ทรงรีเป็นความจำเป็นทางคณิตศาสตร์หรือไม่?

วรรณกรรมมักจะบอกเราว่า Geoid นั้นซับซ้อนเกินกว่าที่จะอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้

Ellipsoids เหล่านี้มีความจำเป็นทางคณิตศาสตร์หรือไม่หรือเราสามารถกำหนดโปรเจคชันจากแบบจำลอง Geoid ให้เป็นพิกัดของเครื่องบินได้หรือไม่?

สิ่งนี้สรุปความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานบางอย่าง เนื่องจากเป็นการยากที่จะค้นหาพวกเขาทั้งหมดอธิบายอย่างชัดเจนและสรุปไว้ในที่เดียวฉันอาจผิดหรือทำให้เข้าใจผิดเกี่ยวกับบางส่วนของพวกเขา: ความคิดเห็นและการแก้ไขยินดีต้อนรับ

"Geoids" เป็นการประมาณพื้นผิวของความโน้มถ่วงความโน้มถ่วง

geoid เป็นพื้นผิวโลกสมมุติที่แสดงถึงระดับน้ำทะเลปานกลางในกรณีที่ไม่มีลมกระแสน้ำและกระแสน้ำส่วนใหญ่ geoid เป็นพื้นผิวอ้างอิงที่มีประโยชน์ มันกำหนดแนวนอนทุกที่และแรงโน้มถ่วงจะทำหน้าที่ตั้งฉากกับมัน ระดับของช่างไม้จะเรียงตัวตามแนว geoid และลูกดิ่งของช่างไม้จะชี้ไปทางแนวตั้งหรือแนวตั้งฉากกับ geoid น้ำจะไม่ไหลในท่อระบายน้ำหากท่ออยู่ในแนวเดียวกับแนว geoid นักสำรวจใช้ความรู้เกี่ยวกับ geoid และแนวนอนเมื่อพวกเขาวางโครงร่างทางหลวงและขอบเขต

(NASA)

ในการรับรู้ถึงสิ่งที่ได้รับเมื่อเปรียบเทียบกับทรงกลมหรือทรงรีโปรดทราบว่า

• ความแตกต่างของการยกระดับที่เด่นชัดระหว่างแบบจำลองทรงกลมกับทรงรีดีนั้นขึ้นอยู่กับสองโหลกิโลเมตร นี้แปลเป็นความแตกต่างของการวางตำแหน่งสูงสุดประมาณ 22 กิโลเมตร จำนวนเงินที่ค่อนข้างใหญ่ของการวางตำแหน่งไม่ตรงกันเกิดขึ้นเนื่องจากมีระบบการบิดเบือนของทรงกลมเทียบกับรี: มันบรรลุหนึ่งมากที่เสาและรุนแรงอีกเส้นศูนย์สูตร

• ความแตกต่างของการยกระดับที่เด่นชัดระหว่างรูปวงรีที่ดีกับ geoid นั้นโดยทั่วไปแล้วจะน้อยกว่า 100 เมตร (ประมาณ 0.1 กิโลเมตร) นี่ไม่ใช่ความแตกต่างที่เป็นระบบ: มันแตกต่างกันมากในส่วนที่ค่อนข้างสั้นของโลก (ตามคำสั่งของหลายร้อยกิโลเมตร) ดังนั้นความคลาดเคลื่อนของการวางตำแหน่งแนวนอนสูงสุดที่เกิดจากการคาดการณ์ตามรูปทรงเรขาคณิตของ geoid นั้นน่าจะเป็นไปตามลำดับของเมตรหรือน้อยกว่า (โดยปกติจะน้อยกว่า

• อย่างไรก็ตามการเบี่ยงเบนของ geoid (ซึ่งเป็นจำนวนที่ทิศทางแนวตั้งความโน้มถ่วงที่แท้จริงแตกต่างกัน) ถึงประมาณอาร์ควินาทีซึ่งทำให้ไม่เหมาะสมสำหรับการทำแผนที่ความแม่นยำสูงใด ๆ ตามการวัดละติจูดในแง่ของ มุมชี้ขึ้นในท้องถิ่น ส่วนโค้งที่สองของการเบี่ยงเบนนั้นแปลว่าเกือบ 30 เมตรบนพื้นดินและการโก่งตัวนั้นสามารถเปลี่ยนแปลงจากมากไปยังอีกอันหนึ่งในอีกไม่กี่ร้อยกิโลเมตร

