รับดังต่อไปนี้:

1. เวลา t
2. ชุดข้อมูล IS-200 Ephemeris, E ของดาวเทียม GPS ที่สอดคล้องกับเวลา t
3. ตำแหน่ง ECEF ของดาวเทียม GPS, P = (x, y, z), มาจากเวลาและ ephemeris, (t, E)
4. สมมติว่าโลกเป็นเพียงรูปวงรี WGS-84
5. ทุกจุดบน WGS-84 มีมุมหน้ากาก, m

ค้นหาสิ่งต่อไปนี้:

1. วงแหวนแห่งการครอบคลุม, R, บน WGS-84 ของดาวเทียม GPS กล่าวคือขอบเขตที่แยกความแตกต่างของคะแนน WGS-84 ในมุมมองดาวเทียมที่จุด P = (x, y, z) และจุดที่ WGS-84 ไม่ได้อยู่ในมุมมอง

โซลูชั่นที่ยอมรับได้:

1. เส้นโค้งเหนือ WGS-84 ที่ใกล้เคียงกับอาร์
2. รูปหลายเหลี่ยมเหนือ WGS-84 ที่ใกล้เคียงกับอาร์
3. หรือสูตรที่ให้อาร์

สิ่งที่ฉันได้ลองไปแล้ว:

• ให้ e ^ 2 = 0.0066943799901264; ความเยื้องศูนย์กลาง

เรามีตำแหน่ง ECEF WGS-84 โดย geodetic ละติจูดพีและแลมบ์ดาลองจิจูด:

r = 1 / (sqrt (1-e ^ 2 sin ^ 2 (phi))) * (cos (phi) * cos (lambda), cos (phi) * sin (lambda), (1-e ^ 2) * บาป (พีพี))

จากนั้นฉันแปลง ECEF เป็นกรอบทางภูมิศาสตร์ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ (ENU) ด้วยพีและแลมบ์ดาโดยใช้เมทริกซ์:

     (-sin(lambda)                  cos(lambda)                  0       )
C=   (-cos(lambda)*sin(phi)        -sin(lambda)*sin(phi)         cos(phi))
     ( cos(lambda)*cos(phi)         sin(lambda)*cos(phi)         sin(phi))

• ให้ G = C (P - r)
• รับองค์ประกอบ z ของ G หากองค์ประกอบ z ของ G มากกว่าบาป (m) จากนั้นฉันรู้จุด r อยู่ในมุมมอง แต่นั่นก็ยังไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาที่ฉันเป็นหลังจากนั้น ฉันสามารถหาจุดจำนวนมากที่อยู่ในมุมมองและรับตัวเรือนูนของจุดเหล่านั้นได้ แต่นั่นก็ไม่ได้มีประสิทธิภาพเลย

คำตอบสำหรับทรงรีค่อนข้างยุ่ง - มันเป็นรูปร่างที่ผิดปกติไม่ใช่เป็นวงกลม - และคำนวณได้ดีที่สุดมากกว่าตัวเลขด้วยสูตร

บนแผนที่โลกความแตกต่างระหว่างโซลูชัน WGS84 และโซลูชันทรงกลมล้วนแทบจะไม่สามารถสังเกตเห็นได้ชัดเจนเท่านั้น (ประมาณหนึ่งพิกเซลบนหน้าจอ) ความแตกต่างที่เหมือนกันจะถูกสร้างขึ้นโดยการเปลี่ยนมุมหน้ากากประมาณ 0.2 องศาหรือในการใช้การประมาณเหลี่ยม หากข้อผิดพลาดเหล่านี้มีขนาดเล็กพอยอมรับได้คุณสามารถใช้ประโยชน์จากสมมาตรของทรงกลมเพื่อให้ได้สูตรง่ายๆ

