จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าปัญหา NP สมบูรณ์?

ฉันมีปัญหากับการตั้งเวลา ฉันต้องการพิสูจน์ว่าปัญหาสมบูรณ์ NP อะไรคือวิธีการพิสูจน์ว่า NP สมบูรณ์?

ในการแสดงปัญหา NP เสร็จสมบูรณ์คุณต้อง:

แสดงว่าอยู่ใน NP

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจากข้อมูลบางอย่างCคุณสามารถสร้างอัลกอริทึมเวลาพหุนามVที่จะตรวจสอบทุกอินพุตที่เป็นไปได้Xว่าXอยู่ในโดเมนของคุณหรือไม่

ตัวอย่าง

พิสูจน์ว่าปัญหาของการจุดสุดยอดครอบคลุม (นั่นคือกราฟบางG, ไม่ได้มีชุดจุดสุดยอดหน้าปกของขนาดkดังกล่าวที่ขอบในทุก ๆGมีอย่างน้อยหนึ่งจุดสุดยอดในชุดฝาครอบ ?) อยู่ใน NP:

• ข้อมูลที่เราป้อนXคือกราฟGและตัวเลขบางส่วนk(มาจากนิยามปัญหา)

• ใช้ข้อมูลของเราCเป็น "จุดยอดย่อยที่เป็นไปได้ในกราฟGขนาดk"

• จากนั้นเราสามารถเขียนอัลกอริทึมVที่ได้รับG, kและCจะกลับไม่ว่าจะเป็นชุดของจุดที่มีฝาครอบจุดสุดยอดสำหรับGหรือไม่ในเวลาพหุนาม

จากนั้นทุกกราฟG, ถ้ามีบางคน "ส่วนย่อยที่เป็นไปได้ของจุดในGขนาดk" ซึ่งเป็นฝาครอบจุดสุดยอดแล้วอยู่ในGNP

โปรดทราบว่าเราไม่จำเป็นต้องค้นหาCในเวลาพหุนาม ถ้าทำได้ปัญหาจะอยู่ใน `P

หมายเหตุว่าขั้นตอนวิธีการVควรจะทำงานสำหรับทุก สำหรับบางคนG Cสำหรับการป้อนข้อมูลทุกครั้งควรมีข้อมูลที่สามารถช่วยเราตรวจสอบได้ว่าอินพุตนั้นอยู่ในโดเมนที่เป็นปัญหาหรือไม่ นั่นคือไม่ควรมีอินพุตที่ไม่มีข้อมูลอยู่

พิสูจน์ว่าเป็น NP Hard

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการรับปัญหา NP-complete ที่รู้จักเช่นSATชุดของนิพจน์บูลีนในรูปแบบ:

(A หรือ B หรือ C) และ (D หรือ E หรือ F) และ ...

ที่แสดงออกคือพอใจที่จะมีการตั้งค่าที่มีอยู่บางอย่างสำหรับ booleans เหล่านี้ซึ่งจะทำให้การแสดงออกที่แท้จริง

จากนั้นลดปัญหา NP-สมบูรณ์ในการแก้ไขปัญหาของคุณได้ในเวลาพหุนาม

นั่นคือให้อินพุตบางส่วนXสำหรับSAT(หรือปัญหาที่สมบูรณ์ของ NP ที่คุณใช้) สร้างอินพุตYสำหรับปัญหาของคุณเช่นXใน SAT ถ้าYเป็นปัญหาของคุณเท่านั้น ฟังก์ชั่นf : X -> Yจะต้องทำงานในเวลาพหุนาม

ในตัวอย่างข้างต้นใส่Yจะเป็นกราฟและขนาดของฝาครอบจุดสุดยอดGk

สำหรับการพิสูจน์ที่สมบูรณ์คุณต้องพิสูจน์ทั้งคู่:

• ที่Xอยู่ในSAT=> Yในปัญหาของคุณ

• และYในการแก้ไขปัญหาของคุณ => ในXSAT

คำตอบของ marcogมีลิงก์กับปัญหา NP-complete อื่น ๆ ที่คุณสามารถลดปัญหาของคุณได้

เชิงอรรถ: ในขั้นตอนที่ 2 ( พิสูจน์ว่าเป็น NP-hard ) การลดปัญหา NP-hard อื่น ๆ (ไม่จำเป็นต้องสมบูรณ์แบบ NP) ให้เป็นปัญหาปัจจุบันเนื่องจากปัญหา NP-complete เป็นส่วนย่อยของปัญหา NP-hard (นั่นคือ ยังอยู่ใน NP)

คุณต้องลดปัญหา NP-Complete ให้กับปัญหาที่คุณมี หากการลดสามารถทำได้ในเวลาพหุนามแสดงว่าคุณได้พิสูจน์แล้วว่าปัญหาของคุณสมบูรณ์แบบ NP หากปัญหาอยู่ใน NP แล้วเนื่องจาก:

ไม่ใช่เรื่องง่ายไปกว่าปัญหา NP-complete เนื่องจากสามารถลดเป็นพหุนามซึ่งทำให้ปัญหา NP-Hard

ดูส่วนท้ายของhttp://www.ics.uci.edu/~eppstein/161/960312.htmlสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

เพื่อที่จะพิสูจน์ว่าปัญหา L นั้นสมบูรณ์เราต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. พิสูจน์ว่าปัญหาของคุณ L เป็นของ NP (นั่นคือวิธีแก้ปัญหาที่คุณสามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม)
2. เลือกปัญหา NP-complete ที่รู้จัก L '
3. อธิบายอัลกอริทึม f ที่เปลี่ยน L 'เป็น L
4. พิสูจน์ว่าอัลกอริทึมของคุณถูกต้อง (อย่างเป็นทางการ: x ∈ L 'ถ้าและเฉพาะเมื่อ f (x) ∈ L)
5. พิสูจน์ว่า algo f ทำงานในเวลาพหุนาม

ขั้นแรกคุณแสดงให้เห็นว่าอยู่ใน NP เลย

จากนั้นคุณจะพบปัญหาอื่นที่คุณรู้อยู่แล้วว่า NP สมบูรณ์และแสดงให้เห็นว่าคุณลดปัญหา NP Hard ลงในปัญหาของคุณได้อย่างไร

1. ทำความคุ้นเคยกับส่วนย่อยของปัญหา NP Complete
2. พิสูจน์ความแข็งของ NP: ลดอินสแตนซ์ของปัญหา NP ที่สมบูรณ์โดยพลการให้เป็นตัวอย่างปัญหาของคุณ นี่คือชิ้นส่วนที่ใหญ่ที่สุดของพายและความคุ้นเคยกับปัญหา NP Complete จ่าย การลดจะยากมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับโจทย์ NP Complete ที่คุณเลือก
3. พิสูจน์ว่าปัญหาของคุณอยู่ใน NP: ออกแบบอัลกอริทึมที่สามารถตรวจสอบในเวลาพหุนามว่าอินสแตนซ์เป็นวิธีแก้ปัญหาหรือไม่