ฉันจะสร้างสมการผลตอบแทนลดลงอย่างง่ายได้อย่างไร

มีสูตรสำหรับสมการส่งคืนที่ลดน้อยลง อย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านี้มักจะเกี่ยวข้องกับการอธิบาย มีวิธีอื่นอีกไหมในการหาสมการดังกล่าว ยกตัวอย่างเช่นกรณีทดสอบต่อไปนี้ - หนึ่งฟาร์มผลิตอาหาร 10 ชนิดสำหรับทุก ๆ 10 ฟาร์มที่ผลิตอัตราการผลิตลดลง 5%

สำหรับการสร้างสมการผลตอบแทนลดลงฉันจะคิดเศษส่วนทันที

นี่คือกราฟของ y=1/F

yจะเล็กลงตามFขนาดที่ใหญ่ขึ้น สิ่งนี้จะทำให้การดรอปดาวน์คงที่ที่ไม่ถึง 0 จากนี้คุณสามารถแปลงมันเพื่อให้ได้เส้นโค้งที่คุณต้องการ ใช้หมายเลข> 0 จะเสมอให้ผลผลิตในเชิงบวกที่เป็นไม่เคย 0

สุจริตฉันขอแนะนำให้ไปWolframAlphaและใส่ในสมการบางอย่างและดูกราฟที่มันวาดเพื่อดูว่ามันให้เส้นโค้งที่คุณต้องการ นอกเหนือจากนั้นให้อ่านสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเพื่อให้สามารถหาได้อย่างรวดเร็วว่าคุณต้องการเปลี่ยนสูตรอะไร นี่เป็นเพราะการสร้างแบบจำลองกราฟผ่านสมการเป็นเรื่องเล็กน้อยและถ้าฉันสามารถอธิบายได้ที่นี่อย่างสมบูรณ์ฉันจะขายคำอธิบายนั้นให้ครูคณิตศาสตร์บางคนก่อน

y=mx+cโดยทั่วไปสำหรับกราฟเส้นจำ mคือการไล่ระดับสีและสามารถเป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องการและเป็นจุดที่มันจุดตัดc เป็นตัวแปรอินพุตของคุณและเป็นเอาต์พุตของคุณy axisxy

นี่คือกราฟของy=mx+cที่m=1และc=0

สำหรับกราฟกำลังสองมันจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยดังนั้นฉันจะค่อนข้างคลุมเครือและคุณจะต้องอ่านข้อมูลเฉพาะของตัวเอง Khan Academyเป็นแหล่งข้อมูลที่ดีสำหรับการสอนสิ่งนี้ y=ax²+bx+cมันเป็นเรื่องของรูปแบบทั่วไป cยังคงเป็นจุดตัดแกน y และคุณสามารถปรับแต่งมันเพื่อ "ยก" กราฟ aและbทั้งสองมีผลต่อเส้นโค้งในทำนองเดียวกัน แต่ต่างองศากัน

y=-x²+2x+10นี่คือ สังเกต-x²ซึ่งทำให้เส้นโค้งกลับด้าน

โดยพื้นฐานแล้วลองเล่นกับกราฟจนกว่าคุณจะได้สิ่งที่ต้องการแม้ว่าฉันจะแนะนำให้อ่านมันมากกว่านี้หากคุณต้องการออกแบบประสบการณ์อย่างรวดเร็วและหมดจด สมการพื้นฐานมีความสำคัญต่อเกมและน่าสนใจมาก

สิ่งอื่น ๆ ที่ควรทราบคือกราฟแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมเช่นกราฟของy=e^xและy=ln(x)เพื่อเพิ่มกราฟที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วและลดลงอย่างรวดเร็วขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลง เวกเตอร์และการแปลงมีประโยชน์เช่นเดียวกับที่พวกเขาอธิบายสิ่งที่คุณทำกราฟ "ฐาน"

