ทำไมเส้นทาง 'เส้นตรง' ข้ามทวีปจึงโค้งงอ

นี้เป็นผลจากการทำแผนที่เส้นทางเส้นตรงจากจุดในสหรัฐกับโปแลนด์โดยใช้เครื่องมือการวัดระยะ

นอกจากนี้เครื่องบินจากเอเชียไปยังสหรัฐอเมริกาจะเดินทางเกือบข้ามขั้วโลกเหนือ

ทำไมเส้นทางโค้งงอ ฉันยอมรับว่านี่เป็นตัวแทนของทรงกลมแบนดังนั้นฉันคาดว่าจะมีส่วนโค้ง แต่ฉันไม่คิดว่าโลกจะมีความโค้งมากขนาดนี้

สิ่งที่ฉันหายไปที่นี่?

เพียงแค่ดูเส้นทางบนทรงกลม นี่คือใน Google Earth:

เส้นทางบนแผนที่ของคุณโค้งงออย่างมากเนื่องจากแผนที่ของคุณใช้การฉายภาพที่มีความผิดเพี้ยนจำนวนมาก (ความผิดเพี้ยนเพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัดกับขั้วแม่เหล็กและเส้นทางนี้กำลังเข้าใกล้ขั้วโลกเหนือ)

แก้ไข

ความผิดเพี้ยนนั้นจำเป็นต้องอธิบายความโค้งของ geodesic นี้บนแผนที่ แต่การเชื่อมต่อระหว่างมันนั้นบอบบาง อาจกล่าวได้ว่ามีประโยชน์ข้อมูลและความสวยงามในครั้งเดียว ดูว่าคุณเห็นด้วย

แผนที่ของ OP ใช้เส้นโครงของ Mercator คุณสมบัติเด่นของมันคือมันเป็น

• ทรงกระบอก : โดยเฉพาะเส้นเมอริเดียนเป็นเส้นแนวตั้งบนแผนที่

• Conformal : มุมใด ๆ ที่ทั้งสองเส้นทางตัดกันบนพื้นโลกจะแสดงผลอย่างถูกต้องบนแผนที่และ

• Loxodromic : เส้นทางใด ๆ ของแบริ่งคงที่ (บนโลก) จะแสดงผลเป็นส่วนของเส้นตรงบนแผนที่

คุณสมบัติเหล่านี้ทำให้ง่ายต่อการอ่านข้อมูลสำคัญบางอย่างจากแผนที่โดยตรง ในบริบทนี้ฉันสนใจมากที่สุดในมุมที่ทำโดยเส้นทางใด ๆ กับแต่ละเส้นเมอริเดียนที่มันข้าม (นี่คือตลับลูกปืนที่วัดจากทางเหนือ) ตัวอย่างเช่นเส้นทางที่ปรากฎในคำถามเริ่มต้นที่แคนาดาละติจูดประมาณ 54 องศาทำมุมประมาณ 30 องศาเมื่อมีเส้นลมปราณ

สิ่งที่เราต้องรู้เกี่ยวกับจุดละติจูดที่ 54 องศาก็คือมันอยู่ใกล้กับแกนของโลกมากกว่าจุดตามเส้นศูนย์สูตร อันที่จริงมันคือ cos (54) * R จากแกนโดยที่ R คือรัศมีของโลก (นี่คือนิยามของโคไซน์เป็นหลักมันช่วยให้มีความคุ้นเคยกับโคไซน์ดังนั้นคุณจึงเข้าใจว่ามันทำงานอย่างไร แต่คุณไม่จำเป็นต้องรู้ตรีโกณมิติอื่น ๆ เลยฉันสัญญาอีกสิ่งหนึ่ง: ไซน์ของมุมคือโคไซน์ของส่วนประกอบของมัน. เช่นบาป (32 องศา) = cos (90-32) = cos (58).)

ในที่สุดทราบว่าโลกหมุนได้สมมาตรเกี่ยวกับแกนของมัน สิ่งนี้ช่วยให้เราเรียกความสวยงามของ Clairaut

ทฤษฎีบท (1743): บนเส้นทางในพื้นผิวที่เรียบเนียนของการปฏิวัติผลิตภัณฑ์ของระยะทางไปยังแกนที่มีไซน์ของแบริ่งจะคงที่หากเส้นทางนั้นมีค่าทางธรณีวิทยาเฉพาะที่

ดังนั้นเนื่องจากเราเริ่มต้นที่ละติจูด 54 องศาที่มุม 30 องศาผลิตภัณฑ์ในทฤษฎีเท่ากับ cos (54) * R * sin (30) = 0.294 * R

สิ่งนี้ช่วยได้อย่างไร? ดีพิจารณาสิ่งที่จะเกิดขึ้นถ้าเส้นทางที่จะดำเนินการต่อไปประมาณตรงบนแผนที่ ไม่ช้าก็เร็วมันก็จะสูงถึงละติจูด 73 องศา ด้วยการใช้ทฤษฎีบทของ Clairaut เราสามารถแก้ปัญหาการแบกที่ละติจูดนี้:

cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;

sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;

bearing = 90 degrees.