ในทางกลับกันสำหรับการบีบความถูกต้องที่ 0.5% ของความแม่นยำในการอธิบายว่า geoid แตกต่างจากทรงรีคุณจำเป็นต้องใช้พารามิเตอร์หลายร้อยถึงแสนจำนวนเมื่อเทียบกับสองเพื่ออธิบายรูปวงรี ใช่มันเป็นไปได้ในทางคณิตศาสตร์ที่จะกำหนดการฉายภาพตาม geoid แทนที่จะเป็นรูปวงรี [ดู "การประสานงานชาร์ต" บน PP 4-5 ของข้อความนี้ตัวอย่างเช่น คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่ทันสมัยของพื้นผิวโค้งเรียบเช่น geoid ขึ้นอยู่กับชุดของการคาดการณ์ ทฤษฎีบทฟังก์ชั่นโดยปริยายรับประกันการคาดการณ์เช่นนี้สำหรับ geoid] การคำนวณจะบอกว่าอย่างน้อยที่สุดก็ไม่มีประสิทธิภาพ (แม้ว่ามันจะถูกเร่งความเร็วโดยการแก้ไขในตารางที่คำนวณล่วงหน้า) เมื่อจำเป็นความแตกต่างในการจัดตำแหน่งแนวตั้งสามารถคำนวณได้หลังจากการฉายตามรูปทรงรีทรงรีในแง่ของพารามิเตอร์ทางภูมิศาสตร์หรือโดยการสอดแทรกในตารางที่คำนวณล่วงหน้าของค่าทางภูมิศาสตร์

ปัญหาที่อาจเกิดขึ้นอย่างร้ายแรงกับการคาดการณ์แผนที่ฐานบนพื้นดินตามพื้นผิวอ้างอิงคือพื้นโลกเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา มันจะเปลี่ยนกับการเปลี่ยนแปลงในระดับน้ำทะเลเช่น

เพราะทุกวันนี้การวางตำแหน่งทางภูมิศาสตร์มากในพิกัดทางภูมิศาสตร์แทนที่จะใช้วิธีการหาตำแหน่งแบบแรงโน้มถ่วง (เช่นระดับ) การใช้ geoid นั้นไม่เกี่ยวข้องกับการใช้งานจริง: รูปวงรี - อย่างไรก็ตามมันอาจเกี่ยวข้องกับแรงโน้มถ่วงหรือทะเล ระดับหรือรูปร่างที่แท้จริงของโลก - ทำหน้าที่เป็นพื้นผิวอ้างอิงที่เสถียรพอสมควรเมื่อเทียบกับสิ่งอื่นที่สามารถหาและแมปได้ จากนั้นจะอธิบาย geoid ที่สัมพันธ์กับการอ้างอิงนี้ คำอธิบายมันใช้ในการทำแผนที่เป็นหลักเพื่อให้ดาวเทียม GPS เพื่อปรับปรุงความถูกต้องตำแหน่งของพวกเขา

ฉันไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญด้านมาตรวิทยา แต่เท่าที่ฉันเข้าใจมัน geoid เป็นรูปร่างที่พื้นผิวของมหาสมุทรจะอยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียว มันคือพื้นผิวที่ความเข้มของแรงโน้มถ่วงเท่ากัน

ปัญหาไม่ใช่ว่ามันยากที่จะอธิบายทางคณิตศาสตร์ แต่มันอาจเป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายอย่างถูกต้องและแม่นยำ

ตัวอย่างเช่นใกล้กับเทือกเขาเช่นเทือกเขาหิมาลัยหรือเทือกเขาแอนดีสมันเปลี่ยนไปอย่างมากเนื่องจากมวลขนาดใหญ่ที่บรรจุอยู่ในเทือกเขา มันยังเปลี่ยนแปลงตามฤดูกาลเนื่องจากปริมาณน้ำในอ่างเก็บน้ำด้านหลังเขื่อน (ในภูมิภาคใกล้เขื่อน)

Ellipsoid ในทางกลับกันเป็นพื้นผิวปกติซึ่งสามารถใช้เป็นการประมาณที่ราบรื่นของพื้นผิวโลกในอุดมคติ

ใช่คุณต้องใช้ทรงรี (หรือพื้นผิวทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ)

เหตุผลก็คือ Geoid เป็นพื้นผิวทางกายภาพ (กำหนดเป็นพื้นผิว equipotential ของสนามแรงโน้มถ่วง) ความหมายง่าย ๆ - มันไม่มีสูตรทางคณิตศาสตร์ (อีกความหมายง่ายๆ - เป็นพื้นผิวที่ระดับความสูงของระดับน้ำทะเลปานกลางซึ่งถ้าคุณวางน้ำหยดลงบนพื้นมันจะไม่เคลื่อนที่)

Geoid ไม่สามารถสร้างหรือใช้ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้เนื่องจากรูปร่างของมันขึ้นอยู่กับการกระจายตัวของมวลภายในโลก ( การอ้างอิง )

โปรเจคชั่น (ที่นี่) เป็นการกระทำทางคณิตศาสตร์ระหว่างพื้นผิวทางคณิตศาสตร์สองอัน(ทรงกลม / ทรงรี / ฯลฯ ถึงระนาบ / กรวย / ทรงกระบอก / อื่น ๆ ที่นี่)

เมื่อทำการวัดด้วยระดับ Dumpy / theodolite / ยอดรวมสถานีคุณทำการวัดโดยอ้างอิงจาก geoid - เนื่องจากคุณทำให้อุปกรณ์สมดุลกับสนามแรงโน้มถ่วง

เมื่อทำการวัดด้วย gps คุณวัดโดยอ้างอิงกับ ellipsoid (ตามที่กำหนดใน WGS84 Datum)