แม้ว่า geodesics จะดูเหมือนคลื่นไซน์เล็กน้อยในการคาดการณ์บางสูตรไม่ถูกต้อง
นี่คือหนึ่งเนื้อที่ในการประมาณการ Equirectangular เห็นได้ชัดว่ามันไม่ใช่คลื่นไซน์:
(ภาพพื้นหลังนำมาจากhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Equirectangular-project.jpg/800px-Equirectangular-project.jpg )
เนื่องจากการคาดการณ์ Equirectangular ทั้งหมดเป็นการแปลงเลียนแบบของอันนี้ (โดยพิกัด x คือลองจิจูดและพิกัด y คือละติจูด) และการแปลงเลียนแบบของคลื่นไซน์ยังคงเป็นคลื่นไซน์เราไม่สามารถคาดหวังว่า geodesics ในรูปแบบใด ๆ การฉายภาพแบบสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นคลื่นไซน์ (ยกเว้นเส้นศูนย์สูตรซึ่งแปลงเป็นเส้นแนวนอน) งั้นเริ่มจากจุดเริ่มต้นและหาสูตรที่ถูกต้อง
ปล่อยให้สมการของ geodesic ดังกล่าวอยู่ในรูปแบบ
latitude = f(longitude)
สำหรับฟังก์ชั่นFจะพบ (วิธีนี้เลิกใช้แล้วกับเส้นเมอริเดียนซึ่งไม่สามารถเขียนในรูปแบบดังกล่าวได้ แต่เป็นแบบทั่วไปอย่างสมบูรณ์) การแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน 3D (x, y, z) ให้
x = cos(l) cos(f(l))
y = sin(l) cos(f(l))
z = sin(f(l))
โดยที่lคือลองจิจูดและรัศมีของยูนิทจะถูกสมมติขึ้น เนื่องจาก geodesics บนทรงกลมเป็นจุดตัดกับระนาบ (ผ่านจุดศูนย์กลาง) จึงต้องมีเวกเตอร์คงที่ (a, b, c) - ซึ่งอยู่ระหว่างเสาของ geodesic - ซึ่ง
a x + b y + c z = 0
ไม่ว่ามูลค่าของlอาจเป็นเท่าใด การแก้หา f (l)
f(l) = ArcTan(-(a cos(l) + b sin(l)) / c)
ให้cเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์ เห็นได้ชัดว่าเมื่อคเข้าใกล้ 0, เราได้รับในวงเงินคู่ของเส้นเมอริเดียนที่แตกต่างกันโดย 180 องศา - แม่นยำ geodesics ที่เราทิ้งไว้ที่เริ่มแรก ดังนั้นทั้งหมดเป็นสิ่งที่ดี อย่างไรก็ตามแม้จะมีลักษณะที่ปรากฏนี้ใช้เพียงสองพารามิเตอร์เท่ากับ a / c และ b / c
โปรดทราบว่าธรณีวิทยาทั้งหมดสามารถหมุนได้จนกว่าพวกเขาจะผ่านเส้นศูนย์สูตรที่ศูนย์องศาแวง นี่เป็นการบ่งบอกว่า f (l) สามารถเขียนได้ในรูปของ f0 (l-l0) โดยที่ l0 คือลองจิจูดของการข้ามเส้นศูนย์สูตรและ f0 คือการแสดงออกของการข้ามทางภูมิศาสตร์ที่ Prime Meridian จากนี้เราได้สูตรเทียบเท่า
f(l) = ArcTan(gamma * sin(l - l0))
โดยที่ -180 <= l0 <180 องศาเป็นลองจิจูดของการข้ามเส้นศูนย์สูตร (ขณะที่ธรณีวิทยาเข้าสู่ซีกโลกเหนือเมื่อเดินทางไปทางตะวันออก) และแกมม่าเป็นจำนวนจริงบวก นี่ไม่รวมคู่เที่ยงวัน เมื่อgamma = 0 มันกำหนดเส้นศูนย์สูตรด้วยจุดเริ่มต้นที่ลองจิจูด l0; เราอาจใช้ l0 = 0 ในกรณีนั้นเสมอหากเราต้องการสร้างพารามิเตอร์ที่ไม่ซ้ำ ยังมีเพียงสองพารามิเตอร์ที่กำหนดโดย l0 และแกมม่าในครั้งนี้
Mathematica 8.0 ถูกใช้เพื่อสร้างภาพ ในความเป็นจริงมันสร้าง "การจัดการแบบไดนามิก" ซึ่งเวกเตอร์ (a, b, c) สามารถควบคุมและ geodesic ที่เกี่ยวข้องจะปรากฏขึ้นทันที (มันเจ๋งทีเดียว) ก่อนอื่นเราจะได้ภาพพื้นหลัง:
i = Import[
"http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/\
Equirectangular-projection.jpg/800px-Equirectangular-projection.jpg"]
นี่คือรหัสทั้งหมด:
Manipulate[
{a, b, c} = {Cos[u] Cos[v], Sin[u] Cos[v], Sin[v]};
Show[Graphics[{Texture[i],
Polygon[{{-\[Pi], -\[Pi]/2}, {\[Pi], -\[Pi]/2}, {\[Pi], \[Pi]/2}, {-\[Pi], \[Pi]/2}},
VertexTextureCoordinates -> {{0, 0}, {1, 0}, {1, 1}, {0, 1}}]}],
Plot[ArcTan[(a Cos[\[Lambda]] + b Sin[\[Lambda]]) / (-c)], {\[Lambda], -\[Pi], \[Pi]},
PlotRange -> {Automatic, {-\[Pi]/2, \[Pi]/2}}, PlotStyle -> {Thick, Red}]],
{u, 0, 2 \[Pi]}, {v, -\[Pi]/2, \[Pi]}]
rotation,amplitudeและoffset) เมื่อวงกลมใหญ่โดยธรรมชาติมีเพียงสองพารามิเตอร์เท่านั้น (แต่ละอันนั้นตรงกับคู่ของจุดตรงข้ามที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางที่เป็น "ขั้ว")?