นี่บอกว่าเมื่อเราถึงละติจูด 73 องศาเราต้องเดินทางไปทางตะวันออก ! นั่นคือเส้นทางเพื่อที่จะเป็นธรณีวิทยาต้องโค้งงออย่างแรงจนการแบกภาระเริ่มต้นที่ 30 องศา (ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ) กลายเป็น 90 องศา (ทางตะวันออกเฉียงเหนือ)

(แน่นอนฉันพบค่า 73 องศาโดยการแก้สมการ cos (ละติจูด) = cos (ละติจูด) * บาป (90) = cos (54) * บาป (60) การทำสิ่งนี้ด้วยตัวคุณเองคุณจะต้องรู้ว่า ( ) sin (90) = 1 (เพราะ sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) และ (b) เครื่องคิดเลขและสเปรดชีตส่วนใหญ่มีฟังก์ชั่นในการแก้ปัญหาโคไซน์เรียกว่า ArcCos หรืออินเวอร์สโคไซน์ ฉันหวังว่าคุณจะไม่ได้ดูรายละเอียดเล็ก ๆ น้อย ๆ นี้เป็นการทำลายสัญญาก่อนหน้านี้ของฉันเกี่ยวกับตรีโกณมิติอีกต่อไป ... )

หลังจากทำการคำนวณสองสามอย่างเช่นนี้คุณจะพัฒนาสัญชาตญาณว่าทฤษฎีบทของ Clairaut กำลังพูดอะไร เส้นทางในพื้นผิวของการปฏิวัติ (เช่นโลก) สามารถเป็น geodesic (เฉพาะที่สั้นที่สุดหรือ "ตรง") เฉพาะเมื่อ (a) การแบกของมันจะขนานไปกับเส้นเมอริเดียนที่จุดไกลจากแกนและ (b) การแบกของมันจะได้มากขึ้น ตั้งฉากกับเส้นเมอริเดียนที่จุดที่อยู่ใกล้กับแกน เนื่องจากมีข้อ จำกัด ว่าสามารถตั้งฉากได้อย่างไร - 90 องศาคือ! - มีการ จำกัด ว่าคุณจะเข้าใกล้แกนได้มากแค่ไหน การปรับค่าคงที่ของแบริ่ง (= มุมถึงเส้นเมริเดียน) และละติจูด (= ระยะห่างจากแกน) ทำให้เกิดความโค้งที่ชัดเจนของมาตรศาสตร์บนแผนที่ส่วนใหญ่โดยเฉพาะ สำหรับผู้ที่ใช้เส้นโครงทรงกระบอกโดยที่เส้นเมอริเดียนและเส้นละติจูดจะแสดงเป็นเส้นแนวตั้งและแนวนอนตามลำดับ

นี่คือความหมายบางอย่างของทฤษฎีบทของ Clairaut ดูว่าคุณสามารถพิสูจน์พวกเขาทั้งหมด:

1. เส้นศูนย์สูตรจะต้องเป็นเนื้อที่

2. เส้นเมอริเดียนทั้งหมดเป็นธรณีวิทยา

3. ไม่มีเส้นรุ้งเส้นอื่นนอกเหนือจากเส้นศูนย์สูตร (และเสาถ้าคุณต้องการรวมไว้) สามารถเป็นพิกัดทางภูมิศาสตร์ ไม่ได้มีขนาดเล็กเป็นส่วนหนึ่งของเส้นรุ้งสามารถเนื้อที่

4. Loxodromes (aka rhumb lines) ซึ่งเป็นสายของตลับลูกปืนคงที่ไม่สามารถเป็นธรณีวิทยาได้นอกเสียจากว่ามันจะเป็นเส้นเมอริเดียนหรือเส้นศูนย์สูตร ไม่ได้มีเพียงส่วนเล็ก ๆของ loxodrome เท่านั้นที่สามารถสัมผัสทางธรณีวิทยาได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าคุณแล่นเรือหรือบินไปในทิศทางที่แน่นอนแล้ว - โดยมีข้อยกเว้นบางประการที่ชัดเจน - เส้นทางของคุณโค้งตลอดเวลา !

