ฉันจะตรวจสอบว่าการคำนวณ pi ของฉันถูกต้องได้อย่างไร

ฉันลองใช้วิธีการต่าง ๆ เพื่อใช้โปรแกรมที่ให้ตัวเลขของไพตามลำดับ ฉันลองวิธีของซีรีส์เทย์เลอร์แต่มันพิสูจน์แล้วว่ามาบรรจบกันช้ามาก (เมื่อฉันเปรียบเทียบผลลัพธ์ของฉันกับค่าออนไลน์หลังจากเวลาผ่านไป) อย่างไรก็ตามฉันพยายามอัลกอริทึมที่ดีกว่า

ดังนั้นในขณะที่เขียนโปรแกรมฉันติดอยู่กับปัญหาเช่นเดียวกับอัลกอริธึมทั้งหมด: ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าnตัวเลขที่ฉันคำนวณมีความถูกต้อง?

เนื่องจากฉันเป็นเจ้าของสถิติโลกในปัจจุบันสำหรับตัวเลขส่วนใหญ่ของไพฉันจะเพิ่มสองเซ็นต์ของฉัน:

เว้นแต่ว่าคุณกำลังตั้งค่าสถิติโลกจริงการปฏิบัติทั่วไปก็เพื่อตรวจสอบตัวเลขที่คำนวณกับค่าที่ทราบ นั่นง่ายพอ

ในความเป็นจริงฉันมีหน้าเว็บที่แสดงตัวอย่างข้อมูลตัวเลขเพื่อตรวจสอบการคำนวณกับพวกเขา: http://www.numberworld.org/digits/Pi/

แต่เมื่อคุณเข้าสู่ดินแดนสถิติโลกไม่มีอะไรที่จะเปรียบเทียบได้

ในอดีตแนวทางมาตรฐานสำหรับการตรวจสอบว่าตัวเลขที่คำนวณนั้นถูกต้องคือการคำนวณตัวเลขใหม่โดยใช้อัลกอริทึมที่สอง ดังนั้นหากการคำนวณใดไม่ดีตัวเลขท้ายที่สุดจะไม่ตรงกัน

โดยทั่วไปจะใช้เวลามากกว่าสองเท่า (เนื่องจากอัลกอริทึมที่สองมักจะช้ากว่า) แต่มันเป็นวิธีเดียวที่จะตรวจสอบตัวเลขที่คำนวณได้เมื่อคุณเดินเข้าไปในดินแดนที่ไม่จดที่แผนที่ของตัวเลขที่ไม่เคยคำนวณมาก่อนและสถิติโลกใหม่

ย้อนกลับไปในวันที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์กำลังตั้งค่าการบันทึกมีการใช้อัลกอริทึม AGM ที่แตกต่างกันสองแบบ:

• อัลกอริทึม Gauss – Legendre
• อัลกอริทึมของ Borwein

นี่เป็นO(N log(N)^2)อัลกอริธึมที่ใช้งานง่าย

อย่างไรก็ตามทุกวันนี้สิ่งต่าง ๆ เล็กน้อย ในการบันทึกสถิติโลกสามครั้งล่าสุดแทนที่จะทำการคำนวณสองครั้งเราทำการคำนวณเพียงครั้งเดียวโดยใช้สูตรที่รู้จักกันเร็วที่สุด ( Chudnovsky Formula ):

อัลกอริทึมนี้ยากที่จะนำไปใช้ แต่จะเร็วกว่าอัลกอริทึม AGM มาก

แล้วเราจะตรวจสอบตัวเลขไบนารีโดยใช้สูตร BBP สำหรับการสกัดบาท

สูตรนี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณเลขฐานสองโดยพลการโดยไม่ต้องคำนวณตัวเลขทั้งหมดก่อนหน้า ดังนั้นจึงใช้เพื่อตรวจสอบเลขฐานสองที่คำนวณล่าสุด ดังนั้นมันจะมากได้เร็วกว่าการคำนวณเต็ม

ข้อดีของสิ่งนี้คือ:

1. ต้องการการคำนวณราคาแพงเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

ข้อเสียคือ:

1. จำเป็นต้องมีการใช้งานสูตรBailey – Borwein – Plouffe (BBP)
2. จำเป็นต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติมเพื่อตรวจสอบการแปลงฐานจากเลขฐานสองเป็นทศนิยม

_{ฉันได้ทำการตรวจสอบรายละเอียดบางส่วนว่าทำไมการตรวจสอบตัวเลขสองสามตัวสุดท้ายหมายความว่าตัวเลขทั้งหมดนั้นถูกต้อง แต่มันง่ายที่จะเห็นสิ่งนี้เนื่องจากข้อผิดพลาดในการคำนวณใด ๆ จะแพร่กระจายไปยังตัวเลขสุดท้าย}

ตอนนี้ขั้นตอนสุดท้าย (การตรวจสอบการแปลง) เป็นจริงที่สำคัญพอสมควร หนึ่งในผู้ถือสถิติโลกก่อนหน้านี้ได้เรียกพวกเราออกมาเกี่ยวกับเรื่องนี้เพราะในขั้นต้นฉันไม่ได้ให้คำอธิบายที่เพียงพอเกี่ยวกับวิธีการทำงาน

