อัลกอริทึมตามระบบฐานตัวเลข? [ปิด]

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันสังเกตเห็นว่ามีอัลกอริทึมที่ยอดเยี่ยมมากมายโดยอิงจากบางส่วนหรือทั้งหมดโดยอาศัยการใช้ตัวเลขอย่างชาญฉลาดในฐานความคิดสร้างสรรค์ ตัวอย่างเช่น:

• ไบโนเมียลฮีปขึ้นอยู่กับเลขฐานสองและฮีปทวินามที่ซับซ้อนมากขึ้นจะขึ้นอยู่กับเลขฐานสองเอียง
• อัลกอริทึมบางอย่างสำหรับการสร้างการเรียงลำดับตามคำศัพท์ตามพจนานุกรมจะขึ้นอยู่กับระบบจำนวนแฟคตอเรดิค
• การลองสามารถคิดได้ว่าเป็นต้นไม้ที่มองไปที่สตริงทีละหลักเพื่อให้ได้ฐานที่เหมาะสม
• ต้นไม้การเข้ารหัส Huffman ได้รับการออกแบบให้แต่ละขอบในต้นไม้เข้ารหัสเป็นศูนย์หรือหนึ่งในการแทนค่าไบนารี
• การเข้ารหัส Fibonacci ใช้ในการค้นหา Fibonacci และเพื่อสลับลอการิทึมบางประเภท

คำถามของฉันคือมีอัลกอริทึมอะไรอีกบ้างที่ใช้ระบบตัวเลขที่ชาญฉลาดเป็นขั้นตอนสำคัญของสัญชาตญาณหรือการพิสูจน์ . ฉันกำลังคิดที่จะพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้ดังนั้นยิ่งฉันต้องวาดตัวอย่างมากเท่าไหร่ก็ยิ่งดีเท่านั้น

Chris Okasaki มีบทที่ดีมากในหนังสือของเขาโครงสร้างข้อมูลที่ใช้งานได้อย่างหมดจดซึ่งกล่าวถึง "การเป็นตัวแทนเชิงตัวเลข" โดยพื้นฐานแล้วให้ใช้การแทนตัวเลขและแปลงเป็นโครงสร้างข้อมูล เพื่อให้ได้รสชาตินี่คือส่วนต่างๆของบทนั้น:

1. ระบบตัวเลขตำแหน่ง
2. เลขฐานสอง (รายการเข้าถึงโดยสุ่มแบบไบนารี, การเป็นตัวแทนแบบไม่มีศูนย์, การเป็นตัวแทนแบบขี้เกียจ, การแทนแบบแบ่งกลุ่ม)
3. เบ้เลขฐานสอง (Skew Binary Random Access List, Skew Binomial Heaps)
4. เลขฐานสองและควอเทอร์นารี

เทคนิคที่ดีที่สุดบางส่วนกลั่น:

• แยกแยะระหว่างการแสดงตัวเลขแบบหนาแน่นและแบบเบาบาง (โดยปกติคุณจะเห็นสิ่งนี้ในเมทริกซ์หรือกราฟ แต่ใช้ได้กับตัวเลขด้วย!)
• ระบบตัวเลขซ้ำซ้อน (ระบบที่มีการแสดงตัวเลขมากกว่าหนึ่งตัว) มีประโยชน์
• หากคุณจัดเรียงตัวเลขหลักแรกให้ไม่เป็นศูนย์หรือใช้การแทนค่าที่ไม่มีศูนย์การดึงข้อมูลส่วนหัวของโครงสร้างข้อมูลจะมีประสิทธิภาพ
• หลีกเลี่ยงการยืมแบบเรียงซ้อน (จากการเอาส่วนท้ายของรายการ) และดำเนินการ (จากการรวมเข้าในรายการ) โดยแบ่งโครงสร้างข้อมูล

นี่คือรายการอ้างอิงสำหรับบทนั้นด้วย:

• Guibas, McCreight, Plass และ Roberts: การนำเสนอใหม่สำหรับรายการเชิงเส้น
• Myers: สแต็กเข้าถึงโดยสุ่มที่ใช้งานได้
• Carlsson, Munro, Poblete: คิวทวินามโดยนัยที่มีเวลาแทรกคงที่
• Kaplan, Tarjan: รายการที่ใช้งานได้อย่างหมดจดพร้อม catenation ผ่านการวนซ้ำแบบช้าๆ

