การนำเงื่อนไขขอบเขตของ Neumann ไปใช้กับปัญหาความยืดหยุ่นโดยใช้วิธีไฟไนต์


0

ฉันกำลังแก้ไขปัญหาความยืดหยุ่นขอบเขตแบบผสมต่อไปนี้ด้วยวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์บนวงกลมหน่วยโดยใช้สามเหลี่ยมตาข่ายที่มี 3 โหนดในแต่ละองค์ประกอบ (ดีในปัญหาของฉันฉันรู้ u1 และ t2)

problem given

ด้วยรูปแบบที่อ่อนแอต่อไปนี้:

$ \ int_ \ Omega \ sum_ {i.j} ^ 2 \ sigma_ {ij} (u) \ epsilon_ {ij} (v) = \ int_ \ tau v2 * t2 $

ฉันได้ติดตั้งแล้วอย่างถูกต้องสำหรับปัญหาของ Dirichlet (ดังนั้นเมทริกซ์ความแข็งทั่วโลกก็ดีสำหรับปัญหานี้เช่นกัน) แต่ฉันทำอะไรผิดเมื่อใช้เงื่อนไขขอบเขตของ Neumann และฉันไม่สามารถหาได้ (ฉันยังได้คำตอบที่ถูกต้องสำหรับ u1 ที่ฉันมีเงื่อนไข Dirichlet) ทางด้านขวาของภาพคือโซลูชัน fem และทางด้านซ้ายเป็นรูปวิเคราะห์:

solution representation

นี่คือสิ่งที่ฉันทำเมื่อใช้เงื่อนไขขอบเขตของ Neumann:

ฉันไปที่องค์ประกอบสามเหลี่ยมแต่ละอัน:

- & gt; ฉันแยกพิกัดของแต่ละโหนดขององค์ประกอบ:    (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)    (องค์ประกอบมีความหมายตามจำนวนทวนเข็มนาฬิกา)

- & gt; ถ้า (x1, y1) และ (x2, y2) อยู่ในขอบเขต:

  • ฉันคำนวณหน่วยภายนอกที่เป็นปกติ: $$ n2 = \ frac {x_1-x_2} {\ sqrt {(y_2-y_1) ^ 2 + (x_1-x_2) ^ 2}} $$
  • ฉันอัปเดตเวกเตอร์บังคับ F ในสถานที่ที่สอดคล้องกับ $ C_e ^ 12 $ และ $ C_e ^ 22 $ ($ v_2 = \ sum_ {B = 1} ^ 3 N ^ BC_e ^ B2 $) โดยการเพิ่ม: $$ \ sigma_0 * n_2 * \ sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} * 0.5 $$

- & gt; ถ้า (x1, y1) และ (x3, y3) อยู่ในขอบเขต:

  • $ n2 = \ frac {x_3-x_1} {\ sqrt {(y_1-y_3) ^ 2 + (x_3-x_1) ^ 2}} $
  • อัปเดตด้วย $ + (-1) * \ sigma_0 * n_2 * \ sqrt {(x_3-x_1) ^ 2 + (y_3-y_1) ^ 2} * 0.5 $

- & gt; ถ้า (x2, y2) และ (x3, y3) อยู่ในขอบเขต:

  • $ n2 = \ frac {x_2-x_3} {\ sqrt {(y_3-y_2) ^ 2 + (x_2-x_3) ^ 2}} $
  • อัปเดตด้วย: $ + \ sigma_0 * n_2 * \ sqrt {(x_3-x_2) ^ 2 + (y_3-y_2) ^ 2} * 0.5 $

เมื่อมองไปที่รูปภาพคุณดูเหมือนจะมีภาพสะท้อนของสิ่งที่คุณต้องการซึ่งแสดงว่าคุณมีสัญญาณผิดปกติในการค้นหาสิ่งที่อยู่ภายนอก แต่ฉันไม่เข้าใจว่าคุณกำลังทำอะไร - คุณบอกว่า $ n_2 $ เป็นเรื่องปกติ แต่สมการของคุณที่ให้ $ n_2 $ เป็นสเกลาร์ไม่ใช่เวกเตอร์
alephzero

ฉันคำนวณเพียง n2 แทน [n1 n2] เพราะฉันมีเงื่อนไข Dirichlet ใน u1 ดังนั้นฟังก์ชั่นทดสอบ v1 คือ 0 ที่ขอบเขตเมื่อคำนวณรูปแบบที่อ่อนแอ มันเหลือแค่ $ v_2 * t_2 $ แทนที่จะเป็น $ [v_1 v_2] * [t_1 t_2] '$ ทางด้านขวาถ้าฉันไม่ผิด
Rebekah

อืม ... กำลังพยายามกำหนดเงื่อนไข Dirichlet ที่ $ u_1 $ และเงื่อนไข Neumann ที่ $ u_2 $ ในขอบเขตเดียวกันดูเหมือนว่าจะแปลกจริง ลองกำหนดเงื่อนไขของ Neumann โดยใช้ตัวแปรทั้งสองจากนั้นกำหนดเงื่อนไข Dirichlet ไว้ที่ $ u_1 $ ถ้านั่นทำให้คุณมีสูตรที่แตกต่างกันบางอย่างก็ไม่สมเหตุสมผล - และฉันคิดว่ามันเป็นคำนิยามของปัญหาที่คุณกำลังพยายามแก้ไขที่ไม่สมเหตุสมผลไม่ใช่ความพยายามของคุณในการแก้ปัญหา
alephzero
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.