Diminishing return = การลดอนุพันธ์

• เนื่องจากคุณยังต้องการผลตอบแทนสูงกว่าในระดับที่สูงกว่าหมายความว่าอนุพันธ์ควรเป็นบวกมิฉะนั้นการสร้างฟาร์มมากขึ้นจะลดการผลิตอาหาร (ซึ่งอาจสมเหตุสมผลถ้าคุณคำนึงถึงการขนส่งและค่าใช้จ่ายในการบำรุงรักษา)
• มันควรจะเข้าใกล้ศูนย์ assymptotically ถ้ามันไปสู่ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์คุณจะจบลงด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องต่อฟาร์มในระดับหนึ่ง
• ขึ้นอยู่กับว่ามันจะไปที่ศูนย์เร็วแค่ไหนคุณสามารถมีขีด จำกัด บนหรือฟังก์ชั่นที่ไม่มีขอบเขต

ดังนั้นคุณต้องทำอะไร เลือกฟังก์ชั่นที่เหมาะกับเกณฑ์ข้างต้นและรวมเข้าด้วยกัน
ทางเลือกที่ง่ายที่สุดสำหรับงานนี้เป็นg(t,n) = 1/(t+1)^nที่n=1เครื่องหมายเขตแดนระหว่างฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นและล้อมรอบ
อินทิกรัลของ g จาก 0 ถึง x คือสิ่งที่คุณต้องการ: f(x,n) = ((x+1)**(1-n) - 1)/(1-n)
นี่คือลักษณะที่แตกต่างn

และนี่คือค่าปกติถึงค่าสุดท้าย

โดยการเปลี่ยนเลขชี้กำลังnคุณสามารถปรับสมดุลได้อย่างง่ายดาย
หมายเหตุ: อนุพันธ์ที่นี่คือการผลิตต่อฟาร์มในขณะที่อินทิกรัลคือการผลิตทั้งหมดสำหรับฟาร์มจำนวนหนึ่ง

โดยทั่วไปสมการเชิงเส้นจะเริ่มต้นด้วยค่าเริ่มต้นของคุณอยู่y = mx + bที่ไหนbและmxเป็นวิธีที่คุณปรับค่าเริ่มต้นเมื่อxเพิ่มขึ้น

ดังนั้นส่วนแรกของสมการของคุณbคือจะเป็น10เพราะคุณต้องการให้ฟาร์มเริ่มต้นที่ 10 อาหาร

y = mx + 10

ถัดไปในกรณีของคุณคุณต้องการปรับอาหารโดยผลิตโดยทุก ๆ สิบฟาร์ม ดังนั้นคุณจะต้องหารด้วยสิบเพื่อให้ได้สมการที่ใช้ได้กับทุก ๆ สิบฟาร์ม (สมมติว่าx / 10ผลตอบแทนเป็นจำนวนเต็มเช่น13 / 10 = 1:

y = m * (x / 10) + 10.

ดังนั้นในที่สุดเราต้องหาวิธีที่เราต้องการให้อาหารเปลี่ยนไปสำหรับทุกx / 10ฟาร์ม ในกรณีของคุณคุณต้องการให้มันลดลง 0.5 (5% จาก 10) ซึ่งเป็นเส้นตรง ดังนั้นเราจึงได้รับ:

y = -0.5 * ( x / 10 ) + 10.

ดังนั้นสำหรับฟาร์มที่เราได้รับx = 5 5 / 10 = 0, 0 * -0.5 = 0, 0 + 10 = 10สำหรับฟาร์มที่x = 11เราได้รับ11 / 10 = 1, 1 * -0.5 = -0.5, -0.5 + 10 = 9.5สำหรับฟาร์ม 23 เราจะได้ 9.0

จากนั้นคุณเพียงแค่ต้องคำนวณอาหารทั้งหมดสำหรับฟาร์มทั้งหมด

y = 0
for( x = 0; x < totalFarms; x++ )
{
    y += -5 * ( x / 10 ) + 10;
}

แต่คุณอาจจะลดลง 5% คุณต้องการให้มันลดลง 5% จากค่าก่อนหน้า คือ10, 10 * 0.95 = 9.5, 9.5 * 0.95 = 9.025(ในกรณีนี้จำนวนเงินที่เราลดลงจะลดลงเรื่อย ๆ ) งั้นลองแก้ไขสมการกัน เป็นประเภทเพิ่มขึ้นชี้แจงและสูตรชี้แจงคือ5%y = b*m^x

