นี่คือการตอบคำถามส่วนที่สองของคุณเพื่อรับความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้อง
เราเขียนสมการความต่อเนื่องในรูปแบบอินทิกรัล
$$ \ int_ {V} \ dfrac {\ partial \ rho} {\ partial t} dV + \ oint_S \ rho \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {n} dS = 0 $$
อักษรกรีก $ \ rho $ คือความหนาแน่นของของเหลวของคุณ $ \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {n} $ เป็นผลคูณของความเร็วที่พื้นผิว $ \ mathbf {u} $ และเวกเตอร์หน่วยปกติภายนอก
สำหรับการไหลที่ไม่หยุดนิ่งปริมาตรอินทิกรัลจะหายไป ที่ด้านขาเข้าเราถือว่าความเร็วสม่ำเสมอ $ u _ {\ text {i}} $ ซึ่งขนานกับเวกเตอร์หน่วยของพื้นผิวและพื้นที่ผิวของ $ A _ {\ text {i}} $ ขั้นตอนเดียวกันกับร้านที่มี $ u _ {\ text {o}} $ และ $ A _ {\ text {o}} $ การประเมินค่าอินทิกรัลผิวเป็นสิ่งจำเป็นเฉพาะที่ทางเข้าและทางออก เราได้รับ:
$$ - \ rho u _ {\ text {i}} A _ {\ text {i}} + \ rho u _ {\ text {o}} A _ {\ text {o}} = 0. $$
โปรดทราบว่า $ u _ {\ text {i}} A _ {\ text {i}} $ คือปริมาตร flowrate ที่ทางเข้าและ $ \ rho u _ {\ text {i}} A _ {\ text {i}} $ is แทน massflowrate ที่ทางเข้า สมมติว่ามีรูปทรงเข้าและทางออกรูปทรงกลมที่เราได้รับ:
$$ u _ {\ text {i}} \ frac {\ pi} {4} d ^ 2 _ {\ text {i}} = u _ {\ text {o}} \ frac {\ pi} {4} d ^ 2_ {\ text {o}} \ นัย u _ {\ text {i}} d ^ 2 _ {\ text {i}} = u _ {\ text {o}} d ^ 2 _ {\ text {o}} $$
ดังนั้นถ้าคุณรู้อัตราการไหลที่ทางเข้า $ Q _ {\ text {i}} = u _ {\ text {i}} A _ {\ text {i}} $ (สามารถกำหนดได้โดยการวัดปริมาณของผลลัพธ์ในบาง เวลา). คุณสามารถอนุมานความเร็วได้ที่ทางออกสำหรับร้านค้าที่กำหนด $ d _ {\ text {o}} $ และในทางกลับกัน
เพื่อรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบเป็นไปได้ที่จะใช้สมการของเบอร์นูลลีกับการสูญเสียแรงดันเชิงประจักษ์ $ \ Delta p _ {\ text {loss}} $ เนื่องจากผลกระทบจากการกระจาย
$$ p _ {\ text {i}} + \ frac 12 \ rho u ^ 2 _ {\ text {i}} + \ rho g h _ {\ text {i}} = p _ {\ text {o}} + \ frac 12 \ rho u ^ 2 _ {\ text {o}} + \ rho g h _ {\ text {o}} + \ Delta p _ {\ text {loss}} $$
ตอนนี้เราสันนิษฐานว่าแรงดันที่ทางออกและทางเข้าเหมือนกันซึ่งเป็นข้อสันนิษฐานที่ดีสำหรับการเคลื่อนที่ช้าๆของอากาศในขณะที่ "ของเหลว" โดยรอบ ดังนั้นเราสามารถวางเงื่อนไขความกดดัน ลบ $ \ frac 12 \ rho u ^ 2 _ {\ text {i}} $ และใช้สมการความต่อเนื่องเพื่อแทนที่ $ u _ {\ text {i}} = \ frac {A _ {\ text {o}}} {A_ { \ ข้อความ {i}}} U _ {\ ข้อความ {o}} $ นอกจากนี้เราจะลบ $ \ rho g h _ {\ text {o}} $ และ $ \ Delta p _ {\ text {loss}} $ เราได้สมการต่อไปนี้:
$$ \ rho g (h _ {\ text {i}} - h _ {\ text {o}}) - \ Delta p _ {\ text {loss}} = \ frac 12 \ rho u ^ 2 _ {\ text {o} } \ left (1- \ frac {A _ {\ text {o}}} {A _ {\ text {i}}} \ right) $$
การแก้สมการนี้สำหรับ $ u _ {\ text {o}} $:
$$ u _ {\ text {o}} = \ sqrt {\ frac {2g (h _ {\ text {i}} - h _ {\ text {o}}) -2 \ frac {\ Delta p _ {ข้อความ \ text }}} {\ โร}} {1- \ frac {หัวใจ _ {\ ข้อความ {o}}} {_ {\ ข้อความ {i}}}}}. $$
หากคุณยังถือว่าการเรียบง่ายดังต่อไปนี้
- สมมติว่าไม่มีการสูญเสียแรงดัน: $ \ Delta p _ {\ text {loss}} = 0 $
- สมมติว่าพื้นที่ทางเข้ามีขนาดใหญ่กว่าพื้นที่ทางออก: $ \ frac {A _ {\ text {o}}} {A _ {\ text {i}}} \ ll 1 $
คุณจะได้รับกฎหมายของ Torricelli เป็นค่าประมาณ:
$$ u _ {\ text {o}} \ about \ sqrt {2g (h _ {\ text {i}} - h _ {\ text {o}})} $$
