พิกัดสามเหลี่ยม / พื้นที่มีข้อได้เปรียบในการคำนวณสำหรับสามเหลี่ยมที่รวมเป็นตัวเลขหรือไม่?

Isoparametric องค์ประกอบรูปสามเหลี่ยม จำกัด สามารถกำหนดได้โดยใช้ "พิกัดสามเหลี่ยม" $ (\ zeta_1, \ zeta_2, \ zeta_3) $ หรือบางครั้งเรียกว่าพื้นที่ / areal / barycentric coords หรือใช้ "พิกัดคาร์ทีเซียน" $ (r, s) $ กำหนด องค์ประกอบหลัก ระบบทั้งสองนี้สามารถเชื่อมโยงซึ่งกันและกันได้โดยไม่มีปัญหาและดูเหมือนจะทำงานได้เทียบเท่า

ดูเหมือนว่าข้อความและเอกสารวารสารหลายฉบับใช้ coords สามเหลี่ยม $ (\ zeta_i) $ โดยเฉพาะโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ล่าสุดและ / หรือเชิงคณิตศาสตร์ ในทางกลับกันฉันมีหนังสือเก่า ๆ และใช้แพ็คเกจ FEA เชิงพาณิชย์ที่นำเสนอสูตรองค์ประกอบที่มีพิกัด $ (r, s) $ อย่างสม่ำเสมอ ฉันมีความรู้สึกว่านี่อาจเป็นเพราะเหตุผลทางประวัติศาสตร์ แต่อาจมีมากกว่านั้น

หากว่าองค์ประกอบเรขาคณิตถูก จำกัด (ด้านตรงและโหนดด้านข้างใด ๆ เว้นระยะเท่ากัน) ฉันเข้าใจว่า coords รูปสามเหลี่ยมอาจมีประโยชน์เพราะพวกเขาให้ยืมตัวกับการวิเคราะห์เชิงบูรณาการ อย่างไรก็ตามเมื่อไม่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้จะต้องใช้การรวมเชิงตัวเลข ในกรณีนี้มีประโยชน์ใด ๆ จากการใช้พิกัดรูปสามเหลี่ยมแนวคิดหรือการคำนวณหรือไม่

ระบบพิกัดรูปสามเหลี่ยม (หรือระบบ tetragonal ในแบบ 3 มิติ) มีข้อได้เปรียบในการให้จุดยอดทั้งหมดของสถานะเท่าเทียมกันขององค์ประกอบ สิ่งนั้นจะชัดเจนในขั้นตอนการรวมตัวเลขเมื่อคุณดูตำแหน่งและน้ำหนักของจุดรวม

พิกัดทั้งสามไม่เป็นอิสระ - พวกเขาควรจะรวมเป็น 1 ทุกจุดในองค์ประกอบ แต่โดยปกติการรักษาความสมมาตรในสูตรนั้นมีประโยชน์มากกว่าการสูญเสียความเป็นอิสระของพิกัด

เอกสารต้นมักจะเลือกจุดสุดยอดหนึ่ง (โดยพลการ) เป็น "พิเศษ" และแมปจุดสุดยอดนั้นกับที่มาของระบบท้องถิ่นและด้านที่อยู่ติดกันตามแนวแกน X และ Y สำหรับองค์ประกอบรูปสามเหลี่ยมที่มีรูปร่างตามอำเภอใจนี่จะให้ ผลลัพธ์ที่แตกต่าง ขึ้นอยู่กับจุดสุดยอดที่คุณใส่ที่จุดกำเนิดซึ่งอาจสร้างความสับสนเมื่อพยายามที่จะเข้าใจว่าทำไมทั้งสองรุ่นที่ดูเหมือนกันไม่ได้ให้คำตอบเดียวกัน!

ก่อนยุคของการสร้างตาข่ายอัตโนมัติและการปรับแต่งตาข่ายสามเหลี่ยมมักมีอคติอย่างเป็นระบบอยู่แล้ว (เช่นเริ่มต้นด้วยตาข่ายสี่เหลี่ยมและวาดเส้นทแยงมุมทั้งหมดที่ชี้ไปในทิศทางเดียวกัน) ดังนั้นการรักษาจุดยอดหนึ่งของสามเหลี่ยมอาจเป็น "พิเศษ" ดี สิ่งที่ต้องทำร่วมกับตาข่ายชนิดนั้น แต่นั่นคือประวัติศาสตร์ทั้งหมดในขณะนี้

แน่นอนคุณ ได้ จัดทำแผนที่ขั้นตอนการรวมตัวเลข "สมมาตร" อีกครั้งลงในระบบพิกัดท้องถิ่น "โรงเรียนเก่า" ถ้าคุณต้องการจริงๆ - แต่มันง่ายกว่าที่จะไม่ไปสนใจเรื่องนั้น

แทบจะไม่มีใครใช้การบูรณาการเชิงวิเคราะห์สำหรับปัญหา "โลกแห่งความจริง" อีกต่อไป - แม้ว่ารูปทรงเรขาคณิตจะเหมาะกับมัน แต่คุณสมบัติอย่าง Youngs Modulus มักจะแตกต่างกันไป (เช่นอุณหภูมิ) ภายในองค์ประกอบเดียว ไม่ว่าในกรณีใดคุณสามารถสร้างกฎการรวมตัวเลขที่ให้ แน่นอน ผลลัพธ์สำหรับกรณีพิเศษที่สามารถบูรณาการเชิงวิเคราะห์ดังนั้นทำไมต้องใช้วิธีการรวมสองวิธีที่ต่างกันเมื่อวิธีหนึ่งจะจัดการกับทั้งสองสถานการณ์