ความแตกต่างระหว่างแทนเจนต์และทวินามมีความชัดเจนน้อยลงบนพื้นผิวทันที แต่ไม่ควรแปลกใจเกินไป - เดิมทีไบนารีมีการกำหนดไว้ไม่ใช่สำหรับพื้นผิว แต่สำหรับเส้นโค้งที่แนวคิดมีความหมายมากขึ้น เป็น 'ปกติ' ในการที่มันเป็นมุมฉากกับทิศทางของการเคลื่อนไหวจึงชื่อ) จะเจาะจงมากขึ้นกำหนดให้มีเส้นโค้งของรูปแบบ p = V (t) = (V x (t), V y (t), V z (t)) จากนั้นแทนเจนต์ - ซึ่งเป็นเวกเตอร์ที่ชี้ไปที่ ทิศทางของการเคลื่อนไหว - กำหนดโดย T u = dp / dt = (dV x / dt, dV z / dt, dV z/ dt) (ฉันใช้ตัวห้อยที่นี่เพื่อแยกความแตกต่าง 'ผิดปกติ' เนื่องจากฉันไม่มี MathJax ของฉันที่นี่) จากนั้นความเร็ว (ทันที) ตามแนวโค้งคือ s = | T u | ความยาวของเวกเตอร์แทนเจนต์และ เวกเตอร์แทนเจนต์ 'normalized' เป็นเพียง T = T u / s
จากนั้นเวกเตอร์ปกติถึงส่วนโค้งคืออนุพันธ์ของเวกเตอร์แทนเจนต์ที่ปรับตามช่วงเวลา, N u = dT / dt; เหตุผลที่แทนเจนต์ปกติถูกใช้ที่นี่เพื่อรักษาความเร็วตามโค้งจากการบิดเวกเตอร์ปกติ - คุณสามารถแสดงให้เห็นว่าด้วยคำจำกัดความนี้เรามักมี TN u = 0 โปรดทราบว่า N uไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์หน่วย มากกว่า T uคืออะไร อันที่จริงแล้วขนาดของมันคือ k = | N u | คือความโค้ง (ทันที) ของเส้นโค้งที่จุดที่กำหนดและจุด p + N uคือศูนย์กลางของวงกลมที่เรียกว่าosculating (ณ จุดที่กำหนด) Normalized Normalized จะเท่ากับ N = N u/ k และ bitangent B คือ cross product B = TxN; เนื่องจาก T และ N เป็นทั้งเวกเตอร์หน่วยและพวกมันตั้งฉากกันดังนั้น B จึงเป็นเวกเตอร์หน่วยและ (T, N, B) เป็นกรอบรูปมุมฉาก
โปรดสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความนี้ 'binormal' ไปยังเส้นโค้งนั้นใกล้เคียงกับสิ่งที่เราคิดว่าเป็นพื้นผิวธรรมดา (มันเป็นระนาบปกติของระนาบของ 'ท้องถิ่น' ของเส้นโค้ง) และเส้นโค้งปกติถึงใกล้กับอะไร เราคิดว่าเป็นสิ่งที่ทำให้ผิวหน้าสัมผัส
(ภาพนี้น่าเศร้าที่ไม่ได้ทำแนวคิดเรื่องความยุติธรรม แต่มันเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันเจอบนเว็บและฉันไม่สามารถสร้างเองได้อย่างง่ายดาย ... )
