ซึ่งเป็นจำนวนเต็มแรกที่ IEEE 754 float ไม่สามารถแสดงได้อย่างแน่นอน

เพื่อความชัดเจนถ้าฉันใช้ภาษาที่ใช้ IEE 754 ลอยและฉันประกาศ:

float f0 = 0.f;
float f1 = 1.f;

... แล้วพิมพ์มันออกมาฉันจะได้ 0.0000 และ 1.0000 - แน่นอน

แต่ IEEE 754 ไม่สามารถแสดงตัวเลขทั้งหมดตามเส้นจริงได้ ใกล้กับศูนย์ 'ช่องว่าง' มีขนาดเล็ก เมื่อคุณห่างออกไปช่องว่างก็ใหญ่ขึ้น

ดังนั้นคำถามของฉันคือ: สำหรับ IEEE 754 float ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม (ใกล้เคียงที่สุดเป็นศูนย์) ซึ่งไม่สามารถแสดงได้อย่างแน่นอน ตอนนี้ฉันแค่กังวลกับ 32- บิตลอยแม้ว่าฉันจะสนใจฟังคำตอบสำหรับ 64- บิตถ้ามีคนให้!

ฉันคิดว่ามันจะง่ายเหมือนการคำนวณ 2 ^{bits_of_mantissa}และการเพิ่ม 1 โดยที่bits_of_mantissaคือจำนวนบิตมาตรฐานที่เปิดเผย ฉันทำสิ่งนี้สำหรับ 32- บิตลอยบนเครื่องของฉัน (MSVC ++, Win64) และมันก็ดูเหมือนดี

2 ^{mantissa bits + 1} + 1

+1 ในเลขชี้กำลัง (mantissa บิต ​​+ 1) เป็นเพราะถ้า mantissa มีabcdef...ตัวเลขที่แสดงถึงเป็นจริง1.abcdef... × 2^eให้ความแม่นยำบิตโดยนัยเพิ่มเติม

ดังนั้นจำนวนเต็มแรกที่ไม่สามารถแสดงได้อย่างถูกต้องและจะถูกปัดเศษคือ:
สำหรับfloat, 16,777,217 (2 ²⁴ + 1)
สำหรับdouble9,007,199,254,740,993 (2 ⁵³ + 1)

>>> 9007199254740993.0
9007199254740992

ค่าที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถแทนได้ด้วยจำนวนเต็มnบิตคือ 2 ⁿ -1 ตามที่ระบุไว้ข้างต้น a floatมีความแม่นยำ 24 บิตในซิกนิฟิแคนด์ซึ่งดูเหมือนว่าแปลว่า 2 ²⁴จะไม่พอดี อย่างไรก็ตาม



พลังของ 2 ภายในขอบเขตของเลขชี้กำลังมีค่าเท่ากับ 1.0 × 2 ⁿดังนั้น 2 ²⁴ จึงสามารถพอดีได้ดังนั้นจำนวนเต็มที่ไม่สามารถแทนได้แรกfloatคือ 2 ²⁴ +1 ตามที่ระบุไว้ข้างต้น อีกครั้ง