แผนที่นี้ (โดยใช้การฉายภาพแบบ Equirectangular) แสดงการครอบคลุมของดาวเทียมที่ 22,164 กิโลเมตร (จากศูนย์กลางโลก) ด้วยมุมหน้ากากเป็น m = 15 องศาในทรงกลม WGS84 การคำนวณความครอบคลุมใหม่สำหรับทรงกลมนั้นไม่สามารถเปลี่ยนแผนที่นี้ได้อย่างชัดเจน

ในขอบเขตการครอบคลุมจะเป็นวงกลมที่อยู่ที่ตำแหน่งของดาวเทียมดังนั้นเราจึงต้องหารัศมีของมันซึ่งเป็นมุม เรียกสิ่งนี้ที ในหน้าตัดมีรูปสามเหลี่ยม OSP ที่สร้างขึ้นโดยศูนย์กลางของโลก (O), ดาวเทียม (S), และจุดใด ๆ (P) บนวงกลม:

• สหกรณ์ด้านคือรัศมีของแผ่นดิน R

• ระบบปฏิบัติการด้านข้างคือความสูงของดาวเทียม (เหนือใจกลางโลก) เรียกสิ่งนี้ว่าเอช

• OPS มุม 90 + ม.

• มุม SOP คือtซึ่งเราต้องการค้นหา

• เนื่องจากมุมทั้งสามของผลรวมสามเหลี่ยมถึง 180 องศา OSP มุมที่สามต้องเท่ากับ 90 - ( m + t )

การแก้ปัญหาเป็นเรื่องของตรีโกณมิติเบื้องต้น กฎหมาย (ภาพถ่าย) ของการทำบาปอ้างว่า

sin(90 - (m+t)) / r = sin(90 + m) / h.

ทางออกคือ

t = ArcCos(cos(m) / (h/r)) - m.

ในการตรวจสอบให้พิจารณากรณีร้ายแรงบางอย่าง:

1. เมื่อ m = 0, t = ArcCos (r / h) ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ด้วยเรขาคณิตแบบยุคลิด

2. เมื่อ h = r (ดาวเทียมไม่เปิดตัว), t = ArcCos (cos (m) / 1) - m = m - m = 0

3. เมื่อ m = 90 องศา t = ArcCos (0) - 90 = 90 - 90 = 0 ตามที่ควรจะเป็น

สิ่งนี้จะช่วยลดปัญหาในการวาดวงกลมบนทรงกลมซึ่งสามารถแก้ไขได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่นคุณสามารถบัฟเฟอร์ตำแหน่งดาวเทียมโดย t * R * pi / 180 โดยใช้การฉายภาพระยะเท่ากันโดยมีศูนย์กลางที่ดาวเทียม เทคนิคสำหรับการทำงานกับวงการลูกกลมโดยตรงจะแสดงที่/gis//a/53323/664

แก้ไข

FWIW สำหรับดาวเทียม GPS และมุมมองหน้ากากขนาดเล็ก (น้อยกว่า 20 องศาหรือมากกว่านั้น) การประมาณแบบตรีโกณมิติที่ไม่แม่นยำนี้มีความแม่นยำ (ประมาณไม่กี่สิบเท่าขององศา ):

t (degrees) = -0.0000152198628163333 * (-5.93410042925107*10^6 + 
              3.88800000000000*10^6 r/h + 65703.6145507725 m + 
              9.86960440108936 m^2 - 631.654681669719 r/h m^2)

ตัวอย่างเช่นด้วยมุมหน้ากากของm = 10 องศาและดาวเทียมที่ 26,559.7 กม. เหนือใจกลางโลก (ซึ่งเป็นระยะทางที่ระบุของดาวเทียม GPS ) การประมาณนี้ให้ 66.32159 ... ในขณะที่ค่า (ถูกต้องสำหรับทรงกลม ) คือ 66.32023 ...

(การประมาณขึ้นอยู่กับการขยายตัวของอนุกรมเทย์เลอร์ประมาณ m = 0, r / h = 1/4)