เหตุใดมัค 0.3 จึงเป็นเกณฑ์แบ่งการไหลที่อัดได้และไม่ยุบตัว

ฉันได้อ่านมาว่ามัค 0.3 นั้นเป็นข้อ จำกัด ขั้นต้นสำหรับการบำบัดอากาศในฐานะของของเหลวที่อัดตัวไม่ได้ แหล่งข้อมูลที่ฉันได้อ่านดูเหมือนว่าจะถือว่าเป็นสิ่งที่ได้รับโดยไม่มีข้อพิสูจน์หรือเหตุผล

ทำไมถึงมีข้อ จำกัด ? มีเหตุผลทางคณิตศาสตร์สำหรับสิ่งนี้หรือไม่? นอกจากนี้ขีด จำกัด นี้ใช้กับอากาศเท่านั้นหรือไม่ ถ้าไม่เช่นนั้นขีด จำกัด จะขึ้นอยู่กับอะไร?

วิกิพีเดียให้เหตุผลของมัค 0.3 เนื่องจากความจริงที่ว่าสิ่งนี้ได้รับการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นประมาณ 5%

ฉันพบหน้า NASAที่อธิบายถึงความสัมพันธ์ (เชิงวิเคราะห์!) ฉันอ้างถึงที่มา แต่ฉันจะทำซ้ำผลงานที่นี่เพื่อลูกหลานในกรณีที่ลิงก์ของพวกเขาเปลี่ยนไป

เริ่มต้นด้วยการอนุรักษ์โมเมนตัม:

$$(\rho V) dV = -dp \\ $$

โดยที่$\rho$คือความหนาแน่นของของไหล$V$คือความเร็วและ$p$คือความดัน สำหรับการไหลของไอเซนโทรปิก:

$$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\ $$

โดยที่$\gamma$คืออัตราส่วนความร้อนจำเพาะ กฎหมายแก๊สในอุดมคติให้:

$$p = \rho R T \\ $$

โดยที่$R$คือค่าแก๊สคงที่ที่เฉพาะเจาะจงและ$T$คืออุณหภูมิสัมบูรณ์ ดังนั้นการทดแทน:

$$dp = \gamma R T d\rho$$

ความเร็วของเสียงสามารถคำนวณได้โดย:

$$\gamma R T = a^2 \\ $$

โดยที่$a$คือความเร็วของเสียงดังนั้น:

$$dp = a^2 d\rho \\ $$

การแทนที่การแสดงออกข้างต้นเป็นการอนุรักษ์สมการโมเมนตัมให้:

$$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\ $$

$M$

ตามที่บันทึกไว้นี้จะขึ้นอยู่กับเลขมัคซึ่งจะขึ้นอยู่กับความเร็วของเสียงในแก๊สดังนั้นมันจะถูกปรับโดยอัตโนมัติในแต่ละก๊าซ