอย่างจากวงจรไฟฟ้า ดังนั้นสมมติว่าเรามีระบบที่อธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ที่รู้จักสมมติว่าเรามีวงจร RLC ทั่วไป นอกจากนี้ยังสมมติว่าสวิตช์ทั่วไปใช้เพื่อเปิดหรือปิดวงจร ทีนี้ถ้าเราต้องการศึกษาวงจรในสถานะคงที่ของไซนัสเราต้องใช้การแปลงฟูริเยร์ มิฉะนั้นหากการวิเคราะห์ของเรามีสวิตช์เปิดหรือปิดวงจรเราจะต้องใช้การแปลง Laplace สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์

กล่าวอีกนัยหนึ่งการแปลง Laplace ถูกใช้เพื่อศึกษาวิวัฒนาการชั่วคราวของการตอบสนองของระบบจากสถานะเริ่มต้นไปสู่สถานะคงที่สุดท้ายของ sinusoid มันรวมถึงปรากฏการณ์ชั่วคราวจากสถานะเริ่มต้นของระบบ แต่ยังรวมถึงสถานะคงที่สุดท้ายของไซนัส

เครื่องมือต่าง ๆ สำหรับงานต่าง ๆ ย้อนกลับไปเมื่อสิ้นสุดศตวรรษที่สิบหกนักดาราศาสตร์เริ่มทำการคำนวณที่น่ารังเกียจ ลอการิทึมถูกคำนวณครั้งแรกเพื่อแปลงการคูณและการหารเป็นการเพิ่มและการลบที่ง่ายขึ้น Laplace และ Z จะแปลงสมการเชิงอนุพันธ์ที่น่ารังเกียจให้เป็นสมการพีชคณิตที่คุณมีโอกาสในการแก้ ชุดฟูเรียร์ถูกคิดค้นเพื่อแก้ปัญหาการไหลของความร้อนในอิฐและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วน การประยุกต์ใช้กับการสั่นของสาย, ท่ออวัยวะและการวิเคราะห์อนุกรมเวลามาในภายหลัง

ในระบบ LTI ใด ๆ สำหรับการคำนวณฟังก์ชั่นการถ่ายโอนเราใช้เพียงการแปลง Laplace แทนการแปลงฟูริเยร์หรือซีเพราะในฟูเรียร์เราได้รับผลลัพธ์ที่ถูกผูกไว้มันไม่ไปไม่มีที่สิ้นสุด และการแปลง z จะใช้สำหรับสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่อง แต่ระบบ LTI เป็นสัญญาณต่อเนื่องดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้การแปลง z ได้ดังนั้นโดยใช้การแปลง Laplace เราสามารถคำนวณฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ LTI ใด ๆ