เหตุใดความซับซ้อนของเวลาของทั้ง DFS และ BFS O (V + E)

อัลกอริทึมพื้นฐานสำหรับ BFS:

set start vertex to visited

load it into queue

while queue not empty

   for each edge incident to vertex

        if its not visited

            load into queue

            mark vertex

ดังนั้นฉันคิดว่าความซับซ้อนของเวลาจะเป็น:

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges) 

vจุดยอด1ถึงอยู่ที่ไหนn

ประการแรกสิ่งที่ฉันพูดถูกต้องหรือไม่? ประการที่สองสิ่งนี้เป็นอย่างไรO(N + E)และสัญชาตญาณว่าทำไมถึงดีจริงๆ ขอบคุณ

ผลรวมของคุณ

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges)

สามารถเขียนใหม่เป็นไฟล์

(v1 + v2 + ... + vn) + [(incident_edges v1) + (incident_edges v2) + ... + (incident_edges vn)]

และกลุ่มแรกคือO(N)ในขณะที่อื่น ๆ O(E)คือ

DFS (การวิเคราะห์):

• การตั้งค่า / รับป้ายจุดยอด / ขอบต้องใช้O(1)เวลา
• แต่ละจุดยอดมีป้ายกำกับสองครั้ง
  • ครั้งเดียวที่ไม่ได้อธิบาย
  • เมื่อเข้าชมแล้ว
• ขอบแต่ละด้านมีป้ายกำกับสองครั้ง
  • ครั้งเดียวที่ไม่ได้อธิบาย
  • หนึ่งครั้งในการค้นพบหรือย้อนกลับ
• วิธีการ IncidentEdges ถูกเรียกหนึ่งครั้งสำหรับจุดยอดแต่ละจุด
• DFS ทำงานO(n + m)ทันเวลาหากกราฟแสดงโดยโครงสร้างรายการ adjacency
• จำได้ว่า Σv deg(v) = 2m

BFS (การวิเคราะห์):

• การตั้งค่า / รับป้ายจุดยอด / ขอบใช้เวลา O (1)
• แต่ละจุดยอดมีป้ายกำกับสองครั้ง
  • ครั้งเดียวที่ไม่ได้อธิบาย
  • เมื่อเข้าชมแล้ว
• ขอบแต่ละด้านมีป้ายกำกับสองครั้ง
  • ครั้งเดียวที่ไม่ได้อธิบาย
  • ครั้งเดียวเป็น DISCOVERY หรือ CROSS
• แต่ละจุดยอดจะถูกแทรกหนึ่งครั้งในลำดับ Li
• วิธีการ IncidentEdges ถูกเรียกหนึ่งครั้งสำหรับจุดยอดแต่ละจุด
• BFS ทำงานO(n + m)ทันเวลาหากกราฟแสดงโดยโครงสร้างรายการ adjacency
• จำได้ว่า Σv deg(v) = 2m

ง่ายมากโดยไม่มีความเป็นทางการมาก: ทุก ๆ ขอบจะถูกพิจารณาสองครั้งอย่างแน่นอนและทุกโหนดจะถูกประมวลผลเพียงครั้งเดียวดังนั้นความซับซ้อนจะต้องเป็นผลคูณคงที่ของจำนวนขอบและจำนวนจุดยอด

ความซับซ้อนของเวลาO(E+V)แทนO(2E+V)เพราะถ้าความซับซ้อนของเวลาเป็น n ^ 2 + 2n + 7 จะเขียนเป็น O (n ^ 2)

ดังนั้น O (2E + V) จึงเขียนเป็น O (E + V)

เพราะความแตกต่างระหว่าง n ^ 2 และ n มีความสำคัญ แต่ไม่ใช่ระหว่าง n และ 2n

คำอธิบายที่เข้าใจง่ายคือการวิเคราะห์ลูปเดียว:

1. ไปที่จุดยอด -> O (1)
2. a สำหรับการวนซ้ำบนขอบตกกระทบทั้งหมด -> O (e) โดยที่ e คือจำนวนของขอบที่เกิดขึ้นบนจุดยอดที่กำหนด v.

ดังนั้นเวลาทั้งหมดสำหรับลูปเดียวคือ O (1) + O (e) ตอนนี้รวมมันสำหรับจุดยอดแต่ละจุดเนื่องจากแต่ละจุดยอดถูกเยี่ยมครั้งเดียว สิ่งนี้ให้

For every V
=> 

    O(1)
    +

    O(e)

=> O(V) + O(E)

ฉันคิดว่าทุก ๆ ขอบได้รับการพิจารณาสองครั้งและทุกโหนดได้รับการเยี่ยมชมหนึ่งครั้งดังนั้นความซับซ้อนของเวลาทั้งหมดควรเป็น O (2E + V)

คำอธิบายสั้น ๆ แต่เรียบง่าย:

ฉันเป็นกรณีที่แย่ที่สุดที่คุณจะต้องไปที่จุดยอดและขอบทั้งหมดดังนั้นความซับซ้อนของเวลาในกรณีที่เลวร้ายที่สุดคือ O (V + E)

เป็น O (V + E) เนื่องจากการเยี่ยมชม v ของ V แต่ละครั้งต้องไปที่ E แต่ละครั้งโดยที่ | e | <= V-1 เนื่องจากมีการเยี่ยมชม V ถึง v ของ V จึงเป็น O (V) ตอนนี้คุณต้องเพิ่ม V * | e | = E => O (อี) ความซับซ้อนของเวลาทั้งหมดจึงเท่ากับ O (V + E)