"ตัวเลข Ternary สามารถใช้เพื่อถ่ายทอดโครงสร้างที่คล้ายตัวเองเช่นสามเหลี่ยม Sierpinski หรือชุดต้นเสียงได้อย่างสะดวกสบาย" แหล่งที่มา

"ตัวเลขควอเทอร์นารีใช้ในการแทนเส้นโค้งฮิลแบร์ต 2 มิติ" แหล่งที่มา

"ระบบตัวเลขเชิงจินตภาพแบบควอเทอร์ได้รับการเสนอครั้งแรกโดย Donald Knuth ในปีพ. ศ. 2498 ในการส่งไปยังการค้นหาความสามารถทางวิทยาศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลายเป็นระบบตัวเลขตำแหน่งที่ไม่ได้มาตรฐานซึ่งใช้จำนวนจินตภาพ 2i เป็นฐานมันสามารถ เพื่อแทนจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้เฉพาะตัวเลข 0, 1, 2 และ 3 " แหล่งที่มา

"เลขโรมันเป็นระบบเลขฐานสอง" แหล่งที่มา

"วุฒิสภาอาจได้รับการพิจารณาว่ามีประโยชน์ในการศึกษาจำนวนเฉพาะเนื่องจากทุกช่วงเวลาเมื่อแสดงเป็นฐานหกนอกเหนือจาก 2 และ 3 จะมี 1 หรือ 5 เป็นหลักสุดท้าย" แหล่งที่มา

"Sexagesimal (ฐาน 60) เป็นระบบตัวเลขที่มีหกสิบเป็นฐานมันมีต้นกำเนิดมาจากชาวสุเมเรียนโบราณในสหัสวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราชมันถูกส่งต่อไปยังบาบิโลเนียโบราณและยังคงใช้ในรูปแบบที่ดัดแปลง - สำหรับการวัด เวลามุมและพิกัดทางภูมิศาสตร์ที่เป็นมุม " แหล่งที่มา

ฯลฯ ...

รายการนี้เป็นจุดเริ่มต้นที่ดี

ฉันอ่านคำถามของคุณเมื่อวันก่อนและวันนี้ก็ประสบปัญหา: ฉันจะสร้างการแบ่งพาร์ติชันทั้งหมดของชุดได้อย่างไร? วิธีแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นกับฉันและที่ฉันใช้ (อาจเกิดจากการอ่านคำถามของคุณ) คือ:

สำหรับชุดที่มีองค์ประกอบ (n) โดยที่ฉันต้องการ (p) พาร์ติชันให้นับตัวเลขทั้งหมด (n) หลักในฐาน (p)

แต่ละหมายเลขสอดคล้องกับการแบ่งพาร์ติชัน ตัวเลขแต่ละตัวจะสอดคล้องกับองค์ประกอบในชุดและค่าของตัวเลขจะบอกคุณว่าจะใส่องค์ประกอบใด

ไม่น่าทึ่ง แต่ก็เรียบร้อย เสร็จสมบูรณ์ไม่เกิดความซ้ำซ้อนและใช้ฐานตามอำเภอใจ ฐานที่คุณใช้ขึ้นอยู่กับปัญหาการแบ่งพาร์ติชันเฉพาะ

ฉันเพิ่งเจออัลกอริทึมที่ยอดเยี่ยมสำหรับการสร้างเซตย่อยตามลำดับศัพท์ตามการแทนค่าไบนารีของตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 2 ⁿ - 1 มันใช้บิตของตัวเลขทั้งคู่เพื่อกำหนดองค์ประกอบที่ควรเลือกสำหรับชุดและเพื่อเรียงลำดับใหม่ ชุดที่สร้างขึ้นเพื่อให้พวกเขาอยู่ในลำดับศัพท์ ถ้าคุณอยากรู้ฉันมีเขียนขึ้นโพสต์ที่นี่

