Bitwise และแทนที่ตัวดำเนินการโมดูลัส

เรารู้ว่าตัวอย่างโมดูโลของกำลังสองสามารถแสดงได้ดังนี้:

  x % 2 inpower n == x & (2 inpower n - 1).

ตัวอย่าง:

x % 2 == x & 1
x % 4 == x & 3
x % 8 == x & 7 

แล้ว nonpower ทั่วไปของสองจำนวนล่ะ?

สมมติว่า:

x% 7 ==?

ก่อนอื่นการพูดแบบนั้นไม่ถูกต้อง

x % 2 == x & 1

ตัวอย่างง่ายๆตัวอย่าง: x = -1. -1 % 2 == -1ในหลายภาษารวมทั้งภาษาจาวา นั่นคือ%ไม่จำเป็นต้องเป็นคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมของโมดูโล Java เรียกมันว่า "ตัวดำเนินการที่เหลือ" เช่น

เกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพระดับบิตมีเพียงพาวเวอร์โมดูโลสองตัวเท่านั้นที่สามารถ "ทำได้อย่างง่ายดาย" ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ระดับบิต โดยทั่วไปมีเพียงพลังโมดูโลของฐานbเท่านั้นที่สามารถ "ทำได้อย่างง่ายดาย" ด้วยการแทนค่าฐานb

ในฐานที่ 10 ตัวอย่างเช่นสำหรับที่ไม่ใช่เชิงลบN, N mod 10^kเป็นเพียงการอย่างมีนัยสำคัญน้อยกว่าkตัวเลข

อ้างอิง

• JLS 15.17.3 ตัวดำเนินการที่เหลือ%
• Wikipedia / Modulo การทำงาน

มีเพียงวิธีง่ายๆในการค้นหาตัวเลข 2 ^ i โดยใช้ bitwise

มีวิธีที่แยบยลในการไขคดีMersenne ตามลิงค์เช่น n% 3, n% 7 ... มีกรณีพิเศษสำหรับ n% 5, n% 255 และกรณีแบบผสมเช่น n% 6

สำหรับกรณี 2 ^ i, (2, 4, 8, 16 ... )

n % 2^i = n & (2^i - 1)

สิ่งที่ซับซ้อนกว่านั้นยากที่จะอธิบาย อ่านเฉพาะในกรณีที่คุณอยากรู้มาก

สิ่งนี้ใช้ได้เฉพาะกับพาวเวอร์สองตัว (และมักจะเป็นค่าบวกเท่านั้น) เนื่องจากมีคุณสมบัติเฉพาะในการตั้งค่าเป็น '1' เพียงบิตเดียวในการแทนค่าไบนารี เนื่องจากไม่มีคลาสของตัวเลขอื่นที่ใช้คุณสมบัตินี้คุณจึงไม่สามารถสร้างบิตและนิพจน์สำหรับนิพจน์โมดูลัสส่วนใหญ่ได้

นี่เป็นกรณีพิเศษโดยเฉพาะเนื่องจากคอมพิวเตอร์เป็นตัวแทนของตัวเลขในฐาน 2 ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไป:

(ตัวเลข) _ฐาน % ฐาน^x

จะเทียบเท่ากับหลักสุดท้ายของ x (จำนวน) ฐาน

มีโมดูลอื่นที่ไม่ใช่พาวเวอร์ของ 2 ซึ่งมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพอยู่

ตัวอย่างเช่นถ้า x เป็น 32 บิต int ที่ไม่ได้ลงนามแล้ว x% 3 = popcnt (x & 0x55555555) - popcnt (x & 0xaaaaaaaa)

Modulo "7" ที่ไม่มีตัวดำเนินการ "%"

int a = x % 7;

int a = (x + x / 7) & 7;

ไม่ใช้ bitwise-and (& ) ในไบนารีจะไม่มี ร่างหลักฐาน:

สมมติว่ามีค่าkดังกล่าวว่าx & k == x % (k + 1)แต่k = 2 ^ n - 1 แล้วถ้าx == kแสดงออกx & kดูเหมือนว่าจะ "ทำงานอย่างถูกต้อง" และผลที่ได้คือk ตอนนี้พิจารณาx == ki : ถ้ามีคนใด "0" บิตในk , มีบางฉันมากกว่า 0 ซึ่งkiอาจจะแสดงออกด้วย 1 บิตในตำแหน่งนั้น (เช่น 1011 (11) ต้องกลายเป็น 0111 (7) เมื่อลบ 100 (4) ออกจากมันในกรณีนี้ 000 บิตจะกลายเป็น 100 เมื่อi = 4 ) ถ้าบิตจากนิพจน์ของkต้องเปลี่ยนจากศูนย์ หนึ่งเพื่อแสดงถึงkiดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณx% (k + 1)ได้อย่างถูกต้องซึ่งในกรณีนี้ควรเป็นkiแต่ไม่มีวิธีใดสำหรับบูลีนระดับบิตและสร้างค่านั้นตามมาสก์

ในกรณีเฉพาะนี้ (mod 7) เรายังคงสามารถแทนที่% 7 ด้วยตัวดำเนินการแบบบิต:

// Return X%7 for X >= 0.
int mod7(int x)
{
  while (x > 7) x = (x&7) + (x>>3);
  return (x == 7)?0:x;
}

มันใช้งานได้เพราะ 8% 7 = 1 เห็นได้ชัดว่าโค้ดนี้น่าจะมีประสิทธิภาพน้อยกว่า x% 7 ธรรมดาและอ่านได้น้อยกว่า

การใช้ bitwise_and, bitwise_or และ bitwise_not คุณสามารถแก้ไขการกำหนดค่าบิตใด ๆ เป็นการกำหนดค่าบิตอื่นได้ (กล่าวคือชุดของตัวดำเนินการเหล่านี้ "เสร็จสมบูรณ์ตามหน้าที่") อย่างไรก็ตามสำหรับการดำเนินการเช่นโมดูลัสสูตรทั่วไปจะต้องค่อนข้างซับซ้อนฉันไม่ต้องกังวลกับการพยายามสร้างมันขึ้นมาใหม่