จุดที่ 4 บอกว่าถ้าคุณบินจากเทือกเขาแคนาเดียนที่จุดเริ่มต้นทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ 30 องศาคุณจะต้องปรากฏตัวเมื่อเทียบกับทิศเหนือเพื่อหมุน (ไปทางขวา) ตลอดเวลาเพื่อบินตรง คุณจะไม่มีทางไปทางเหนือของละติจูด 73 องศา; และถ้าคุณไปไกลพอคุณจะไปถึงโปแลนด์และมุ่งหน้าไปทางตะวันออกเฉียงเหนือประมาณ 150 องศาเมื่อคุณไปถึงที่นั่น แน่นอนว่ารายละเอียด - 73 องศาและโปแลนด์และ 150 องศา - ได้มาจากคำแถลงเชิงปริมาณของทฤษฎีบทของ Clairaut: โดยปกติแล้วคุณไม่สามารถเข้าใจสิ่งนั้นได้โดยใช้ความคิดทางธรณีวิทยาของคุณ

เป็นที่น่าสังเกตว่าผลลัพธ์เหล่านี้มีลักษณะเป็นทรงกลมทั่วไป(พื้นผิวของการปฏิวัติที่เกิดจากวงรี) ไม่ใช่เฉพาะกับทรงกลมที่สมบูรณ์แบบ ด้วยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยพวกเขาถือสำหรับ Tori (พื้นผิวของเบเกิลหรือยางรถบรรทุก) และพื้นผิวที่น่าสนใจอื่น ๆ อีกมากมาย (ผู้เขียนนิยายวิทยาศาสตร์ Larry Niven เขียนนวนิยายที่มีรูปทรงทอรัสรูปโลกประดิษฐ์ขนาดเล็กลิงค์นี้รวมถึงภาพจากปกของนวนิยายที่แสดงถึงส่วนหนึ่งของโลกนี้)

ในการฉายภาพนี้ (Google Mercator) นั่นคือสิ่งที่วงกลมขนาดใหญ่โค้งระหว่างสองสถานที่นั้นมีลักษณะอย่างไร

นอกจากนี้อย่างรวดเร็ว:

นอกจากนี้เครื่องบินจากเอเชียไปยังสหรัฐอเมริกาจะเดินทางเกือบข้ามขั้วโลกเหนือ

ในทิศทางนั้นพวกเขามักจะใช้เจ็ตสตรีม ในอีกทางหนึ่งพวกเขาจะบินไป / ใกล้กับเสา

http://en.wikipedia.org/wiki/Jet_stream

การฉายภาพของ Mercator จะบิดเบือนที่เสา http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_project

ข้อมูลเพิ่มเติม Indicatrix ของ Tissot

ดังนั้นความชันจะรุนแรงกว่าในเสาหลัง

http://en.wikipedia.org/wiki/Tissot%27s_Indicatrix

ฉันเห็นคำอธิบายที่หรูหรามากของปรากฏการณ์นี้ในบล็อกของ Tom MacWright ที่นี่พร้อมรูปถ่ายของส้ม คำอธิบายเวอร์ชั่น --- อายุ 5 ปี: "บนโลกเส้นทางที่สั้นที่สุดคือแบนและเส้นการนำทางเป็นโค้ง Mercator ทำแผนที่ที่เส้นนำทางตรงซึ่งทำให้เส้นทางที่สั้นที่สุดโค้ง"

มันเกิดจากการฉายภาพของระนาบ 2 มิติบนพื้นผิวทรงกลม 2 ดวงที่มี polorised ขณะที่เส้นเคลื่อนที่ผ่านเสามันจะบิดเบี้ยวเท่าที่ผู้สังเกตการณ์ของระนาบ 2 มิตินั้นกังวลเพราะเส้นตรงไปยังปลายทางดูเหมือนจะโค้ง หีบแห่งวงกลมขนาดใหญ่ซึ่งเป็นคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับวงกลมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่สามารถถูกตัดออกจากทรงกลมตราบใดที่วงกลมนั้นผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลม ฉันปรับเปลี่ยนรูปภาพที่ให้ไว้ในคำตอบอื่น ๆ เล็กน้อยโดยการขีดเส้นตรงเพื่อแสดง (ค่อนข้างแย่ฉันเกรงว่าฉันใหม่สำหรับ GIMP) การบิดเบือนขั้วที่เรียกว่า ฉันคิดว่าแนวคิดที่คล้ายกันบางอย่างอยู่เบื้องหลังแรงโน้มถ่วง แต่ฉันไม่ใช่นักฟิสิกส์ดังนั้นฉันจึงไม่สามารถพูดได้

ยิ่งใกล้กับจุดที่ได้รับเสายิ่งรูปร่างผิดปกติน้อยลงเมื่อปรากฏบนพื้นผิว Flat 2D แม้ว่ามันจะยังคงอยู่ในปริมาณเล็กน้อย นอกจากนี้ยังขึ้นอยู่กับวิธีการฉายที่ใช้และมีบางจุดที่มุ่งเน้นในการทำให้เส้นทางที่เร็วที่สุดระหว่างจุดสองจุดดูเหมือนจะแบนแล้วกลับไปที่มุมมองทรงกลมเต็มรูปแบบ