นอกจากนี้อัลกอริทึมจำนวนมากยังขึ้นอยู่กับการปรับขนาด (เช่นอัลกอริธึมการไหลสูงสุดของฟอร์ด - ฟุลเคอร์สันเวอร์ชันที่อ่อนแอ) ซึ่งใช้การแทนค่าฐานสองของตัวเลขในปัญหาการป้อนข้อมูลเพื่อปรับแต่งการประมาณคร่าวๆให้เป็นโซลูชันที่สมบูรณ์

ไม่ใช่ระบบฐานที่ชาญฉลาด แต่เป็นการใช้ระบบฐานอย่างชาญฉลาด: ลำดับVan der Corputเป็นลำดับความคลาดเคลื่อนต่ำที่เกิดจากการย้อนกลับการแทนค่า base-n ของตัวเลข พวกเขากำลังใช้ในการสร้าง 2-d ลำดับ Haltonที่ดูชนิดเช่นนี้

ฉันจำบางอย่างเกี่ยวกับระบบฐานสองได้อย่างคลุมเครือเพื่อเร่งการคูณเมทริกซ์

ระบบฐานคู่เป็นระบบซ้ำซ้อนที่ใช้สองฐานสำหรับหนึ่งหมายเลข

 n = Sum(i=1 --> l){ c_i * 2^{a_i} * 3 ^ {b_i}, where c in {-1,1}

ซ้ำซ้อนหมายความว่าตัวเลขหนึ่งสามารถระบุได้หลายวิธี

คุณสามารถค้นหาบทความ "Hybrid Algorithm for the Computation of the Matrix Polynomial" โดย Vassil Dimitrov, Todor Cooklev

พยายามให้ภาพรวมสั้น ๆ ที่ดีที่สุดเท่าที่จะทำได้

G(N,A) = I + A + ... + A^{N-1}พวกเขากำลังพยายามที่จะคำนวณเมทริกซ์พหุนาม

Supoosing N เป็นส่วนประกอบG(N,A) = G(J,A) * G(K, A^J)หากเราสมัคร J = 2 เราจะได้รับ:

         / (I + A) * G(K, A^2)        , if N = 2K
G(N,A) = |
         \ I + (A + A^2) * G(K, A^2)  , if N = 2K + 1

เช่นกัน

         / (I + A + A^2) * G(K, A^3)           , if N = 3K
G(N,A) = | I + (A + A^2 + A^3) * G(K, A^3)     , if N = 3K + 1
         \ I + A * (A + A^2 + A^3) * G(K, A^3) , if N = 3K + 2

ในขณะที่มันเป็น "อย่างเห็นได้ชัด" (ตลก) ที่บางส่วนของสมการเหล่านี้มีความรวดเร็วในระบบแรกและบางคนที่ดีกว่าในครั้งที่สอง - Nดังนั้นจึงเป็นความคิดที่ดีในการเลือกที่ดีที่สุดของคนเหล่านั้นขึ้นอยู่กับ แต่สิ่งนี้จะต้องใช้การทำงานของโมดูโลที่รวดเร็วสำหรับทั้ง 2 และ 3 นี่คือสาเหตุที่ฐานคู่เข้ามา - โดยพื้นฐานแล้วคุณสามารถทำการทำงานของโมดูโลได้อย่างรวดเร็วสำหรับทั้งสองแบบโดยให้ระบบรวมกัน:

         / (I + A + A^2) * G(K, A^3)       , if N = 0 or 3 mod 6
G(N,A) = | I + (A + A^2 + A^3) * G(K, A^3) , if N = 1 or 4 mod 6
         | (I + A) * G(3K + 1, A^2)        , if N = 2 mod 6
         \ I + (A + A^2) * G(3K + 2, A^2)  , if N = 5 mod 6

ดูบทความเพื่อดูคำอธิบายที่ดีขึ้นเนื่องจากฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในด้านนี้

RadixSort สามารถใช้ฐานตัวเลขต่างๆ http://en.wikipedia.org/wiki/Radix_sort การใช้งาน bucketSort ที่น่าสนใจ