เรายังมีb = 10และเราต้องหารด้วย 10 ลูกเล่น y = 10*m^(x/10)ดังนั้นเราจึงมี mคือ0.95เนื่องจากเราต้องการที่จะรับ 95% ของมูลค่าในแต่ละครั้ง ดังนั้นสมการสำหรับฟาร์มคือxy = 10*0.95^(x/10)

ผลตอบแทนเชิงเส้นที่ลดลงจะทำอย่างไร ผลผลิตต่อฟาร์ม = (1 - (0.05 - (f / 10))) * อัตราการผลิต สิ่งนี้ช่วยให้ยอดการผลิตโดยรวม (อัตรา * # ของฟาร์ม) สูงสุดที่ f = 100

คุณอาจต้องการพิจารณาโซลูชันอัลกอริทึมที่ตรงกับสถานการณ์

นั่นคือพิจารณาว่าทำไมมีผลตอบแทนลดลงในสถานการณ์เกมของคุณและสร้างแบบจำลองเหล่านั้น

สิ่งอำนวยความสะดวกหลายประเภทเดียวกันอาจมีผลตอบแทนลดน้อยลงนั่นคืออาจมีทรัพยากรหรือสิ่งอำนวยความสะดวกอื่น ๆ ที่พวกเขาพึ่งพาหรือทำให้เกิดปัญหาคอขวดหรือสถานการณ์ จำกัด อื่น ๆ เช่นเครือข่ายถนนหรือคนงานหรือการขนส่งหรือน้ำจืดหรือ ไฟฟ้าหรืออะไรก็ตาม

ฟาร์มหนึ่งแห่งสามารถผลิตอาหารได้ 10 มื้อต่อวันในสถานการณ์ที่เหมาะสม แต่ต้องใช้เกษตรกรสองชั่วโมงต่อวันเช่นกัน นอกจากนี้ยังต้องการน้ำจืดหนึ่งครั้งต่ออาหารต่อวันและบ่อของตัวเองให้มากถึง 5 น้ำต่อวัน ส่วนที่เหลือจะต้องนำมาจากลำธารหรือแม่น้ำที่อยู่ติดกันหรือนำโดยการขนส่ง และการได้รับอาหารไปยังที่ที่จำเป็นต้องมีประโยชน์ก็อาจเป็นปัญหาเช่นกัน เป็นต้นลบบางส่วนหรือเพิ่มขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องการเป็นตัวแทน แต่สิ่งเหล่านี้อาจเป็นเหตุผลที่น่าสนใจและมีความหมายซึ่งเพิ่มความสนใจและความคุ้มค่าให้กับระบบเกมอื่น ๆ ของคุณซึ่งแตกต่างจากสูตรทางคณิตศาสตร์ .

หากคุณต้องการให้สมการทั่วไปเข้ามายุ่งกับคุณสามารถใช้กราฟโคไซน์: A * cos (Bx + C) + D

แต่ปรับเปลี่ยนเป็นครึ่งรอบดังนั้นมันจะรวมการเพิ่มขึ้นของเลขชี้กำลังในตอนเริ่มต้นจากนั้นระยะเวลาสั้น ๆ ของการเพิ่มขึ้นเชิงเส้นจะเป็นจุดที่ลดลงในที่สุด ปัญหาเดียวของเรื่องนี้คือมันจะต้องมีการสร้างเพดานที่ไม่สามารถใช้ได้ ดังนั้นหลังจากฟาร์มจำนวนหนึ่งคุณจะไม่เห็นการเพิ่มขึ้น

ภาพด้านล่างเป็นกราฟของการเพิ่มความเร็วในการวิ่ง 30 นาทีโดยทำแบบฝึกหัดเดียวกันในการเตรียมการ เห็นได้ชัดว่ามันไม่สมบูรณ์แบบ แต่คุณอาจสามารถทำสิ่งนี้เพื่อค้นหาสิ่งที่คุณต้องการ