กรณีการใช้งานที่เป็นไปได้ของ. isProbablePrime () ของ BigInteger คืออะไร?

วิธีBigInteger.isProbablePrime()นี้ค่อนข้างแปลก จากเอกสารนี้จะบอกได้ว่ามีจำนวนเป็นสำคัญกับความน่าจะเป็นของ1 - 1 / 2^argที่argเป็นอาร์กิวเมนต์จำนวนเต็ม

มีอยู่ใน JDK มานานแล้วดังนั้นจึงหมายความว่าต้องมีการใช้งาน ความรู้ที่ จำกัด ของฉันในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์และอัลกอริทึม (และคณิตศาสตร์) บอกฉันว่ามันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะรู้ว่าตัวเลขนั้น "น่าจะ" เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

ดังนั้นสถานการณ์ที่เป็นไปได้ที่เราต้องการใช้วิธีนี้คืออะไร? การเข้ารหัส?

ใช่วิธีนี้สามารถใช้ในการเข้ารหัสได้ การเข้ารหัส RSAเกี่ยวข้องกับการค้นหาจำนวนเฉพาะจำนวนมากบางครั้งเรียงลำดับ 1024 บิต (ประมาณ 300 หลัก) ความปลอดภัยของ RSA ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าการแยกจำนวนที่ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะ 2 จำนวนนี้มาคูณกันนั้นยากและใช้เวลานาน แต่เพื่อให้ได้ผลพวกเขาต้องเป็นนายก

ปรากฎว่าการพิสูจน์จำนวนเฉพาะเหล่านี้เป็นเรื่องยากเช่นกัน แต่การทดสอบเบื้องต้นของ Miller-Rabinซึ่งเป็นหนึ่งในการทดสอบเบื้องต้นที่ใช้โดยisProbablePrimeตรวจพบว่าตัวเลขนั้นประกอบกันหรือไม่ให้ข้อสรุป การรันnเวลาทดสอบนี้ช่วยให้คุณสามารถสรุปได้ว่ามีอัตราต่อรอง1 ใน 2 ⁿที่ตัวเลขนี้ประกอบกันจริงๆ การเรียกใช้จำนวน100ครั้งจะให้ความเสี่ยงที่ยอมรับได้เท่ากับ 1 ใน 2 ¹⁰⁰ที่จำนวนนี้เป็นแบบผสม

หากการทดสอบบอกคุณว่าจำนวนเต็มไม่ใช่จำนวนเฉพาะคุณสามารถเชื่อได้อย่างแน่นอน 100%

เป็นเพียงอีกด้านหนึ่งของคำถามหากการทดสอบบอกคุณว่าจำนวนเต็มเป็น "จำนวนเฉพาะที่น่าจะเป็น" คุณอาจสงสัย การทดสอบซ้ำด้วย "ฐาน" ที่แตกต่างกันจะช่วยให้ความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จอย่างไม่ถูกต้องจากการ "เลียนแบบ" ไพรม์ (การเป็น pseudo-prime ที่ชัดเจนสำหรับหลาย ๆ ฐาน) จะทำให้มีขนาดเล็กเท่าที่ต้องการ

ประโยชน์ของการทดสอบอยู่ที่ความเร็วและความเรียบง่าย ไม่มีใครจำเป็นต้องพอใจกับสถานะของ "ไพรม์ที่น่าจะเป็น" เป็นคำตอบสุดท้าย แต่แน่นอนว่าเราจะหลีกเลี่ยงการเสียเวลากับตัวเลขประกอบเกือบทั้งหมดโดยใช้กิจวัตรนี้ก่อนที่จะนำไปสู่การทดสอบความเป็นเลิศ

การเปรียบเทียบกับความยากของการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเป็นปลาชนิดหนึ่งสีแดง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าไพรมารีของจำนวนเต็มสามารถกำหนดได้ในเวลาพหุนามและแน่นอนว่ามีข้อพิสูจน์ว่าการขยายการทดสอบมิลเลอร์ - ราบินไปยังฐานจำนวนมากที่เพียงพอนั้นมีความชัดเจน (ในการตรวจจับไพรเมอร์ซึ่งตรงข้ามกับไพรม์ที่น่าจะเป็นไปได้) แต่สิ่งนี้ ถือว่าทั่วไป Riemann สมมุติฐานจึงเป็นสิ่งที่ไม่มากเพื่อให้บางเป็น (แพงกว่า) primality ทดสอบ