นี่คือโพสต์ดีๆเกี่ยวกับการใช้เลขท้ายเพื่อแก้ปัญหา "เหรียญปลอม" (ซึ่งคุณต้องตรวจจับเหรียญปลอมหนึ่งเหรียญในกระเป๋าปกติโดยใช้ยอดคงเหลือให้น้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้)

การแฮชสตริง (เช่นในอัลกอริทึมRabin-Karp ) มักจะประเมินสตริงเป็นเลขฐาน b ที่ประกอบด้วยตัวเลข n หลัก (โดยที่ n คือความยาวของสตริงและ b คือฐานที่เลือกซึ่งมีขนาดใหญ่พอ) ตัวอย่างเช่นสามารถแฮชสตริง "ABCD" เป็น:

'A'*b^3+'B'*b^2+'C'*b^1+'D'*b^0

การแทนที่ค่า ASCII สำหรับอักขระและการ b เป็น 256 จะกลายเป็น

65*256^3+66*256^2+67*256^1+68*256^0

แม้ว่าในการใช้งานจริงส่วนใหญ่ค่าที่ได้จะถูกนำมาใช้โมดูโลเป็นตัวเลขที่มีขนาดพอสมควรเพื่อให้ผลลัพธ์มีขนาดเล็กเพียงพอ

การยกกำลังสองโดยกำลังสองจะขึ้นอยู่กับการแทนเลขฐานสองของเลขชี้กำลัง

ในHackers Delight(หนังสือโปรแกรมเมอร์ทุกคนควรรู้ในสายตาของฉัน) มีบทที่สมบูรณ์เกี่ยวกับฐานที่ผิดปกติเช่น -2 เป็นฐาน (ใช่ฐานลบด้านขวา) หรือ -1 + i (ฉันเป็นหน่วยจินตภาพ sqrt (-1)) เป็น ฐาน. นอกจากนี้ฉันยังคำนวณได้ดีว่าฐานที่ดีที่สุดคืออะไร (ในแง่ของการออกแบบฮาร์ดแวร์สำหรับทุกคนที่ไม่ต้องการอ่าน: คำตอบของสมการคือ e ดังนั้นคุณสามารถใช้ 2 หรือ 3, 3 จะดีกว่าเล็กน้อย (ปัจจัย ดีกว่า 2 เท่า 1.056 เท่า - แต่เป็นทางเทคนิคมากกว่า)

สิ่งอื่น ๆ ที่อยู่ในใจของฉันคือตัวนับสีเทา (คุณเมื่อคุณนับการเปลี่ยนแปลงในระบบนี้เพียง 1 บิตคุณมักใช้คุณสมบัตินี้ในการออกแบบฮาร์ดแวร์เพื่อลดปัญหาความสามารถในการแพร่กระจาย) หรือการกำหนดลักษณะทั่วไปของการเข้ารหัส Huffmann ที่กล่าวถึงแล้วนั่นคือการเข้ารหัสเลขคณิต

การเข้ารหัสใช้ประโยชน์อย่างกว้างขวางของวงแหวนจำนวนเต็ม (เลขคณิตแบบแยกส่วน) และฟิลด์ จำกัด ซึ่งการดำเนินการจะขึ้นอยู่กับวิธีการทำงานของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

ฉันชอบอันนี้มากสำหรับการแปลงเลขฐานสองเป็นรหัสสีเทา: http://www.matrixlab-examples.com/gray-code.html

คำถามที่ดี รายการยาวแน่นอน การบอกเวลาเป็นตัวอย่างง่ายๆของฐานผสม (วัน | ชั่วโมง | นาที | วินาที | น. / น.)

ฉันได้สร้างกรอบงาน n-tuple การแจงนับ meta-base แล้วหากคุณสนใจที่จะได้ยินเกี่ยวกับเรื่องนี้ เป็นน้ำตาลซินแทติกที่หวานมากสำหรับระบบเลขฐาน มันยังไม่เปิดตัว ส่งอีเมลชื่อผู้ใช้ของฉัน (ที่ gmail)

หนึ่งในรายการโปรดของฉันโดยใช้ฐานที่ 2 คือการเข้ารหัสเลขคณิต มันผิดปกติเพราะฮาร์ทของอัลกอริทึมใช้การแสดงตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 ในไบนารี

อาจจะเป็นAKSก็ได้