คือ || และ! ผู้ประกอบการเพียงพอที่จะทำให้ทุกการแสดงออกทางตรรกะที่เป็นไปได้?

ตัวอย่างการแสดงออกทางตรรกะ( a && b ) (ทั้งaและbมีค่าบูลีน)สามารถเขียนได้!(!a || !b)เช่น นี่ไม่ได้หมายความว่า&&เป็นสิ่งที่ไม่จำเป็นหรือ? นี่หมายความว่านิพจน์เชิงตรรกะทั้งหมดสามารถทำได้โดยใช้||และ!?

ใช่เป็นคำตอบอื่น ๆ ชี้ให้เห็นชุดของผู้ประกอบการที่ประกอบการ||และ!เป็นที่สมบูรณ์ตามหน้าที่ นี่คือข้อพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ของสิ่งนั้นซึ่งแสดงให้เห็นว่าจะใช้มันอย่างไรเพื่อแสดงการเชื่อมต่อทางตรรกะทั้งสิบหกที่เป็นไปได้ระหว่างตัวแปรบูลีนAและB:

• จริง :A || !A
• A NAND B :!A || !B
• B หมายถึง A :!B || A
• ความหมาย B :!A || B
• A หรือ B :A || B
• ไม่ใช่ B :!B
• ไม่ใช่ A :!A
• A XOR B :!(!A || B) || !(A || !B)
• A XNOR B :!(!A || !B) || !(A || B)
• A :A
• B :B
• A NOR B :!(A || B)
• A ไม่ได้แปลว่า B :!(!A || B)
• B ไม่ได้หมายความถึง A :!(!B || A)
• A และ B :!(!A || !B)
• เท็จ :!(A || !A)

โปรดทราบว่าทั้ง NAND และ NOR นั้นทำหน้าที่ของตัวเองให้เสร็จสมบูรณ์ (ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีเดียวกันข้างต้น) ดังนั้นหากคุณต้องการตรวจสอบว่าชุดของตัวดำเนินการเสร็จสมบูรณ์ตามหน้าที่แล้วก็เพียงพอที่จะแสดงว่าคุณสามารถแสดง NAND หรือ NOR ได้ กับมัน

นี่คือกราฟแสดงVenn diagramsสำหรับแต่ละส่วนเชื่อมต่อที่แสดงด้านบน:

[ แหล่งที่มา ]

สิ่งที่คุณกำลังอธิบายคือความสมบูรณ์แบบในการใช้งาน

สิ่งนี้อธิบายชุดของตัวดำเนินการเชิงตรรกะที่เพียงพอที่จะ "แสดงตารางความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด" ชุดตัวดำเนินการ Java ของคุณ { ||, !} เพียงพอแล้ว; มันสอดคล้องกับชุด {∨, ¬} ซึ่งอยู่ภายใต้ส่วน "ชุดตัวดำเนินการที่สมบูรณ์แบบที่ใช้งานได้น้อยที่สุด"

ชุดของตารางความจริงทั้งหมดหมายถึงชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดของค่าบูลีน 4 ค่าที่สามารถเป็นผลลัพธ์ของการดำเนินการระหว่างค่าบูลีน 2 ค่า เนื่องจากมีค่าที่เป็นไปได้ 2 ค่าสำหรับบูลีนจึงมี 2 ⁴หรือ 16 ตารางความจริงที่เป็นไปได้

A B | 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15
----+------------------------------------------------
T T | T  T  T  T  T  T  T  T  F  F  F  F  F  F  F  F
T F | T  T  T  T  F  F  F  F  T  T  T  T  F  F  F  F
F T | T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F  T  T  F  F 
F F | T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F  T  F

นี่คือตารางของตัวเลขตารางความจริง (0-15) ||และ!ชุดค่าผสมที่ให้ผลลัพธ์และคำอธิบาย

Table  |  Operation(s)                    | Description
-------+----------------------------------+-------------
  0    | A || !A                          | TRUE
  1    | A || B                           | OR
  2    | A || !B                          | B IMPLIES A
  3    | A                                | A
  4    | !A || B                          | A IMPLIES B
  5    | B                                | B
  6    | !(!A || !B) || !(A || B)         | XNOR (equals)
  7    | !(!A || !B)                      | AND
  8    | !A || !B                         | NAND
  9    | !(A || !B) || !(!A || B)         | XOR
 10    | !B                               | NOT B
 11    | !(!A || B)                       | NOT A IMPLIES B
 12    | !A                               | NOT A
 13    | !(A || !B)                       | NOT B IMPLIES A
 14    | !(A || B)                        | NOR
 15    | !(A || !A)                       | FALSE

มีอีกหลายชุดที่ทำหน้าที่ได้อย่างสมบูรณ์เช่นชุดหนึ่งองค์ประกอบ {NAND} และ {NOR} ซึ่งไม่มีโอเปอเรเตอร์เดียวใน Java

ใช่.

ลอจิกประตูทั้งหมดสามารถทำจากประตู NOR

เนื่องจากประตู NOR สามารถสร้างได้จาก NOT และ OR ผลลัพธ์จึงเป็นดังนี้

ใช้เวลาอ่านกฎหมายของ DeMorganถ้าคุณทำได้

คุณจะพบคำตอบในการอ่านที่นั่นเช่นเดียวกับการอ้างอิงถึงการพิสูจน์ตรรกะ

แต่โดยพื้นฐานแล้วคำตอบคือใช่

แก้ไข : สำหรับ explicitness จุดของฉันคือว่าหนึ่งสามารถสรุปการแสดงออก OR จากตรรกะและการแสดงออกและในทางกลับกัน มีกฎหมายมากขึ้นเช่นกันสำหรับความเท่าเทียมเชิงตรรกะและการอนุมาน แต่ฉันคิดว่านี่เป็นข้อเสนอที่ดีที่สุด

แก้ไข 2 : ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์ผ่านตารางความจริงที่แสดงความเสมอภาคเชิงตรรกะของนิพจน์ต่อไปนี้

กฎหมายของ DeMorgan: !(!A || !B) -> A && B

 _____________________________________________________
| A | B | ! A | ! B | ! A || ! B | ! (! A ||! B) | A&& B |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
-------------------------------------------------- -----
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
_______________________________________________________

NANDและNORเป็นสากลที่สามารถใช้เพื่อสร้างการดำเนินการทางตรรกะที่คุณต้องการได้ทุกที่ ตัวดำเนินการอื่นมีอยู่ในภาษาการเขียนโปรแกรมเพื่อให้ง่ายต่อการเขียนและสร้างรหัส

นอกจากนี้การดำเนินการทางตรรกะทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการเดินสายในวงจรได้รับการพัฒนาโดยใช้ไอซี NAND หรือ NOR เท่านั้น

ใช่ตามพีชคณิตแบบบูลฟังก์ชั่นบูลีนใด ๆ ที่สามารถแสดงเป็นผลรวมของ minterms หรือผลิตภัณฑ์ของ maxterms ซึ่งเรียกว่ารูปแบบบัญญัติ ไม่มีเหตุผลใดที่เหตุผลดังกล่าวไม่สามารถใช้กับผู้ให้บริการรายเดียวกันที่ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์

https://en.wikipedia.org/wiki/Canonical_normal_form