กรณีการใช้งานมาตรฐานสำหรับBigInteger.isProbablePrime(int)อยู่ในการเข้ารหัส โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึมการเข้ารหัสบางอย่างเช่นRSAต้องการช่วงเวลาขนาดใหญ่ที่สุ่ม อย่างไรก็ตามที่สำคัญอัลกอริทึมเหล่านี้ไม่ต้องการให้ตัวเลขเหล่านี้ได้รับการรับรองว่าเป็นไพรม์ - เพียงแค่ต้องเป็นไพรม์ที่มีโอกาสสูงมาก

สูงมากแค่ไหน? ดีในการประยุกต์ใช้การเข้ารหัสลับหนึ่งจะเรียกโดยทั่วไป.isProbablePrime()ที่มีอยู่ที่ไหนสักแห่งโต้เถียงระหว่าง 128 และ 256 ดังนั้นความน่าจะเป็นของจำนวนที่ไม่สำคัญผ่านการทดสอบดังกล่าวจะน้อยกว่าหนึ่งใน 2 ¹²⁸หรือ 2 256

ลองมองในมุมมอง: ถ้าคุณมีคอมพิวเตอร์ 10 พันล้านเครื่องแต่ละเครื่องจะสร้างจำนวนเฉพาะที่น่าจะเป็น 10 พันล้านต่อวินาที (ซึ่งหมายความว่าน้อยกว่าหนึ่งรอบสัญญาณนาฬิกาต่อหนึ่งหมายเลขในซีพียูสมัยใหม่ใด ๆ ) และความเป็นอันดับแรกของตัวเลขเหล่านั้นได้รับการทดสอบด้วย.isProbablePrime(128)คุณ ก็จะเฉลี่ยคาดว่าจำนวนหนึ่งที่ไม่สำคัญในการลื่นในหนึ่งครั้งในทุก ๆ 100 พันล้านปี

นั่นคือการที่จะเป็นกรณีที่ถ้าผู้ที่ 10 พันล้านเครื่องคอมพิวเตอร์สามารถทำได้อย่างใดวิ่งทั้งหมดสำหรับหลายร้อยหลายพันล้านปีโดยไม่ต้องประสบใดล้มเหลวของฮาร์ดแวร์ ในทางปฏิบัติ แต่มันมากมีโอกาสมากขึ้นสำหรับรังสีคอสมิกสุ่มการนัดหยุดงานคอมพิวเตอร์ของคุณในเพียงเวลาที่เหมาะสมและสถานที่ที่จะพลิกค่าตอบแทนของ.isProbablePrime(128)จาก false เป็นจริงโดยไม่ก่อให้เกิดผลการตรวจพบอื่น ๆ กว่านั้นสำหรับที่ไม่ใช่ - จำนวนไพรม์เพื่อผ่านการทดสอบความเป็นไปได้ในระดับแรกที่ระดับความแน่นอนนั้น

แน่นอนความเสี่ยงแบบเดียวกันของรังสีคอสมิกแบบสุ่มและความผิดพลาดของฮาร์ดแวร์อื่น ๆ ยังนำไปใช้กับการทดสอบเบื้องต้นที่กำหนดเช่นAKS ดังนั้นในทางปฏิบัติแม้การทดสอบเหล่านี้จะมีอัตราผลบวกเท็จพื้นฐาน (เล็กมาก) เนื่องจากความล้มเหลวของฮาร์ดแวร์แบบสุ่ม (ไม่ต้องพูดถึงแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดอื่น ๆ ทั้งหมดเช่นข้อบกพร่องในการใช้งาน)

เนื่องจากเป็นเรื่องง่ายที่จะผลักดันอัตราผลบวกเท็จที่แท้จริงของการทดสอบ.isProbablePrime()เบื้องต้นของมิลเลอร์ - ราบินที่ใช้โดยต่ำกว่าอัตราพื้นฐานนี้เพียงแค่ทำซ้ำการทดสอบหลาย ๆ ครั้งอย่างเพียงพอและตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาแม้จะทำซ้ำหลายครั้งการทดสอบมิลเลอร์ - ราบินก็ยังคงอยู่ ในทางปฏิบัติเร็วกว่าการทดสอบพื้นฐานเชิงกำหนดที่รู้จักกันดีอย่าง AKS แต่ยังคงเป็นการทดสอบพื้นฐานมาตรฐานสำหรับแอปพลิเคชันการเข้ารหัส