ดังนั้นฉันจึงดึงตัวอย่างนี้จากบล็อกของฉัน:

N = # of decimal digits desired
p = 64-bit prime number

คำนวณ A โดยใช้เลขฐานสิบ 10 และ B โดยใช้เลขฐานสอง

หากA = Bด้วย "ความน่าจะเป็นที่สูงมาก" การแปลงจะถูกต้อง

สำหรับการอ่านเพิ่มเติมดูโพสต์บล็อกของฉันPi - 5 ล้านล้านหลัก

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าสำหรับวัตถุประสงค์ของคุณ (ซึ่งฉันคิดว่าเป็นเพียงแบบฝึกหัดการเขียนโปรแกรม) สิ่งที่ดีที่สุดคือการตรวจสอบผลลัพธ์ของคุณเทียบกับรายชื่อตัวเลขใด ๆ ของ pi บนเว็บ

และเราจะรู้ได้อย่างไรว่าค่าเหล่านั้นถูกต้อง? ฉันสามารถพูดได้ว่ามีวิธีวิทยาการคอมพิวเตอร์เพื่อพิสูจน์ว่าการใช้อัลกอริทึมนั้นถูกต้อง

ในทางปฏิบัติหากผู้ใช้ที่แตกต่างกันใช้อัลกอริธึมที่แตกต่างกันและพวกเขาทั้งหมดตกลงที่จะเลือกทศนิยมหนึ่งพัน (ล้านหรืออะไรก็ตาม) ที่ควรให้ความรู้สึกอบอุ่นแบบฟัซซี่ที่ถูกต้อง

ในอดีต William Shanks ได้ตีพิมพ์ไพน์ถึง 707 ตำแหน่งทศนิยมในปี 1873 ชายผู้น่าสงสารเขาทำผิดพลาดตั้งแต่ตำแหน่งทศนิยมที่ 528

น่าสนใจมากในปี 1995 อัลกอริทึมได้รับการเผยแพร่ซึ่งมีคุณสมบัติที่จะคำนวณตัวเลข nth (ฐาน 16) ของ pi โดยตรงโดยไม่ต้องคำนวณตัวเลขก่อนหน้าทั้งหมด !

ในที่สุดฉันหวังว่าอัลกอริทึมเริ่มต้นของคุณpi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...อาจไม่ใช่โปรแกรมที่ง่ายที่สุด แต่ก็เป็นวิธีที่ช้าที่สุดวิธีหนึ่งในการทำเช่นนั้น ตรวจสอบบทความ pi บน Wikipediaเพื่อหาแนวทางที่รวดเร็วยิ่งขึ้น

คุณสามารถใช้หลายวิธีและดูว่าพวกเขามาบรรจบกับคำตอบเดียวกันหรือไม่ หรือคว้าบางส่วนจาก 'สุทธิ อัลกอริทึม Chudnovsky มักใช้เป็นวิธีการคำนวณ pi ที่รวดเร็วมาก http://www.craig-wood.com/nick/articles/pi-chudnovsky/

ซีรี่ส์ Taylor เป็นวิธีหนึ่งในการประมาณ Pi ตามที่ระบุไว้มันมาบรรจบกันอย่างช้าๆ

ผลรวมบางส่วนของซีรีย์เทย์เลอร์สามารถแสดงให้เห็นว่าภายในตัวคูณของเทอมถัดไปจากมูลค่าที่แท้จริงของปี่

วิธีอื่นในการประมาณค่า pi มีวิธีการคำนวณข้อผิดพลาดสูงสุดเช่นเดียวกัน

เรารู้สิ่งนี้เพราะเราสามารถพิสูจน์ได้ในเชิงคณิตศาสตร์

คุณสามารถลองคำนวณsin(pi/2)(หรือcos(pi/2)สำหรับเรื่องนั้น) โดยใช้ (ค่อนข้าง) บรรจบชุดพลังงานอย่างรวดเร็วสำหรับบาปและ cos (ดียิ่งขึ้น: ใช้สูตรสองเท่าต่าง ๆ เพื่อคำนวณค่าที่ใกล้เคียงx=0ยิ่งขึ้นเพื่อการลู่เข้าที่เร็วขึ้น)

BTW ดีกว่าการใช้ซีรี่ส์สำหรับtan(x)คือการคำนวณบอกว่าcos(x)เป็นกล่องดำ (เช่นคุณสามารถใช้ชุดเทย์เลอร์ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) คือทำการค้นหารากผ่านนิวตัน แน่นอนว่ามีอัลกอริธึมที่ดีกว่า แต่ถ้าคุณไม่ต้องการตรวจสอบความถูกต้องของตัวเลขนี่น่าจะพอแล้ว (และมันก็ไม่ใช่เรื่องยากที่จะนำมาใช้และคุณต้องการแคลคูลัสสักเล็กน้อยเพื่อทำความเข้าใจว่าทำไมมันถึงใช้งานได้)