จำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถเก็บไว้ในสองครั้ง

อะไรคือจำนวนเต็ม "ไม่ลอย" ที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถเก็บไว้ใน IEEE 754 double type โดยไม่สูญเสียความแม่นยำ

จำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุด / ใหญ่ที่สุดที่สามารถเก็บไว้ในคู่โดยไม่สูญเสียความแม่นยำเท่ากับค่าที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ของคู่ นั่นคือDBL_MAXหรือประมาณ 1.8 × 10 ³⁰⁸ (ถ้า double ของคุณเป็น IEEE 754 64- บิตสองเท่า) มันเป็นจำนวนเต็ม มันแสดงว่า คุณต้องการอะไรอีก

ต่อไปถามสิ่งที่เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดเช่นนั้นและจำนวนเต็มขนาดเล็กทั้งหมดสามารถเก็บไว้ใน IEEE 64- บิตคู่โดยไม่สูญเสียความแม่นยำ IEEE 64- บิตสองเท่ามี 52 mantissa ดังนั้นฉันคิดว่ามันคือ 2 ⁵³ :

• 2 ⁵³ + 1 ไม่สามารถจัดเก็บได้เนื่องจาก 1 ที่จุดเริ่มต้นและ 1 ที่จุดสิ้นสุดมีค่าศูนย์มากเกินไป
• สิ่งใดที่น้อยกว่า 2 ⁵³สามารถจัดเก็บได้โดยมี 52 บิตเก็บไว้ในแมนทิสซาอย่างชัดเจน
• 2 ⁵³สามารถจัดเก็บได้อย่างชัดเจนเนื่องจากมันเป็นพลังงานขนาดเล็กที่ 2

หรือวิธีอื่นในการมองดู: เมื่ออคติได้ถูกลบล้างเลขชี้กำลังและไม่สนใจเครื่องหมายบิตที่ไม่เกี่ยวข้องกับคำถามค่าที่จัดเก็บโดย double จะมีค่าเป็น 2 และบวกด้วยจำนวนเต็ม 52 บิตคูณด้วย 2 ^{ตัวแทน -} 52 ดังนั้นด้วยตัวแทน 52 คุณสามารถจัดเก็บค่าทั้งหมดจาก 2 ⁵²ผ่านไป 2 ⁵³  - 1 แล้วกับตัวแทน 53 จำนวนต่อไปที่คุณสามารถจัดเก็บหลังจาก 2 ⁵³ 2 ⁵³ + 1 × 2 ^{53 -} 52 ดังนั้นการสูญเสียความแม่นยำครั้งแรกเกิดขึ้นกับ 2 ⁵³ + 1

9007199254740992 (นั่นคือ 9,007,199,254,740,992) โดยไม่มีการรับประกัน :)

โปรแกรม

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
  double dbl = 0; /* I started with 9007199254000000, a little less than 2^53 */
  while (dbl + 1 != dbl) dbl++;
  printf("%.0f\n", dbl - 1);
  printf("%.0f\n", dbl);
  printf("%.0f\n", dbl + 1);
  return 0;
}

ผลลัพธ์

9007199254740991
9007199254740992
9007199254740992

Wikipedia มีสิ่งนี้เพื่อพูดในบริบทเดียวกันโดยมีลิงก์ไปยังIEEE 754 :

บนระบบคอมพิวเตอร์ทั่วไปเลขฐานสอง 'ความแม่นยำสองเท่า (64 บิต) มีค่าสัมประสิทธิ์ 53 บิต (หนึ่งในนั้นก็บอกเป็นนัย) เลขชี้กำลัง 11 บิตและบิตหนึ่งสัญญาณ

2 ^ 53 มีค่าเกิน 9 * 10 ^ 15

จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่สามารถแสดงใน IEEE 754 double (64- บิต) จะเหมือนกับค่าที่มากที่สุดที่ชนิดสามารถเป็นตัวแทนได้เนื่องจากค่านั้นเป็นจำนวนเต็มเอง

นี่คือตัวแทน0x7FEFFFFFFFFFFFFFซึ่งประกอบด้วย:

• เครื่องหมายบิต 0 (บวก) มากกว่า 1 (ลบ)
• เลขชี้กำลังสูงสุด0x7FE(2046 ซึ่งหมายถึง 1,023 หลังจากลบอคติ) แทนที่จะเป็น0x7FF(2047 ซึ่งหมายถึง a NaNหรือไม่มีที่สิ้นสุด)
• mantissa สูงสุด0xFFFFFFFFFFFFFซึ่งเป็น 52 บิตทั้งหมด 1

ในเลขฐานสองค่าเป็นค่านัย 1 ตามด้วยอีก 52 อันจากแมนทิสซาจากนั้นก็เป็นศูนย์ 971 (1023 - 52 = 971) จากเลขชี้กำลัง

ค่าทศนิยมที่แน่นอนคือ:

179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858368

นี้จะอยู่ที่ประมาณ 1.8 x 10 308

คุณต้องดูขนาดของมันตาสา หมายเลขจุดลอยตัว IEEE 754 64 บิต (ซึ่งมี 52 บิตบวกด้วยนัย 1) สามารถแทนจำนวนเต็มด้วยค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 ^ 53

1.7976931348623157 × 10 ^ 308

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision_floating-point_format

DECIMAL_DIGจาก<float.h>ควรให้อย่างน้อยประมาณที่เหมาะสมของการที่ เนื่องจากข้อเสนอว่าด้วยตัวเลขทศนิยมและก็เก็บไว้จริงๆในไบนารีคุณอาจจะสามารถจัดเก็บบางสิ่งบางอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆที่มีขนาดใหญ่โดยไม่สูญเสียความแม่นยำ แต่ว่าเท่าไหร่เป็นเรื่องยากที่จะบอกว่า ฉันคิดว่าคุณควรจะสามารถที่จะคิดออกจากFLT_RADIXและDBL_MANT_DIGแต่ผมไม่แน่ใจว่าผมจะสมบูรณ์ไว้วางใจผล