(นอกจากนี้แม้ว่าคุณบังเอิญเลือก pseudoprime ที่แข็งแกร่งเป็นหนึ่งในปัจจัยของโมดูลัส RSA ของคุณโดยทั่วไปแล้วจะไม่นำไปสู่ความล้มเหลวอย่างร้ายแรงโดยทั่วไปแล้ว pseudoprimes จะเป็นผลคูณสองครั้ง (หรือน้อยกว่านั้น) โดยประมาณ ความยาวครึ่งหนึ่งซึ่งหมายความว่าคุณจะได้รับคีย์ RSA แบบหลายไพรม์ตราบเท่าที่ไม่มีปัจจัยใดน้อยเกินไป (และถ้าเป็นเช่นนั้นการทดสอบลำดับความสำคัญควรจะจับได้) อัลกอริทึม RSA จะ ยังคงใช้งานได้ดีและคีย์แม้ว่าจะค่อนข้างอ่อนแอต่อการโจมตีบางประเภทกว่าคีย์ RSA ปกติที่มีความยาวเท่ากัน แต่ก็ยังคงมีความปลอดภัยพอสมควรหากคุณไม่จำเป็นต้องใช้ความยาวคีย์โดยไม่จำเป็น)

กรณีการใช้งานที่เป็นไปได้คือในการทดสอบลำดับความสำคัญของจำนวนที่กำหนด (ในการทดสอบซึ่งมีประโยชน์หลายอย่างในตัวเอง) isProbablePrimeอัลกอริทึมจะทำงานได้เร็วกว่าอัลกอริทึมที่แน่นอนดังนั้นหากหมายเลขที่ล้มเหลวisProbablePrimeแล้วหนึ่งไม่จำเป็นต้องไปที่ค่าใช้จ่ายของการทำงานของอัลกอริทึมที่มีราคาแพงมากขึ้น

การค้นหาช่วงเวลาที่น่าจะเป็นเป็นปัญหาสำคัญในการเข้ารหัส ปรากฎว่าเป็นกลยุทธ์ที่เหมาะสมสำหรับการค้นหาที่น่าจะเป็น K-bit ที่สำคัญคือการซ้ำ ๆ เลือกหมายเลข k-bit สุ่มและทดสอบสำหรับ primality isProbablePrime()น่าจะใช้วิธีการเช่น

สำหรับการอภิปรายเพิ่มเติมโปรดดูที่ส่วน 4.4.1 ของคู่มือการประยุกต์ใช้การเข้ารหัส

นอกจากนี้โปรดดูในการสร้างช่วงเวลาที่น่าจะเป็นโดยการค้นหาที่เพิ่มขึ้นโดย Brandt และDamgård

อัลกอริทึมเช่นการสร้างคีย์ RSA ขึ้นอยู่กับความสามารถในการระบุว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

อย่างไรก็ตามในช่วงเวลาที่isProbablePrimeเพิ่มวิธีการลงใน JDK (กุมภาพันธ์ 1997) ยังไม่มีวิธีพิสูจน์ในการตัดสินใจว่าจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะในระยะเวลาที่เหมาะสมหรือไม่ แนวทางที่รู้จักกันดีที่สุดในเวลานั้นคืออัลกอริธึมมิลเลอร์ - ราบินซึ่งเป็นอัลกอริธึมความน่าจะเป็นที่บางครั้งอาจให้ผลบวกที่ผิดพลาด (กล่าวคือจะรายงานที่ไม่ใช่ช่วงราคาเป็นราคา) แต่สามารถปรับแต่งเพื่อลดโอกาสในการเกิดผลบวกปลอมโดยมีค่าใช้จ่าย ของการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในรันไทม์

ตั้งแต่นั้นมามีการค้นพบอัลกอริทึมที่สามารถกำหนดได้ว่าจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะได้เร็วพอสมควรเช่นอัลกอริทึม AKSที่ค้นพบในเดือนสิงหาคม 2545 อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่าอัลกอริทึมเหล่านี้ยังไม่เร็วเท่า Miller-Rabin

อาจเป็นคำถามที่ดีกว่าคือเหตุใดจึงไม่มีisPrimeการเพิ่มวิธีการใน JDK ตั้งแต่ปี 2545